遼寧省鞍山市普通高中2025屆高三二輪復(fù)習(xí)聯(lián)考(三)數(shù)學(xué)試

題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.復(fù)數(shù)Z=工的虛部是()

1+1

11

A.1B.-C.—D.—1

22

2.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為邑，且%-4=12,S5-S2=3,則%=()

A.5B.6C.7D.8

3.已知向量3=(2,-1),5=(4,3),則向量Z在向量刃方向上的投影向量是()

4.已知函數(shù)［(x)=cos2x-cosx,則函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,2可上的零點個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

5.在高為辛的正四棱臺/BCD-44GA中，AB=2,4g=1,則此四棱臺的外接球的表

面積是()

A.4兀B.6兀C.8兀D.10兀

6.記曲線C：%2+/-2|x|-21j；|=0(%2+/0),若直線+即+1=0與曲線。相切，則”

()

A.+4B.±2C.i—D.i一

42

7.計算：，也。。+(1+小皿2。。)舞淙黑=()

A."B.V3A/3

C.D.1

3丁

8.已知函數(shù)/(%)=卜之一同一/一〃,當x>0時，/（小0,則”的取值范圍是()

A.（一8,0]B.（一。,8]C.[0,8]D.[0,4]

試卷第1頁，共4頁

二、多選題

9.已知拋物線C：丁=8式的焦點為尸，過點尸的直線/與C交于A,8兩點，則下列說法

正確的是()

A.焦點尸到拋物線C的準線的距離為8

111

B?國+畫-5

C.若的中點的橫坐標為3,則M*即1=20

D.若2忸司=|/司，則S△-=4應(yīng)

10.已知函數(shù)y(x)=x3-3辦2+9x+加，貝ij()

A.BaeR,使得/(x)為單調(diào)函數(shù)

B.VaeR,的圖象恒有對稱中心

C.當a=2時，/(X2)>/(5X+4)

D.若王，x2,當是方程/(x)=。的三個不同的根，貝1」中2+占9+%%=9

11.已知V48C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,A=60°,/8/C的平分線4D

交BC于D,AD=2,則下列說法正確的是()

A.43+c的最小值為

BDsinB

B.=-；

CDsmC

C.有的最大值是G

BD

D.VNBC的周長的取值范圍是［4出,+oo)

三、填空題

12.已知數(shù)列｛?！埃凉M足。”+2=3%,%=1,貝！J%=.

13.已知/卜)=三百是奇函數(shù)，則a+6=.

14.從1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取3個不同的數(shù)，且這三個數(shù)之積為偶數(shù)，記滿足

條件的這三個數(shù)之和為X；從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，且這兩個數(shù)之積為偶

數(shù)，記滿足條件的兩個數(shù)之和為工則尸(x=y)=.

試卷第2頁，共4頁

四、解答題

15.某校有高一學(xué)生1800人，高二學(xué)生1200人，學(xué)校采取按比例分配的分層抽樣的方式從

中抽取100人進行體育測試.測試后，統(tǒng)計得到高一樣本的一分鐘跳繩次數(shù)的均值為165,方

差為61,高二樣本的一分鐘跳繩次數(shù)的均值為145,方差為31.

(1)計算總樣本的一分鐘跳繩次數(shù)的均值和方差；

(2)將一分鐘跳繩次數(shù)2125視為及格，整理出以下列聯(lián)表：

及格不及格合計

高一52860

高二38240

合計9010100

試根據(jù)小概率值a=0.05的獨立性檢驗，分析一分鐘跳繩次數(shù)及格情況是否與年級有關(guān)；(結(jié)

果保留小數(shù)點后三位)

(3)如果將(2)表格中的所有數(shù)據(jù)都擴大為原來的10倍，在相同的檢驗標準下，再用獨立

性檢驗推斷一?分鐘跳繩次數(shù)及格情況與年級之間的關(guān)聯(lián)性,結(jié)果還一樣嗎？請你試著解釋其

中的原因.

附：八_______Mad_bcf______

n=a+b+c+d.

(Q+b)(c+d)(“+c)(b+d)

/獨立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值.

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

16.已知函數(shù)/(x)=6z(x-4)2+61nx.

⑴若曲線y=〃x)在點(1J⑴)處的切線過點(0,9),求。的值；

(2)求/'(X)的極值點.

22

17.已知橢圓C：宗+2=1(°>6>0),點/(2月,0)在橢圓C上橢圓上關(guān)于原點對稱的任

試卷第3頁，共4頁

意兩個不與點A重合的點P、。和點A連線的斜率之積為.

(1)求橢圓。的方程；

(2)若一條斜率存在且不為0的直線/交橢圓C于N兩點，且線段"N的中點R的縱坐

標為-1,過R作直線/'，/.定點￡(2,1)到直線廠的距離記為d,求d的最大值并求出對應(yīng)的

直線/'的方程.

18.如圖，底面為正方形的四棱錐P-48C。中，AD=2PA=2,PD=A記NPAB=9,

。€(0,兀).

(1)證明：為直角三角形；

(2)當四棱錐P-/BCD的體積最大時，求平面尸4D與平面尸8c所成角的余弦值；

(3)記直線/C與平面尸5c所成角為a,求sina的最大值.

19.對于非空數(shù)集S,7="7版,”5},若T=S,則稱數(shù)集S具有性質(zhì)

⑴若數(shù)集S具有性質(zhì)證明：OeS；判斷岳={0,1,2,3},邑={0』，2,5}是否具有性質(zhì)

并說明理由.

⑵若5={%,電嗎，…，?！皚("23)滿足①q=0；②皿/eN*,當z?〈/時，都有

(i)判斷“數(shù)集S具有性質(zhì)是否是“數(shù)列{?！皚為等差數(shù)列”的充要條件，并說明理由；

(ii)已知數(shù)集S具有性質(zhì)M且。"=10電，A^S,求數(shù)集A具有性質(zhì)M的概率.

試卷第4頁，共4頁

《遼寧省鞍山市普通高中2025屆高三二輪復(fù)習(xí)聯(lián)考(三)數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號12345678910

答案CAADDCBCBCDABD

題號11

答案ACD

1.C

【分析】先化簡給定復(fù)數(shù)，再利用虛部的定義求解即可.

11-i1-i1i

【詳解】因為z=Gi=而許=三=

所以其虛部為故C正確.

2

故選：C.

2.A

【分析】根據(jù)給定條件，求出公差及為，進而求出%.

【詳解】在等差數(shù)列｛%｝中，由a-4=12,得公差d=與手=4,

Xa5+a4+a3=S5-S2=3,即3%=3,解得a4=lf

所以4=%+d=5.

故選：A

3.A

【分析】根據(jù)投影向量的公式可求投影向量.

2-b-8-3717<43)

【詳解】向量°在向量.方向上的投影向量為76=3-6=)6=［寸3｝

故選：A.

4.D

【分析】由二倍角余弦公式結(jié)合求解一元二次方程得到［0,2可上的零點即可.

【詳解】f(-^)-cos2x-cosx=2COS2X-cosx-1=(2cosx+1)(cosx-1),

由/(x)=。，得cosx=l或cosx=-g,即％=2E或x=g+2左兀或%=］+2E,keZ.

所以函數(shù)/(X)在區(qū)間［0,2可的零點是0,g,1，2兀4個.

故選:D

答案第1頁，共15頁

5.D

【分析】確定上底面和下底面的中心，連接兩個中心分球心在線段"N上和延長線上

兩種情況，利用勾股定理列出方程即可求解.

【詳解】如圖，正四棱臺ABC。-44GA中，M.N分別是上、下底面對角線交點，即上、

下底面中心，是正四棱臺的高，MN=—

2

MB'當'I當，NB當乂2=也

由對稱性外接球球心。在直線MN上，設(shè)球半徑為一連接”唱,C,M7,CNf，

因此。在上W的延長線上(如圖)，即在平面/3CD下方,

因此有/工工-且，解得產(chǎn)=。,

V222

所以球表面積為$=4口2=10兀.

故選：D.

6.C

【分析】根據(jù)方程確定曲線C,并畫出曲線與直線的示意圖，根據(jù)相切關(guān)系，數(shù)形結(jié)合及點

線距離列方程求參數(shù)值.

【詳解】當xNO,yN。，C:x2+y2—2x—2y=0,貝!]C:(x—1)?+(y—1)?=2,

當x20,y<0,C:x2+y2-2x+2y=0,貝！|C:(x—+(y+1-=2,

答案第2頁，共15頁

當x<OjNO,C:x2+y2+2x-2y=0,貝C:(x+lp+(>—1了=2,

當x<O,y<O,C:x2+y2+2x+2y=0,貝1]C:(x+1)2+(y+1尸=2,

顯然。*0,直線辦+即+1=0的斜率為-1,如下圖示，

則原點到直線的距離d=/「,=2也,所以a=

yja2+a24

故選：C

7.B

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系切化弦，再化簡計算求值.

【詳解】tan20。+(]+6an2O。)百cos20。產(chǎn)20。

,7cos20°+ASin20°

_sin20°+1]+￡sin20°)A^cos20°-sin20°

cos20°〔cos20°Jcos20°+■sin20。

_sin20°cos20°+百sin200]V3cos20°-sin20°

cos20°[cos20°Jcos20°+V3sin20°

sin20°A/5COS20°-sin20°

=-----1-------------

cos20°cos20°

_V3cos20o￡

cos20°

故選：B.

8.C

【分析】分。>o,“=o,。<o三種情況/'(x)<。恒成立化簡，再結(jié)合參數(shù)分離應(yīng)用基本不等式

計算求參.

【詳解】函數(shù)-同一/-a,當x>0時，f(x)<0,

當a=0時，/(x)=|x2|-x2=0,符合題意;

當a<0時，函數(shù)/(無)=--。⑷--/-ax-尤2-。=-ax-。>0,不符合題意；

答案第3頁，共15頁

當。>0時，函數(shù)〃X)=,-同一一一aVO恒成立，所以一/一aV/一辦恒成立，

因為—辦<0<〃，所以——axwV+Q恒成立，

所以一次2一44一一"恒成立，即得a(x—1)="—。W2x2,

當x￡(0,1)時，a^x-\^=ax-a<2一恒成立，

當xe(l,+oo)時，0V0匚恒成立，

x~\

令x-l=/>0,蝮2(，+1)=212+2'+1]=2卜+2+1恒成立,

因為/+2+；2261+2=4,當且僅當f=l時取最小值4,

所以042。+2+3=8,符合題意；

V^7min

則。的取值范圍是[0,8].

故選：C.

9.BCD

【分析】由拋物線方程確定焦點坐標，及準線方程可判斷A,通過斜率存在，或不存在兩種

情況討論，結(jié)合焦半徑公式可判斷B,結(jié)合B,及焦半徑公式可判斷C,通過2忸"=|/尸|確

定直線AB的斜率為20,得到直線AB的方程為x=字了+2,聯(lián)立拋物線方程求得A坐標,

即可求解.

【詳解】拋物線C：\=8x的焦點為尸(2,0),準線/：X=-2,P(-2,0),

所以焦點廠到拋物線C的準線的距離為4,A錯誤；

當直線垂直于y軸，可得%=%=2,

答案第4頁，共15頁

....111

所以”卜阿1=4相而+西='

當直線48不垂直于丁軸，設(shè)方程為無=啊+2,由<.,得/_8叫-16=0,

\x=my+2

則」[y1+%=8加

16xx-日

4M2_8

8

1111(x+)+4(x+x)+41j

+=+=————---------——--7=,B正確

\AF\----\BF\h+2為+24玉+2&+電)+42(4+豆)+8：用

對于C,由48的中點的橫坐標為3,可得：國+了2=6,

|^F|+|5F|=X1+X2+4=10,

1?1_叫+|即_1

\AF\\BF\\AF\^F\2

所以卜尸|忸尸|=20,C正確;

對于D,

過點48作AA.mBB^l,直線與x軸分別交I與點,E,H,

設(shè)|Z尸|=2但同=2加，則忸匐=機,|44]|=2m,

BEBB,1..

因網(wǎng)/〃4,則7^="=5,得忸國=3加，

ABTiyij乙

BB,\1廠

則cos/EBB1=?=—,貝!Jtan/EBB】=2V2,

BE\3

故直線的斜率為2近，直線的方程為x=1y+2,

答案第5頁，共15頁

與/=8x聯(lián)立得丁-2收了一16=0,

解得％=4垃,％=-26,

所以再=4,

可得：/(4,40)，

所以$播.=；乂2、4后=4拒，D正確

故選：BCD

10.ABD

【分析】A對函數(shù)求導(dǎo)，假設(shè)函數(shù)單調(diào)，并結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)列不等式求參數(shù)范圍，即可判

斷；B由/(x)=+(9-3。2)(工一。)+加+9。一2萬,再結(jié)合

/(x)+f(2a-x)=2(m+9a-2a3)即可判斷；C應(yīng)用特殊值x=0判斷；D由

/(%)=(%-再)(X-X2)(X-%3)并展開，結(jié)合已知表達式，即可判斷.

【詳解】A：由題設(shè)/'(x)=3x2—6辦+9=3，—2"+3),所以廣⑴是開口向上的拋物線，

要使/(x)為單調(diào)函數(shù)，只需一一2"+320恒成立，即4=4/一12<0，得-百WaW8,

所以加ER,使得/(x)為單調(diào)函數(shù)，對；

B：對于/(%)=x3-3ax2+9x+m=(x-a)3+(9-3a2)(x-a)+m+9a-2a3,

所以/(x)+/(2q-x)=2(%+9a-2*,即/(x)恒關(guān)于點(〃,加+9〃-2/)對稱，對；

C：由題設(shè)/(x)=d-6f+9%+加，若％=o,顯然/(x2)=/(0)=冽</(5x+4)=/(4)=4+m,

錯；

32

D：由題設(shè)/(%)=(X--x2)(x-X3)=X—(再+x2+X3)x+(占入2+%2%3+演/)％一再々/,

32

又f(x)=x-3ax+9x+m,貝(]xxx2+演七+x2x3=9,對.

故選：ABD

11.ACD

【分析】A應(yīng)用等面積法及三角形面積公式可得』+1=",再應(yīng)用基本不等式“1”的代換

bc2

求最值；B應(yīng)用正弦定理及/氏4。=/。。即可判斷；C由正弦定理及已知得

答案第6頁，共15頁

±+±=sin5+sinC=esin（8+30。），即可求最值；D應(yīng)用余弦定理及基本不等式得

BDCD

8__________________

b+c*忑、°=J（6+c）2_2百（He），即可求周長范圍.

【詳解】A:由等面積法有S"ABC=S.ABD+S9,即

-bcsmZBAC=-AD-csinZBAD+-AD-bsinZCAD,

222

由/。=2,A=ZBAC=60°,/A4c的平分線4D交BC于。，

所以避^bc=b+c,BP—+—=,

2be2

所以46+c=[.（46+c）（：+}=女（5+3y（59產(chǎn)彳=6—,

當且僅當b=G,c=26時取等號，故4b+c的最小值為，故A對;

c+…BDAD-CDAD

B：在中--------=-----，在△4C7）中---------=-----

sinABADsin5smZCADsinC

由/2/C的平分線NO交5c于。，即NA4D=/C/。，故的=又￡,故B錯;

CDsmB

1CD_/OsinZCAD_1

C：由"的C=60°,則如=

"。黑皆。sin8'sinCsinC

所以＞A=smB+s心smB+sin（12。-）=軻B+*°s酢氐in（3+3。。），

又0。<8<120。，即3=60。時，----的最大值是由，故C對;

BDCD

3故小近3

D：由A分析有Jbc=b+cN2瓦，貝iJbcW

248

84

所以耳，當且僅當6=c=國時取等號,

由/=〃+/—2bccosZBAC=（b+c）2-3bc=（b+c）2—2&S+c）,

所以〃=J(6+c)2—263+c)，故三角形周長為6+0+&+。)2一2同6+。),

Q__________________Q

令，=6+。2月，則周長￡=/_2后=/+-Gy-3在[耳，+00)上單調(diào)遞增,

所以￡2爰+，(1)2-26*[=[+[=46,即周長范圍是[4?,+?>),故D對.

故選：ACD

12.81

【分析】利用遞推賦值，即可求得結(jié)果.

答案第7頁，共15頁

【詳解】由％+2=3%,所以。9=3%=32%=3%3=3%1=81,

故答案為：81

13.1

【分析】根據(jù)已知函數(shù)是奇函數(shù)，可得"x)=e"T+beT為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的定義列式,

結(jié)合指數(shù)運算計算求解.

e"1

【詳解】因為/[)=4="TA-為奇函數(shù)，

e+be+be

所以[無尸+bb，為奇函數(shù)，

《0)=1+6=0,即6=-1,

則f(_x)=ey+:e'=_e"T+er=T(x)恒成立,

貝Ue."*+2工一e?x=—e"*+l,所以0=2,

當。=2,6=-1時，/(無)==L,經(jīng)檢驗符合題意，

v'e2i-l

所以。+6=1.

故答案為：1.

55

14.-----/-----

518518

【分析】先分別求出滿足這兩個條件的情況總數(shù)，再找到滿足x=y的情況，結(jié)合古典概型

的概率公式求解即可.

【詳解】從1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取3個不同的數(shù)，要滿足三個數(shù)之積為偶數(shù),

則這三個數(shù)中至少有1個偶數(shù)，總共有之-C：=74種取法，

從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，且這兩個數(shù)之積為偶數(shù)，

則這兩個數(shù)中至少有1個偶數(shù)，總共有C；-亡=7種取法.

又見"=6,心=24,又=3%=9,

接下來，找出X和￥相等的情況：

當X=y=6時，滿足條件的取法情況有{1,2,3}?{2,4},共1種情況；

當X=y=7時，滿足條件的取法情況有{124}?{2,5},{3,4},共2種情況；

當X=y=8時，無滿足條件的情況；

答案第8頁，共15頁

當X=y=9時，滿足條件的取法情況有{1,2,6},{2,3,4}?{4,5},共2種情況,

1+2+25

所以尸(x=y)=

74x7518

故答案為：—y-.

15.(1)均值157,方差145

⑵無關(guān)

（3）不一樣，結(jié)論變?yōu)橛嘘P(guān)，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)分層抽樣計算均值和方差即可;

（2）根據(jù)卡方檢驗，即可判斷;

（3）計算出新的卡方即可進行判斷.

【詳解】（1）高一人數(shù)占比于而=0.6,故樣本量為0.6x100=60,同理高二樣本量為40,

叱2.年+3,土位60'165+40'1459900+5800…

所以總樣本均值為--------------=———----=157,

總樣本方差為空翻+(165-157尸+40'翻+(］盼157yL14500=⑷.

100100

（2）零假設(shè)為耳：一分鐘跳繩次數(shù)及格情況與年級無關(guān),

根據(jù)列聯(lián)表’4竺喘篙薩…52<3.84!,

所以根據(jù)小概率值a=0.05的獨立性檢驗，推斷/成立，即一分鐘跳繩次數(shù)及格情況與年

級無關(guān).

（3）將（2）表格中的所有數(shù)據(jù)都擴大為原來的10倍,

83

…嗎常。黑。\0"I,

所以根據(jù)小概率值a=0.05的獨立性檢驗，推斷/不成立，即一分鐘跳繩次數(shù)及格情況與

年級有關(guān),

所以將（2）表格中的所有數(shù)據(jù)都擴大為原來的10倍，結(jié)果不一樣,

因為樣本量增大使得相對差異的絕對值增大，導(dǎo)致卡方統(tǒng)計量顯著上升.

16.(1)1；

（2）答案見解析.

【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義來求切線斜率，并寫出切線方程，代入點即可求值;

答案第9頁，共15頁

(2)利用導(dǎo)數(shù)研究正負，即可判斷原函數(shù)單調(diào)性和極值點.

【詳解】(1)求導(dǎo)得，(x)=2“x-4)+，，則/'⑴=-6。+6,又有"1)=9°,

所以曲線>=/(x)在點處的切線方程為：y-9a=(-6?+6)(x-l),

又由切線過點(0,9),貝1]9-9〃二一(一6。+6)=。=1；

2axSax+6

(2)由(1)可知，/(x)=2a(x-4)+-=^~(x>0),

XX

令(p(x)=lax2-Sax+6,貝！J°(0)=6.

①當a=0時，對xe(0,+s),有/'(x)=￡>0J(x)單調(diào)遞增，無極值.

X

②當。<0時，0(X)的圖象開口向下，且對稱軸為直線尤=2,

又夕(0)=6,則0(x)=0在x>0時有一根再=2-"八3”,

a

Xe(0,X])時，e(x)>0J'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

xe(X1,+oo)時，(p(x)<0,<(x)<0,/(x)單調(diào)遞減.

所以f(x)在七處取得極大值，極大值點為占=2-3a.

a

③當。>0時，°(x)的圖象開口向上，A=64/—48a.

3

i.當A?0,即0<aK—時，有e(x)20,所以當％>0時，

4

有/G)20J(x)單調(diào)遞增，無極值點.

3

ii.當A〉0,即。>一時，在x〉0時，°(%)=0,

4

有兩個根％=2—,4/-3,,馬=2+'4a2—3.

aa

尤e(0,尤2)時，9(無)〉0J'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

xe(芍吊)時,0(x)<0/(尤)<0J(x)單調(diào)遞減;

尤e(W,+8)時，(p(x)>0J'(x)>0,〃尤)單調(diào)遞增.

.?■/(X)有極大值點x,=2-叱-3a,極小值點退=2+叱-3a.

aa

綜上所述，

3

當0(。時，/(%)單調(diào)遞增，無極值點；

4

答案第10頁，共15頁

當。＜0時，“X）的極大值點為2一迎二細，無極小值點；

a

當時，/（尤）的極大值點為2一亞1三五，極小值點為2+"上一3”

4aa

22

17.⑴。匕=1；

124

(2)，lr'2x—y+2=0,

【分析】（1）設(shè)尸X。,-%）且/N±2百，根據(jù)如舄2=-；,及點在橢圓上求橢圓

參數(shù)值，即可得方程；

（2）設(shè)/：＞=+s,M（X],%）,N（X2，%）,點差法得上2一-=進而得到尺（3人,-1）,則

l'-.x+ky-2k=Q,最后由（-；）?七9=-1求參數(shù)，直線/'與直線跖垂直時，點E（2,l）到直線

/'的距離最大，應(yīng)用點線距離公式求〃的最大值.

【詳解】⑴設(shè)尸（方,%）,0（-%,-%）且％片±2力，則k*x囪'=x；"2陋'

所以3/我=/l=_g，

222

又尸在橢圓上，即與+咚=1,可得療=/（1_烏），

aba

所以從（1_5）=_七衛(wèi)，

由A在橢圓上，即1|=1，即/=12,故/（1一，）=一叮"，可得〃=4,

22

綜上，橢圓方程為土+匕=1;

124

（2）由題意，直線/的斜率存在，^l:y=kx+m,必）,N?,名），

222_22_2

互+型=1,作差得五二且+21上=(),

唁+「124124

整理有人?匕上左=1

再+x23

因為線段九W的中點R,貝IJ火（幺產(chǎn)，/產(chǎn)）且弘+%=-2,

所以左?二—=-；,可得3左=五/，故R（3人,一1）,

玉+1232

所以直線/'：了+1=-。（無一3后），即無+0一2左=0,過定點廠（0,2）,

答案第11頁，共15頁

當直線/'與直線所垂直時，點E(2,l)到直線廠的距離最大

2

<x=1EF|=7(2-0/+(1-2)=i5,

由七方=呆=-[，而(-[)?/^=-1，可得上=-1，經(jīng)檢驗滿足題設(shè),

0-22k2

所以d的最大值為石，直線/'：2X7+2=0.

18.(1)證明見解析

如

2)5

立

4

【分析】(1)由勾股定理逆定理得尸4，/。，再結(jié)合正方形的性質(zhì)得48,2C,PAVBC,

根據(jù)線面垂直的判定及性質(zhì)即可證明；

(2)建立空間直角坐標系，由面面角的向量公式求解即可；

(3)建立空間直角坐標系，由線面角的向量公式及導(dǎo)數(shù)即可求解.

【詳解】(1)證明：在△川￡>中，因為尸T+AD2=12+22=5=PD2,

所以△尸40為直角三角形，即尸

又因為四邊形N3C。為正方形，所以幺D〃BC,4BLBC,則尸/L3C,

因為=A,PA,ABu平面PAB,

所以3C_L平面尸又尸Bu平面P4B,

所以BCLPB,所以△PBC為直角三角形.

(2)當四棱錐的體積最大時，P/_L平面/8CA,

因為4Bu平面N8CD,所以P/_L48,

又4PcND=4/尸,4Du平面尸,所以/2_L平面尸，

以A為原點，以尸所在直線為xj,z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，

則4(0,0,0),尸(0,0,1),5(2,0,0),C(2,2,0),。(0,2,0),

則BP=(-2,0,l),CP=(-2-2,1),平面尸/D的一個法向量為荔=(2,0,0),

答案第12頁，共15頁

設(shè)平面尸8c的一個法向量為為=（尤,％z）,

BP-n=-2x+z=0,、

則—.取x=l,則行=(1,0,2),

CP-n^-2x-2y+z^0

（3）以A為原點，以所在直線為X/軸，以過點A垂直于平面N8C。的直線為Z軸,

建立空間直角坐標系，如圖所示,

因為"43=6,所以尸（cos。,0,sin。），

貝U麗=(cose-2,0,sine),S?=@os(9-2,-2,sine),

設(shè)平面尸8C的一個法向量為歷=（x（）,%,2o）,

)

BP-m=XQ(COS3-2+z0sin0=0sin。o-l|

則一?/\，取z0=_1,則玩=

cos"2,')'

CPm=XQ(cos0-2)-2y0+z0sin0=0

因為二=(2,2,0),

2sin。

______cos——2_____

2拒xjp"]2+：

Wcos”

設(shè)〃x）=BHm,xe（0,兀），貝lj/，（x）=-sin2x-(cosx-2)cosx2cosx-l

sin2xsin2x

令r（x）=o得

當xe,,：1時，r（x）＞0,則/（x）在（ogj單調(diào)遞增，