生活情景折疊問題常考考點預(yù)測練

2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)備考

一、單選題

1.在一次數(shù)學(xué)實踐課上，老師拿出一張三角形紙片A3C,他問學(xué)生：通過一次折疊，一定能折出三

角形的中線、高線、角平分線中的哪些線？班里四個同學(xué)給出不同答案：小高說：高線和中線；小雪

說：中線和角平分線；小琪說：高線和角平分線；小嘉說：高線、中線和角平分線都可以.他們答案

正確的是（）

A.小局B.小雪C.小琪D.小嘉

2.如圖，在菱形紙片A3。中，E是邊上一點，將AABE沿直線AE翻折，使點8落在？上，連

則NAD5'的度數(shù)為（）

C.90°D.80°

3.如圖是一張三角形紙片，其中AB=AC=10,3c=12,按如下步驟折紙:

第一步：將該紙片對折，點8與點C重合，折痕為AD；

第二步：展開后，再將該紙片折疊；折痕為班，點A的對稱點A恰好落在AC上

根據(jù)以上折紙過程，可以求出折痕BE的長度為（）

9.8C.9.7D.9.6

4.如圖，在平行四邊形紙片ABCD中,對角線AC,即交于點0,將點8與點A重疊對折,得折痕EF,

點E在A3邊上，展開后連接CE交于點G,若ABCG面積為2,則四邊形AEG。的面積為（）

A.4B.5C.6D.7

5.如圖，在正方形紙片ABCD中，M,N分別是ADIC的中點，將紙片沿過點C的直線折疊，使點

。落在MN上的點E處，折痕CT交AD于點F,連接￡B,若￡B=4,則ED的長為（）

3

A.yB.6c.4-2相D.8-4A/3

6.如圖，一張扇形紙片OR,ZAOB=120°,04=6,將這張扇形紙片折疊，使點A與點。重

合，折痕為cr>,則圖中未重疊部分（即陰影部分）的面積為（）

A.9拒B.12TT-9-\/3C.—y/3D.6%--\/3

22

7.如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4,AQ=6,點尸是邊上的動點，現(xiàn)將紙片折疊，使點A與

點P重合，折痕與矩形邊的交點分別為E、F,要使折痕始終與邊A3、AD有交點，則成的取值范

圍是（）.

A.0<BP<4B.2A/5-3<BP<6C.4<BP<6D.6-275<BP<4

8.如圖，已知平行四邊形紙片ABCD,AB=4,BC=8,ZABC<90°.現(xiàn)將紙片作如下操作：第1

步，沿折痕班折疊紙片，使點A落在BC邊上；第2步，再沿折痕AN折疊紙片，使點B與點C重合.若

B'F=5,則EF的長為（）

D.4^-5

9.如圖，對折等邊VABC紙片，展開鋪平，折痕為C"（如圖1）,再折疊紙片，使點A,B都落在

CH上,且與點。重合，折痕分別為和五”（如圖2）.在此基礎(chǔ)上繼續(xù)折疊，小聰和小明分別

提供了以下兩種方案：

小聰說：將紙片沿反向上折疊，使得點H落在點G處.

小明說：將NCED對折，使得角兩邊EC與重合，折痕交C”于點G.

兩種方案折疊后均展開鋪平，連結(jié)EG,FG,則以上方案中折出的四邊形￡HFG為正方形的是（）

圖1圖2

A.兩個方案都能B.小聰?shù)姆桨?/p>

C.小明的方案兩個方案都不能

10.如圖，長方形紙片ABCD,點E、尸分別在邊A3、CO上，連接族.將ZBE/對折，點2落在

直線EF上的點處，得折痕上加；將對折，點A落在直線跖上的點A處，得折痕硒，連

接下列說法：

①若/B￡F=110。，則NA￡7V=35。；

②圖中與NB'ME一定互余的角有4個；

③若NA1平分NDNE,則詡平分ZA￡M；

④若NFBC+NAEA'=106°,則/3FE=16°.

其中正確的個數(shù)是（）

11.圖1是一張圓形紙片；如圖2,將圓形紙片作兩次對折，且折痕AB_LCD,垂足為點M；如圖3,

把紙片展開后，再將圓形紙片沿弦折疊，使兩點B,M重合，折痕族與相交于點N,連接AE,

AF,BE,BF.下列四個結(jié)論中錯誤的是（）

圖2圖3

A.四邊形AffiB/是菱形B.△AEF為等邊三角形

C.EN-FN=AM~~BN2D?S四fiygAEB尸：S扇形EBF=3底2兀

12.一次折紙實踐活動中，小王同學(xué)準(zhǔn)備了一張邊長為4（單位：dm）的正方形紙片ABC。，他在

邊和力。上分別取點E和點使==又在線段MD上任取一點N（點N可與端

點重合），再將AR4N沿AE所在直線折疊得到△3N,隨后連接。4一小王同學(xué)通過多次實踐得到

以下結(jié)論:

①當(dāng)點N在線段上運動時，點4在以E為圓心的圓弧上運動；

②當(dāng)達到最大值時，A到直線AD的距離達到最大;

③的最小值為2石-2；

④。A達到最小值時，MN=5-卮

你認為小王同學(xué)得到的結(jié)論正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空題

13.如圖，將平行四邊形紙片ABCD折疊，使得點。落在A3邊上的加處，折痕為AE.再將△4XE

翻折，點A恰好落在2C的中點4處，連接若AD=2,則線段AH的長為.

14.如圖1兩張等寬的矩形紙片，矩形紙片EFGH不動，將矩形紙片ABCD按如圖2方式纏繞：先

將點8與點廠重合，再依次沿尸G、H對折，點4、C所在的相鄰兩邊不重疊、無空隙，最后AT＞邊剛

若AD=8,EH=5,則GZ)長為

15.如圖，現(xiàn)有正方形紙片ABCD,點E,尸分別在邊⑷5,BC上，沿垂直于所的直線折疊得到折痕

MN,WB,C分別落在正方形所在平面內(nèi)的點E,C'處，然后還原.

DNGC

(1)若點N在邊CD上,且/BEF=a,則NC'MW=(用含a的式子表示)；

(2)再沿垂直于的直線折疊得到折痕GH,點G,H分別在邊8,4。上，點。落在正方形所在

平面內(nèi)的點“處，然后還原.若點以在線段B'C'上，且四邊形跳6”是正方形，AE=4,EB=8,

MN與GH的交點、為P,則PH的長為.

16.如圖，現(xiàn)有三角形紙片ABC,ZC=90°,折疊紙片ABC,使得點B與點C重合，得到折痕肱V,

然后還原；再次折疊紙片ABC,使得A3上的點尸與2C上的點。重合，得到折痕DE,然后還原，

且MN,DE,P。三條線段相交于同一點G.

A

CQNEB

(1)若PQ=PB,NA=a，則.(用含。的式子表示)

(2)若BC=3,AC=2,CQ=1,則pg的長為.

三、解答題

17.問題情境：

在數(shù)學(xué)實踐課程中，教師引導(dǎo)同學(xué)們圍繞“菱形紙片的折疊”主題進行探索.已知菱形

/BAD=120。，點E,尸分別是ABIC邊上的點，將菱形ABCD沿跖折疊.

猜想證明：

(1)如圖1,設(shè)對角線AC與8。相交于點0,若點3的對應(yīng)點與點。重合，折痕所交3。于點G.試

直接寫出四邊形EBFO的形狀；

問題解決：

(2)如圖2,若點8的對應(yīng)點恰好落在對角線AC上的點M處，若。0=2,40=4,求線段FC的長；

(3)如圖3,若點5的對應(yīng)點恰好落在CO邊上的點N處,若點N為C。的一個三等分點(CN>DN),

設(shè)DN=a,求△FOV的面積(用含”的式子表示).

18.綜合與實踐.

課堂上老師展示了一張直角三角形紙片，請同學(xué)們進行折紙活動.已知在RaABC中，ZACB=90°,

點。、P分別是3C、AB上的一點，連接

⑴如圖1,將NBDF沿直線。尸折疊，點8恰好與點C重合，則CFAF(填“<”、"=”或“>”)；

(2)如圖2,將VB/m沿直線￡>尸折疊，點8落在AC的中點E處，若AC=6,BC=9,求線段CO的

長；

(3)如圖3,將V3Z)廠沿直線D尸折疊，點8落在AC延長線上的點E處，EF平分NAED,求DEE4的

度數(shù).

19.【操作思考】如圖1,將正方形紙片ABCD沿過點8的直線折疊，使點A落在正方形A3CD的內(nèi)

部，點A的對應(yīng)點為點G,折痕為3E,再將該紙片沿過點3的直線折疊，使BC與BG重合，折痕為

BF.

(1)求NEBb的度數(shù).

【探究應(yīng)用】將圖1折疊所得的圖形重新展開并鋪平.如圖2,連結(jié)所，作即的中垂線分別交BE,

8C于點尸，H,連結(jié)尸尸，PA.

⑵求證：2PE2+BF2=2EF2.

(3)求證：AP平分N3AE.

20.小明在綜合實踐課上折一個等腰直角三角形紙片VABC,ABAC^90°,將VABC沿著DE折疊,

使得點A落在邊8C上的點歹，DE和AF交于點G.

⑴如圖1,若點歹恰好是陽的中點，他發(fā)現(xiàn)當(dāng)噌“則院

(2)如圖2,當(dāng)N54/=30。時，求證：也="=k,并求出女的值.

AECF

ADBF7.

⑶當(dāng)=時,----=k,貝n|左=

AECF

21.數(shù)學(xué)活動-折紙中的探索

【背景介紹】折紙藝術(shù)中蘊含著豐富的數(shù)學(xué)原理，通過折疊紙張，我們可以折出各種幾何形狀，并探

索其中的數(shù)學(xué)關(guān)系.

M

圖2

【活動材料】長方形紙張、正方形紙張、尺子、鉛筆.

【問題1](1)如圖1,把長方形的紙張AB8沿對角線折疊，重合部分(VBDF)是一個等腰三角

形嗎？為什么？

【問題2］（2）如圖2,①對折長方形紙張ABCD,使A￡>與8C重合，得到折痕￡F,把紙張展平;

②再一次折疊紙張，使點A落在斯上，并使折痕經(jīng)過點8,得到折痕同時，得到線段BN.求

證：NNBC=30。；

【問題3］（3）如圖3,要求在正方形ABCD中折出一個等邊三角形AMN,使點M,N分別在邊BC,

DC上，請畫出折痕，并簡要說明折疊過程.

22.綜合與實踐

【問題情境】

在口ABC。中（/ADC>90°）,點尸是射線D4上一點.將沿直線PC折疊，點。對應(yīng)點為E.

【數(shù)學(xué)思考】

如圖1,若點尸與點A重合，過點石作所〃&￡>,與PC交于點尸，連接。b，則四邊形AEED的形

狀一定是一（選填“菱形”“矩形”或“正方形”）；

【拓展探究】

如圖2,當(dāng)點P為AD的中點時，延長CE交AB于點R連接尸尸.試判斷與尸C的位置關(guān)系，并

說明理由；

【問題解決】

如圖3,當(dāng)點E恰好落在DABCD的邊所在直線上時，AP=3,AD=7,CD=10,直接寫出BE的長.

圖2圖3

23.小莉同學(xué)在一次數(shù)練習(xí)中曾經(jīng)遇到了平面直角系中的折疊問題，張老師講評完試卷后又讓她嘗試

完成以下同類問題:

沿邊A3翻折得到VABC,點。的對應(yīng)點為C,則點C坐標(biāo)為

（2）如圖②，長方形OWC位于平面直角坐標(biāo)系中，點A（0,17）,C（16,0）,E（0,5）分別位于兩個坐標(biāo)

軸上，。是OC上一動點，將RtZXODE1沿。E翻折得到ADEF,當(dāng)F落在BE上時，試求所在直線

的函數(shù)表達式.

（3）如圖③，四邊形Q4BC是工廠張師傅設(shè)計的某零件平面示意圖一部分，P,。分別是A3,OC上兩

點，＞ZAOD=ZAPD=ZOCB=90°,Q4=AP=2dm,OC=BC=8dm,現(xiàn)準(zhǔn)備在2C邊上再確定

3

一點Q,畫出一條分割線尸。，使得5讖蛇=,5四邊形鉆8,若存在點。，請求出8。的長度，若不存在，

請說明理由.

參考答案

題號12345678910

答案CDDBDADCAA

題號1112

答案DC

1.C

【分析】本題考查三角形中的折疊問題，先折疊再根據(jù)三角形角平分線、中線、高線定義判斷即可得

到答案.

【詳解】解：如圖，

過A折疊三角形紙片，使AC與重合，此時折痕即是過點A的角平分線，經(jīng)過了一次折疊；

先折出中點，再過中點和A折疊三角形紙片，折痕即是過點A的中線，經(jīng)過了兩次折疊；

過A折疊三角形紙片，使2C在折痕兩側(cè)的部分在同一直線上，此時折痕即是過點A的高線，經(jīng)過了

一次折疊；

通過一次折疊，一定能折出三角形的角平分線、高線，故小琪的說法正確，

故選：C.

2.D

【分析】求出NB'AO的度數(shù)，證明出=即可利用等邊對等角，以及三角形內(nèi)角和定理求出

ZADB的度數(shù).

【詳解】解：：四邊形ABCD是菱形，ZC=120°,

:.AB=AD,ZBAD=ZC=nO°,

???將AABE沿直線AE翻折，使點8落在上，ZBAE=50°,

AB'=AB,ZB'AE=ZBAE=50°,

AB'=AD,ZB'AD=ZBAD-ZBAE-ZBAE=120°-50°-50°=20°,

ZADB'=(1800-NB'AD)+2=(180°-20)4-2=80°,

故選：D.

【點睛】本題考查翻折的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，弄清題意，靈

活運用相關(guān)圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.D

【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，三線合一定理，勾股定理，先由折疊的性質(zhì)得到

NADB=ZADC=ZAEB=ZAEB=90°,再由三線合一定理得到BD=CD=-BC=6,則由勾股定

2

理得到AD=yjAB2-BD2=8，再根據(jù)=^AD-BC=^AC-BE進行求解即可.

【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得乙位汨=/ADC=/AEB=NA￡B=90。，

VAB=AC=10,BC=n,

：,BD=CD=-BC=6,

2

AD=JAB?-BD。=8>

?：S^BC=^ADBC=^AC.BE,

?“^￡=3=9.6,

AC10

故選：D.

4.B

【分析】本題重點考查平行四邊形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、三角形的面積等知識，正確地作出輔助

線是解題的關(guān)鍵.

連接OE,由平行四邊形的性質(zhì)得AO=CO,80=00,由折疊得鉆=3E,進而得到OE〃3C,

OE=〈BC,易得小GOEs△GBC,利用相似三角形的面積比來求得JA8=S.AO8=SKOB=3,進而求

出四邊形AEG。的面積.

【詳解】解：連接OE,

???四邊形是平行四邊形，對角線AC,3。交于點。,

.?.AO=CO,BO=DO.

???將點N與點A重疊對折，得折痕￡F,￡在A3邊上,

:.AE=BE,

：.OE//BC,且OE」BC,

2

:?AGOES^BC,

,OGEGOEl

??茄一節(jié)一拓―5

1

?°AOCG_0^BEG_

qq,'

O&BCG4

SQCG=S>BEG=51BCG=/X2=1，

=

^hAODSzAOB=SGCOB=S#CG+hOCG=2+1=3,

1?5西邊衫AEGO=2S"AOB—S?BEG=2x3-1=5.

故選：B.

5.D

【分析】先證明ABNM是矩形，再推出是8C的垂直平分線，求出CN,CE,再利用勾股定理求

出EN,得到ME,設(shè)ED=￡F=x,則MF=2-x,利用勾股定理建立方程求解即可.

【詳解】解：：四邊形ABCD為正方形，

AAB=BC^CD=AC,ZA=ZD=ZABC=ZBCD=90°,AD\\BC,

?：M,N分別是的中點，

：.AM=BN,BN=CN,

：.ABMW是矩形，

ZBNM=90°=ZCNM=90°,MN=AB=CD,

：.NM±BC,

M0是BC的垂直平分線，

BE=CE=4,

由折疊的性質(zhì)得：CD=CE=4,FD=EF,

：.BN=CN=AM=MD=-BC=-CD=2,MN=CD=4,

22

在RtAOVE1中，EN=\/CE2-CN2=273-

ME=4-2G

設(shè)FD=EF=x,貝!]MF=2-x,

在RtAMEF中，EF2=ME2+MF2,

：.X2=（4-2A/3）2+（2-X）2,

解得：x=8-4人,

F￡）=8-4A/3,

故選：D.

【點睛】本題考查折疊的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，適時利用勾股

定理是解答此類問題的關(guān)鍵.

6.A

【分析】本題考查了扇形的面積公式、等邊三角形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)，連接AD、0D,由

折疊可得S弓形加=S弓形”，DA=DO,DCLAO,證明△AOD為等邊三角形，得出NAOD=60。，

48=30。，求出CO=3g,再根據(jù)S弓形的=S扇形AOD-SW得出S弓形8=6兀-96，最后根據(jù)陰影

部分的面積=S扇形血。一S弓形⑺計算即可得解.

【詳解】解：如圖：連接AD、OD,

由折管可得：S弓形AO=S弓形OD，DA=DO,DC-LAO,

?；OA=OD,

AD=OD=OA,

???△AOD為等邊三角形，

AZAOD=60°,NBO￡)=30。，

VAD=OD=OA=6,DC.LAO,

AC=OC=3,

：?CD=NOD2-OC2=35

??S弓形4)=S扇形AOD_SLAOO=—正0—x6x373=6K-9\/3,

,?§弓形OD=611-9^3，

???陰影部分的面積=S扇形S弓形”="二一(6無一96)=9百，

故選：A.

7.D

【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題關(guān)鍵是要熟練運用折疊的

性質(zhì)和勾股定理.要使折痕始終與邊A3、A。有交點，就要找到F與。重合，E與8重合時對應(yīng)8尸

的長即可，由折疊可得結(jié)論.

【詳解】解：：四邊形ABCD是矩形，AB=4,AD=6,

：.ZA=ZC=90,AB=CD=4,AD=BC=6,

當(dāng)下與。重合時，如圖①，3尸的值最小，

由折疊可得，AD=PD=6,

在RtAPDC中pc=7PD2-CD2=V62-42=2后，

BP=BC-PC=6-2-45；

當(dāng)E與B重合時，如圖②，3P的值最大,

由折疊得，AB=BP^4.

綜上所述，3尸的取值范圍是6-2括V8PV4.

故選：D.

8.C

【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定、菱形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、平行線的性

質(zhì)、等角對等邊等知識，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

將圖形展開，畫出折痕，過點A作于證明四邊形A5AE是菱形，得出4?=AE=4,

4掰4

根據(jù)折疊得出cos?A空/嗑=M，解直角三角形求出BH,根據(jù)￡F=3E-BF=BH+EH-BF

計算得出答案即可.

【詳解】解：如圖，將圖形展開，畫出折痕，過點A作防于

D

:平行四邊形紙片ABCD,AB=4,BC=8,沿折痕BE折疊紙片，使點A落在BC邊上，再沿折痕AN

折疊紙片，使點8與點C重合，B'F=5,

AE//A<S，AB=A?=AC=4,?CAF90?,B'F=CF=BF=5,NABE=/HBE,

?AEB

/.ZAEB=ZABE,

AB=AE=A超，

四邊形ABA'E是菱形，EH=BH,

A(?=AE=4,

4

cos?AffBF-----=

BF5

又：ZA'HB=90°,

4

cos?A</BF-----=

A</B5

416

EH=BH=ASjfesABF=4?-—,

55

EF=BE-BF=BH+EH-BF=—+—-5=-,

555

故選：C.

9.A

【分析】本題考查了正方形與折疊問題，等腰三角形的性質(zhì)與判定，軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握折疊（即

是軸對稱）的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

由折疊的方法和對稱性質(zhì)可得：ZEHF=90°,EH=FH,再由兩種方案的折疊方法可證明四邊形

EHFP是正方形.

【詳解】：連接族，因為VABC是等邊三角形，CH所在直線是VABC的一條對稱軸，

由折疊方法可知：EH=FH,NEHA=NEHC=NCHF=NFHB=45。,E、歹是關(guān)于C”的對稱，

CHLEF,EK=FK,即CH是跖的垂直平分線，NEHF=90°,

小聰?shù)姆桨?，將紙片沿取向上折疊，使得點H落在點G處,

EH=HF=FG=GE,

，四邊形是菱形，

又；ZEHF=90。,

菱形EHFG是正方形；

小明方案，將NCED對折，使得角兩邊EC與ED重合，折痕交C”于點G.

VZAEH=ZDEH=-ZAED,ZCEG=ZDEG=-ZCED,

22

ZHEG=ZDEH+ZDEG=1(ZAE￡>+ZCED)=90°,

ZEGH=ZEHC=45°,EG//HF,

:?EG=EH=HF,

???四邊形是平行四邊形

???平行四邊形EHFG是是正方形；

綜上所述：兩種方案中折出的四邊形EHFG為正方形；

故選A.

10.A

【分析】本題考查翻折的性質(zhì)及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握翻折前后，對應(yīng)角相等.由/出下=110。,

得/AEF=180O-/B￡F=70。，而ZAEN=ZAEN,故ZAEN=ZAEN=35。；判斷①正確；由翻折

可證明===故與N丘ME一定互余的角有NBZN,ZBEM,ZANE,

ZANE,共4個，判斷②正確；若NN平分NDNE,則可證NAE4'=/B'EM=60。，判斷③正確；若

ZFBC+ZAEA!=106°,則/FBC+/EFC=106。，從而/班E=16。，判斷④正確.

【詳解】解：=

ZAEF=180°-NBEF=70°,

由翻折可知，ZAEN=ZAEN,

ZAEN=ZAEN=70。+2=35。；故①正確；

由翻折可知，ZAEN=ZAEN,Z.BEM=Z.B'EM,

'：ZAEN+ZAEN+ZBEM+ZB'EM=180°,

2ZAEN+2ZB'EM=180°,

；.ZA'EN+NB'EM=90。,

"：ZEB'M=ZEBM=90°,

AB'EM+NB'ME=90°,

ZA'EN=ZB'ME,

ZB'ME=NBME=ZAEN=ZAEN,

...與一定互余的角有NEEA/,ZBEM,ZANE,ZANE,共4個，故②正確；

若NA平分NDNE,則ZA'ND=ZA'NE,

?/ZANE=ZANE,

：.ZAND=ZA'NE=ZANE=60°,

ZAEN=ZAEN=30°,

ZAEN+ZB'EM=90°,

，ZB'EM=60°,

：.NAE4'=ZB'EM=60°,

加平分NAEM,故③正確；

若/FBC+NA￡4'=106°,則/FBC+NAS4'=106°,

；?FBC?BFC90?,

：.ZBFE=16°,故④正確；

正確的有①②③④，共4個；

故選：A.

11.D

【分析】由翻折性質(zhì)以及垂徑定理證明菱形即可判斷A；由等邊對等角作出判斷即可；先判斷

為等邊三角形，再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論；利用扇形面積公式求出結(jié)果即可.

【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可知NBMD=N8A/=90。，BN=MN,

:.CD//EF.

由垂徑定理知BM垂直平分EF,

:.BM,所互相垂直平分，

四邊形是菱形，故選項A正確，不符合題意；

■：ME=MB=1MN,

:.ZMEN=30°,

NEMN=90°-30°=60°.

,.'AM=ME,

:.ZAEM=ZEAM,

ZAEM=-ZEMN=工x60。=30。，ZAEF=ZAEM+ZMEN=30°+30°=60°.

22

同理可得NAFE=60。，

:.ZEAF=60°,

是等邊三角形，故選項B正確，不符合題意；

?：MNLEF,

:.ZBNE=9伊,EN=FN,

:.EN2+BN2=BE2.

■.■EM=BM,ZEMN=60°,

:.^BEM是等邊三角形，

:.BE=EM=AM,

:.EN2=AM2-BN2,

：.EN-FN=AM2-BN2,故選項c正確，不符合題意；

設(shè)圓的半徑為r，則=

2

EF=2EN=6r，

'S四邊形.小S扇形麗2K^^兀產(chǎn))=3百:兀，故選項D錯誤,符合題意.

故選：D

【點睛】本題圓的綜合題型，主要考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理，平行線的判定，對角線互相垂

直平分的四邊形是菱形，等邊三角形的判定與性質(zhì).注意掌握折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān)系是關(guān)鍵.

12.C

【分析】由折疊可得AE=AE=3E=2,可得點A到點E的距離恒為2,即可判斷①；連接DE,由

勾股定理得到在Rt-4Z)E中，DE7AEP+AE2=26，由。A+AE2DE,即可判斷③；達到

最小值時，點A在線段DE上，證得AADNSAADE,得到竽=絲，從而求得DN=5-,通過

MN=AD-￡W-A0即可判斷④.在△ADE中，4。隨著/。%的增大而增大，而當(dāng)NAE4最大時，

NDEA有最大值，AG有最大值，此時點N與點。重合.過點4作4GLA。于點G,作于

點尸，可得四邊形AGAP是矩形，因此AG=AP=AE+EP,當(dāng)AQ取得最大值時，尸有最小值，

在RtA^E尸中，EP=AE-cos/AEP有最大值，AG=AP=AE+EP有最大值，即可判斷②.

【詳解】解：：正方形紙片ABCD的邊長為4dm,AE=BE

AE=BE=-AB=2,

2

由折疊的性質(zhì)可知，\E=AE=2,

，當(dāng)點N在線段上運動時，點4在以E為圓心的圓弧上運動.故①正確.

連接。E,

:在正方形ABCD中，ZA=90°,AD=4,AE=2,

.,.在RIAADE中,DE=y/AD2+AE2=A/42+22=2A/5

D\+AiE>DE,

DANDE-AE=2書-2,

的最小值為2百-2.故③正確;

如圖,

0A達到最小值時，點4在線段DE上,

由折疊可得NNAE=ZA=90°,

/.ZDA^N=90°,

：.ZD^N=ZA,

NADN=ZADE,

^ADNS^ADE,

,ADDN

??耘—赤’

.2A/5-2DN

DN=5-亞,

:.MN=AD-DN-AM=4-(5-司T=$2.故④錯誤.

在△AOE中，DE=2下,AXE=AE=2,

\D隨著NOEA的增大而增大,

ZDE4,=ZNEAl-ZNED=ZNEA-ZNED=ZNEA-(ZAED-ZNEA)=2ZNEA-ZAED,

.?.當(dāng)NAE4最大時，有最大值，4G有最大值，此時，點N與點。重合，

過點A作4GLA。于點G,作于點尸，

,?ZA=90°,

四邊形AG4P是矩形，

\G=AP=AE+EP,

當(dāng)AQ取得最大值時，/AEN=NAEN也是最大值，

ZAlEP=\80°-ZAEN-ZAlEN=l80°-2NAEN,

???尸有最小值，

.?.在Rt^AEP中，石尸=AE-cosNAEP有最大值，

即\G=AP=AE+EP有最大值，

.?.點4到AD的距離最大.故②正確.

綜上所述，正確的共有3個.

故選：C

【點睛】本題考查軸對稱圖形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定及性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)的性質(zhì)，

綜合運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

13.715

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)證出AD'=/)E,而AD7/DE,進而得到四邊形ADEZ7

是平行四邊形，由折疊可得，O'E垂直平分44',即可得出AAA'B是直角三角形，再證明4=〃幺'3,

得到ZX4'=D3=2,即AB=2+2=4,最后在RtA4A'B中，運用勾股定理進行計算即可得到A4'的

長.

【詳解】解：由折疊可得，ZDAE=ZDrAE,AD=AU=2,

???平行四邊形A5CD中，AB\\CD,AD\\CB,

:.ZDEA^ZiyAE,

:.ZDAE=ZDEA,

AD=DE=2,

:.Aiy=DEf而AD'〃DE,

.??四邊形ADEiy是平行四邊形，

:.AD//D'E,

由折疊可得，ZXE■垂直平分A4',

:.AALAD,

又?.?AD||BC,

AA1BC,

.?△A42是直角三角形，

■.■Aiy=Aiy=2,

..NZX4A'=HAA,

又ZD'AA'+ZB=90°,ZD'AA+NDA'B=90°,

:.ZB=AiyAB,

:.UN=iyB^2,

AB=2+2=4，

又...4是BC的中點，BC^AD=2,

:.AB=1,

A4,=^AB2-A'B2=V42-l2=715,

故答案為：岳.

【點睛】本題主要考查了折疊問題，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等角對等邊以及勾股定理的運用，解

題時注意：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)

邊和對應(yīng)角相等.

14.1

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，得出BM〃PQ,BP//QM,證明四邊形是平行四邊形，利用ASA

證明△制/2AEBP,得出8時=取，即可證明四邊形3尸叫是菱形；標(biāo)記點/,根據(jù)矩形的性質(zhì)，

得出M7〃PQ〃GQ,MP//QI,MQ//GI,?BFP7FBM90?,證明四邊形MPQ/和四邊形

MQG/是平行四邊形，根據(jù)菱形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)，得出MQ=PQ=MI,

?BPM1MPQ,證明四邊形MQG/是菱形，根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)，得出BP=2FP,

證明△BPAf、APQM、AMQI、AGQ/是邊長相等的等邊三角形，求出4Vf=FP=l,

MQ=QI=IG=PQ=2FP=2,根據(jù)GO=AD-AM-MQ-QI-IG,得出答案即可.

【詳解】解：；兩張紙片是等寬的矩形紙片，

?ABP1FBM1BAM?BFP90?,AB=FB,BM//PQ,BP//QM,

：.?ABM?MBP?FBP?MBP90?,四邊形BPQW是平行四邊形，

?FBP,

在和AFBP中,

NBAM=NBFP

AB=FB

NABM=ZFBP

/.△ABM^AFBP(ASA),

BM=BP,

，四邊形BPQM是菱形,

如圖，標(biāo)記點/,

???兩張紙片是等寬的矩形紙片，

MI//PQ//GQ,MP//QI,MQ//GI,7BFP1FBM90?,

四邊形MPQI和四邊形MQGI是平行四邊形，

PQ=MI=GQ

:由(1)得AABM絲AFBP,BM=BP,四邊形是菱形，

：.AM=FP,MQ=PQ=MI,?BPM?MPQ,

四邊形MQG/是菱形，

：.GQ=GI,

?：?BPM?MPQ?MPQ180?,

1QAO

/.?BPM?MPQ=60?,

ABPM和APQM是等邊三角形，

?MBP60?,

?FBP?FBM?MBP90?60?30?,

ZMQP=60°,BP=2FP,

?IGQ?IMQ?MQP60?,

:.AMQI、AG。/是等邊三角形，

1/ABPM.APQM、AMQI、AGQ/依次有公共邊，

:?ABPM、、AMQI、AG。/是邊長相等的等邊三角形，

PQ=GQ=BP=2FP,

'：EH=5,

：.FG=EH=5,

FP+PQ+GQ=FP+2FP+2FP=5FP=5,

FP=1,

：.AM=FP=1,MQ=QI=IG=PQ=2FP=2,

/.GD=AD-AM-MQ-QI-IG=8-1-2-2-2=1,

故答案為：L

【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、含30。角的直

角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，靈活運用知識點推理證明是解題的關(guān)鍵.

15.90°-a/-?+9003A/5

【分析】①連接CC',根據(jù)正方形的性質(zhì)每個內(nèi)角為直角以及折疊帶來的折痕與對稱點連線段垂直的

性質(zhì)，再結(jié)合平行線的性質(zhì)即可求解；

②記龍與NC'交于點K,可證：AAEH^ABFE^ADHG^ACGF,則AE=CG==4,

DG=BE=8,由勾股定理可求8G=4行，由折疊的性質(zhì)得到：NNC'B'=NNCB=90。,N8=N9,

ZD=ZGD'H=90°,NC=NC,GD=GD'=8,貝?。軳G=NK,KC'=GC=4,由NC'〃GD,得

AHC'Ks八HDG,繼而可證明HK=KG,由等腰三角形的性質(zhì)得到PK=PG,故PH=>HG=3/.

4

【詳解】解：①連接CC,由題意得NC'NM=N4,MNICC',

?:MN工EF,

：.CC//FE,

N1=N2,

???四邊形A5C。是正方形，

???NB=NBCD=90。,

：.Z3+Z4=Z3+Z2=90°,Zl+ZBEF=90°,

???/2=/4,4=90。一c,

：.Z4=90°-a

，ZC'NM=90°-a,

故答案為：90°-?；

②記龍與NC交于點K,如圖:

同理可證：AAEH^ABFE^ADHG^ACGF,

：.AE=CG=DH=4,DG=BE=8,

在Rt^HDG中，由勾股定理得“G=，￡>/產(chǎn)+￡42=4行，

由題意得：ZNC'B'=ZNCB=90°,Z8=Z9,ZD=ZGD'H=90°,NC=NC,G￡>=GD=8,

NC//GD',

：.NNKG=Z9,

：.N8=ZA^G,

NG=NK,

：.NC-NG=NC'-NK,

即KC'=GC=4,

NC//GD',

：.AHC'K^ZXHD'G,

.HKCK_1

"'~HG~lyG~2'

/.HK==HG,

2

，HK=KG,

由題意得MN_LHG,而NG=NK,

：.PK=PG,

PH=-HG=3s/5,

4

故答案為：3A/5.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性

質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解決本題的關(guān)鍵.

16.2?-90°/-90°+2?姮J而

33

【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，

三角形外角的性質(zhì)，平行線分線段成比例，勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)得到垂直平分尸Q,得到NQGE=90。，得出/。反;=90。-/尸。3,根據(jù)直

角三角形的性質(zhì)得到/3=90。-々，根據(jù)等邊對等角得到=三角形內(nèi)角和定理，三角形外

角的性質(zhì)，計算即可得到答案；

(2)作尸于點/，求出至=，43+及:2=j2?+32=屈，根據(jù)平行線分線段成比例得到

PBBF1得到P*加理.

BC-3

【詳解】解：(1)根據(jù)題意得垂直平分P。,

NQGE=90。，

ZQEG=900-ZPQB,

???ZACB=90°,ZA=af

.\ZB=90°-a,

?/PQ=PB,

ZB=ZPQB,

\-ZQEG=ZBDE+ZB,

:.NBDE=NQEG—NB,

ZBDE=(90°-ZPQB)-ZB=(900-ZB)-ZB=90°-2(900-a)=2a-90；

故答案為21-90。；

(2)如圖，作于點尸，

-ZACB=90°f

AC\\PFAB=VAC2+BC2=722+32=V13，

???BC=3,CQ=1,

BQ=BC-CQ=3-1=2,

?/PQ=PB,

：.BF=QF=^BQ=1,

?/PF\\ACf

.PB-BF1

**AB-BC-3?

故答案為：巫

3

17.(1)四邊形EBR9為菱形；(2)—；(3)巫建

516

【分析】(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)可得NABO=NCBO,再根據(jù)折疊的性質(zhì)可知3E=OE,BF=OF,

易得ZABO=NEOB=NCBO=/FOB,進而證明四邊形尸O為平行四邊形，然后根據(jù)“鄰邊相等的

平行四邊形為菱形”，即可獲得答案；

(2)過點尸作FHJ_AC于點打，首先證明VA3C為等邊三角形，進而可得NACB=60。，

AB=BC=AC=6,設(shè)PC=X,則叱=6—x,由折疊的性質(zhì)可得，MF=BF=6-x,在RtACFW中，

由三角函數(shù)解得C",FH的值，進而可得的長度，然后在中，由勾股定理解得了的值，

即可獲得答案；

(3)過點N作NKL3C,交BC延長線于點K,根據(jù)題意可得CD=3a,CN=2a,在Rt^NCK中，

由三角函數(shù)解得CK,NK的值，設(shè)FC=y,則3尸=3。->,FK=y+a,由折疊的性質(zhì)可得，

NF=BF=3a-y,在Rt^NFK中，由勾股定理解得V的值，然后根據(jù)三角形面積公式求解即可.

【詳解】解：(1)四邊形后段’。為菱形.理由如下：

:四邊形ABCD為菱形，

ZABO=NCBO,

:將菱形ABCD沿E/折疊，點8的對應(yīng)點與點。重合，

:.BE=OE,BF=OF,

：.ZABO=ZEOB=ZCBO=/FOB,

OF//BE,OE//BF,

四邊形座FO為平行四邊形，

XVBE=OE,

???四邊形座FO為菱形；

(2)如下圖，過點/作用AC于點a,

AEB

四邊形ABCD為菱形，/BAD=120°,

/.AB=BC,AD//BC,

：.ZB=180°-ZBAD=60°,

/.VABC為等邊三角形，

AAB=BC=AC,ZACB=60°,

,：CM=2,AM=4,

：.AB=BC=AC=AM+CM=6,

設(shè)/C=x,則3尸=8。一/。=6-彳，

由折疊的性質(zhì)可得，MF=BF=6-x,

,：FH1.AC,

CH=FC-cosZACB=x-cos60°=-x,FH=FC-sinZACB=x-sin60°=—x,

22

/.MH=CM-CH=2--x,,

2

在RtAFHM中，MH2+FH2=FM2,

（6-x）2,

：.FC=—

5

(3)如下圖，過點N作NKJ_3C,交BC延長線于點K,

K

?:點、N為CD的一個三等分點(CN>DN),且ON=a,

CD=3a,CN=—CD=2a,

3

???四邊形ABCD為菱形，ZBAZ)=120°,

：.DC=BC=3a,/BCD=/BAD=120。,

：.ZNCK=180°-Z.BCD=60°,

???在Rt/iNCK中,CK=CNxcosZNCK=2axcos60。=a,

NK=CNxsinZNCK=2axsin60°=y/3a,

設(shè)bC=y,則5尸=3C—/C=3a—y,FK=FC+CK=y+a,

由折疊的性質(zhì)可得，NF=BF=3a-y,

在RtZJVFK中，NK2+FK2=NF2,

即(退a)+(〃+=(3〃_，

解得y=￡,

o

FC=—a,

8

S=-FC-NK=-x-axy/3a=-a2.

gFCN22816

【點睛】本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、

勾股定理等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

18.(1)=

(2)4

(3)90°

【分析】本題是幾何變換綜合題，考查了折疊的性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定

和性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)得