第二章函數(shù)的概念與性質第9課時函數(shù)的零點與方程的解[考試要求]

1．理解函數(shù)的零點與方程的解的聯(lián)系．2．理解函數(shù)零點存在定理，并能簡單應用．3．了解用二分法求方程的近似解．鏈接教材·夯基固本1．函數(shù)的零點與方程的解(1)函數(shù)零點的概念對于一般函數(shù)y＝f(x)，我們把使_____________的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點．f(x)＝0(2)函數(shù)零點與方程實數(shù)解的關系方程f(x)＝0有實數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)有______?函數(shù)y＝f(x)的圖象與_____有公共點．(3)函數(shù)零點存在定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條__________的曲線，且有_________________，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間__________內至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得_____________，這個c也就是方程f(x)＝0的解．零點提醒：函數(shù)f(x)的零點不是一個“點”，而是方程f(x)＝0的實根．x軸連續(xù)不斷f(a)f(b)<0(a，b)f(c)＝02．二分法對于在區(qū)間[a，b]上圖象__________且____________的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把它的零點所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近______，進而得到零點近似值的方法叫做二分法，二分法只能求變號零點．連續(xù)不斷f(a)f(b)<0零點[常用結論]1．若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在(a，b)上是單調函數(shù)，而且f(a)f(b)<0，則f(x)在(a，b)上有且僅有一個零點．2．由函數(shù)y＝f(x)(圖象是連續(xù)不斷的)在閉區(qū)間[a，b]上有零點不一定能推出f(a)·f(b)<0，如圖所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點的充分不必要條件．一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與x軸的交點． (

)(2)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]內有零點(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則f

(a)·f(b)＜0. (

)(3)函數(shù)y＝f(x)為R上的單調函數(shù)，則f(x)有且僅有一個零點． (

)(4)只要函數(shù)有零點，就可以用二分法求出零點的近似值． (

)××××√二、教材經典衍生1．(人教A版必修第一冊P155習題4.5T1改編)下列函數(shù)圖象與x軸均有交點，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點的是(

)A

BC

DA

[根據(jù)二分法的概念可知選項A中的函數(shù)不能用二分法求零點．]2．(多選)(人教A版必修第一冊P155習題4.5T2改編)已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下對應值表：√x1234567f(x)－4－2142－1－3在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)必有零點的區(qū)間為(

)A．(1，2) B．(2，3)C．(5，6) D．(6，7)√BC

[由所給的函數(shù)值表知，f(1)f(2)>0，f(2)f(3)<0，f(5)f(6)<0，f(6)f(7)＞0，∴函數(shù)f(x)必有零點的區(qū)間為(2，3)，(5，6)．故選BC.]3．(人教A版必修第一冊P143例1改編)方程log2x＋x－2＝0的實根個數(shù)是(

)A．0B．1C．2D．3√B

[令f(x)＝log2x＋x－2，易知函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，又f(1)＝－1，f(2)＝1，所以f(1)f(2)＜0，故方程f(x)＝0在(0，＋∞)上只有一個實根．故選B.]4.(人教A版必修第一冊P156習題4.5T13改編)函數(shù)f(x)＝ax2－x－1有且僅有一個零點，則實數(shù)a的值為________．

考點一判定函數(shù)零點所在的區(qū)間[典例1]

(1)(2025·河北邯鄲模擬)函數(shù)f(x)＝2x＋x3－2的零點所在的區(qū)間是(

)A．(－2，－1) B．(0，1)C．(－1，0) D．(1，2)(2)已知函數(shù)f(x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1)．當2<a<3<b<4時，函數(shù)f

(x)的零點x0∈(n，n＋1)，n∈N*，則n＝_____．典例精研·核心考點√2

(2)對于函數(shù)y＝logax，當x＝2時，可得y<1，當x＝3時，可得y>1，在同一直角坐標系中畫出函數(shù)y＝logax，y＝－x＋b的圖象，判斷出兩個函數(shù)圖象的交點的橫坐標在(2，3)內，所以函數(shù)f(x)的零點x0∈(n，n＋1)時，n＝2.]名師點評

確定函數(shù)零點所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點存在定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，若連續(xù)，則再看是否有f(a)·f(b)<0，若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內必有零點．(2)數(shù)形結合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點．[跟進訓練]1．若a<b<c，則函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的兩個零點分別位于區(qū)間(

)A．(a，b)和(b，c)內B．(－∞，a)和(a，b)內C．(b，c)和(c，＋∞)內D．(－∞，a)和(c，＋∞)內√A

[函數(shù)y＝f(x)是圖象開口向上的二次函數(shù)，最多有兩個零點，由于a<b<c，則a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.所以f(a)f(b)<0，f(b)f

(c)<0，即f(x)在區(qū)間(a，b)和區(qū)間(b，c)內各有一個零點．]

√√(1)D

(2)C

[(1)當x≤0時，令x2－1＝0，解得x＝－1；當x>0時，f(x)＝x－2＋lnx在(0，＋∞)上單調遞增，并且f(1)＝1－2＋ln1＝－1<0，f(2)＝2－2＋ln2＝ln2>0，即f(1)f(2)<0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，2)內必有一個零點，綜上，函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為2.

名師點評

求解函數(shù)零點個數(shù)的基本方法(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少個解，則f(x)有多少個零點．(2)定理法：利用定理時往往還要結合函數(shù)的單調性、奇偶性等．(3)圖象法：一般是把函數(shù)拆分為兩個簡單函數(shù)，依據(jù)兩函數(shù)圖象的交點個數(shù)得出函數(shù)的零點個數(shù)．[跟進訓練]2．(1)設函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f(x)＝ex＋x－3，則f(x)的零點個數(shù)為(

)A．1B．2C．3D．4(2)(2021·北京高考)已知f(x)＝|lgx|－kx－2，給出下列四個結論：①若k＝0，則f(x)有兩個零點；②?k＜0，使得f(x)有一個零點；③?k＜0，使得f(x)有三個零點；④?k＞0，使得f(x)有三個零點．以上正確結論的序號是________．√①②④(1)C

(2)①②④[(1)因為函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，即x＝0是函數(shù)f(x)的1個零點．當x＞0時，令f(x)＝ex＋x－3＝0，則ex＝－x＋3，分別畫出函數(shù)y＝ex和y＝－x＋3的圖象，如圖所示，兩函數(shù)圖象有1個交點，所以函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上有1個零點．根據(jù)對稱性知，當x＜0時，函數(shù)f(x)也有1個零點．綜上所述，f(x)的零點個數(shù)為3.(2)將問題轉化成兩個函數(shù)y1＝|lgx|，y2＝kx＋2圖象的交點問題．對于①，當k＝0時，|lgx|＝2，兩函數(shù)圖象有兩個交點，①正確；對于②，存在k＜0，使y1＝|lgx|與y2＝kx＋2相切，②正確；對于③，若k＜0，y1＝|lgx|與y2＝kx＋2的圖象最多有2個交點，③錯誤；對于④，當k＞0時，過點(0，2)可作函數(shù)g(x)＝lgx(x＞1)的切線，此時共有兩個交點，當直線斜率稍微小于相切時的斜率時，就會有3個交點，故④正確．]

√

[1，2]

[1，2]

[作出f(x)的大致圖象．如圖所示，方程f(x)＝m有3個不等實數(shù)根等價于f(x)的圖象與直線y＝m有3個不同的交點，則1≤m≤2.]

√√√

[－1，＋∞)[－1，＋∞)

[函數(shù)g(x)＝f(x)＋x＋a存在2個零點，即關于x的方程f

(x)＝－x－a有2個不同的實根，即函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝－x－a有2個交點，作出直線y＝－x－a與函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，由圖可知，－a≤1，解得a≥－1.]考向2

根據(jù)函數(shù)零點范圍求參數(shù)[典例4]

(1)函數(shù)f(x)＝log2x＋x2＋m在區(qū)間(1，2)上存在零點，則實數(shù)m的取值范圍是(

)A．(－∞，－5) B．(－5，－1)C．(1，5) D．(5，＋∞)√

√

(2)函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)在區(qū)間[－5，5]上恰有8個零點，即函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)的圖象在區(qū)間[－5，5]上有8個交點，由f(x＋2)＝f(x)知，f(x)是R上周期為2的函數(shù)，作函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)在區(qū)間[－5，5]上的圖象，如圖所示，

名師點評

已知函數(shù)零點求參數(shù)值或取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍．(2)分離參數(shù)法：將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)值域的問題加以解決．(3)數(shù)形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結合求解．

√

[－1，＋∞)[賞析]第一步：換元解套設t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，則a＝f(t)．第二步：輔助圖形在同一平面直角坐標系內作出y＝a，y＝f(t)的圖象(如圖)．第三步：數(shù)形結合當a≥－1時，y＝a與y＝f(t)的圖象有兩個交點．設交點的橫坐標為t1，t2(不妨設t2＞t1)，則t1＜－1，t2≥－1.當t1＜－1時，t1＝f(x)有一解；當t2≥－1時，t2＝f(x)有兩解．第四步：歸納總結綜上，當a≥－1時，函數(shù)g(x)＝f(f(x))－a有三個不同的零點．名師點評該類問題考查復合函數(shù)的零點的判斷，利用換元法和數(shù)形結合思想是解決本類問題的關鍵．含參數(shù)的嵌套函數(shù)方程，應注意讓參數(shù)的取值“動起來”，抓臨界位置，動靜結合，如本例由y＝a與y＝f(t)的圖象，確定t1，t2的取值范圍，進而由y＝f(x)與y＝t的圖象確定零點的個數(shù)．

√

√

此時f(x)＝－x2＋ax<0，即t<0，則f(t)<0，所以f(t)＝0無解，則y＝f(f(x))無零點，即a≥0時，y＝f(f(x))只有2個零點，不符合題意，若a<0，此時f(x)的大致圖象如圖，

題號135246879101112一、單項選擇題1．(2025·重慶模擬)函數(shù)f(x)＝ex＋x2－2的零點有(

)A．4個B．2個C．1個D．0個13課后作業(yè)(十五)函數(shù)的零點與方程的解√14B

[令f(x)＝ex＋x2－2＝0，即ex＝2－x2，可知函數(shù)f(x)的零點個數(shù)即為y＝ex與y＝2－x2的圖象交點個數(shù)，結合函數(shù)的圖象，可知y＝ex與y＝2－x2的函數(shù)圖象有兩個交點，所以函數(shù)有兩個零點，即函數(shù)f(x)＝ex＋x2－2的零點有2個．故選B.]題號13524687910111213142．(2025·浙江溫州模擬)設h(x)＝2x＋log2(x＋1)－2，某同學用二分法求方程h(x)＝0的近似解(精確度為0.5)，列出了對應值表如下：題號1352468791011121314√x－0.50.1250.43750.752h(x)－1.73－0.84－0.420.032.69依據(jù)此表格中的數(shù)據(jù)，方程的近似解x0可能為(

)A．x0＝－0.125 B．x0＝0.375C．x0＝0.525 D．x0＝1.5C

[由題中參考數(shù)據(jù)可得根在區(qū)間(0.4375，0.75)內，故通過觀察四個選項，符合要求的方程近似解

x0可能為0.525.故選C.]題號1352468791011121314

題號1352468791011121314√

題號13524687910111213144．(2025·河南鄭州模擬)若定義域為R的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝f

(x)，則f(x)在(－2，2)上的零點個數(shù)至少為(

)A．5B．6C．7D．8題號1352468791011121314√

題號1352468791011121314

題號1352468791011121314√C

[畫出函數(shù)y＝f(x)的圖象，如圖所示：題號1352468791011121314將原問題轉化為直線y＝ax＋2(過定點(0，2))與函數(shù)y＝f(x)的圖象交點的個數(shù)，由圖可知，當a＝0時，直線y＝2與函數(shù)y＝f(x)的圖象只有一個交點；當a<0時，直線y＝ax＋2與函數(shù)y＝f(x)的圖象沒有交點；當a>0時，直線y＝ax＋2與函數(shù)y＝f(x)的圖象有三個交點；所以直線y＝ax＋2與函數(shù)y＝f(x)的圖象不可能有兩個交點．故選C.]題號1352468791011121314

題號1352468791011121314√

題號1352468791011121314二、多項選擇題7．(2024·廣東湛江二模)已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|－a，g(x)＝x2－4|x|＋2－a，則(

)A．當g(x)有2個零點時，f(x)只有1個零點B．當g(x)有3個零點時，f(x)只有1個零點C．當f(x)有2個零點時，g(x)有2個零點D．當f(x)有2個零點時，g(x)有4個零點題號1352468791011121314√√

題號1352468791011121314由圖可知，當g(x)有2個零點時，a＝－2或a>2，此時f(x)無零點或只有1個零點，故A錯誤；當g(x)有3個零點時，a＝2，此時f(x)只有1個零點，故B正確；當f(x)有2個零點時，0<a<1，此時g(x)有4個零點．故C錯誤，D正確．故選BD.]題號1352468791011121314

題號1352468791011121314√√

題號1352468791011121314

題號1352468791011121314

題號1352468791011121314

題號1352468791011121314

題號13524687910111213142[6，7)

題號1352468791011121314

題號1352468791011121314若上述四個結論中有且只有一個結論錯誤，則