8.2.1一元線性回歸模型第八章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析數(shù)學(xué)

2.經(jīng)歷完整的統(tǒng)計(jì)活動(dòng)過(guò)程，體會(huì)應(yīng)用統(tǒng)計(jì)的思想和方法解決實(shí)際問(wèn)題.學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能結(jié)合具體實(shí)例，通過(guò)分析變量間的關(guān)系建立一元線性回歸模型，并能說(shuō)明模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，提高數(shù)據(jù)分析能力.學(xué)習(xí)重難點(diǎn)重點(diǎn)：一元線性回歸模型的概念，隨機(jī)誤差的概念、表示與假設(shè)．難點(diǎn)：回歸模型與函數(shù)模型的區(qū)別，隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因與影響．課堂導(dǎo)入

函數(shù)模型——確定性關(guān)系

統(tǒng)計(jì)模型——相關(guān)關(guān)系（非確定關(guān)系）研究?jī)蓚€(gè)變量之間的隨機(jī)關(guān)系，并通過(guò)模型進(jìn)行預(yù)測(cè).課堂導(dǎo)入問(wèn)題1：一般來(lái)說(shuō)，父親的身高較高時(shí)，兒子的身高通常也較高.為了進(jìn)一步研究?jī)烧咧g的關(guān)系，有人調(diào)查了14名男大學(xué)生的身高及其父親的身高，得到的數(shù)據(jù)如下表所示.編號(hào)1234567891011121314父親身高/cm174170173169182172180172168166182173164180兒子身高/cm176176170170185176178174170168178172165182

以橫軸表示父親身高、縱軸表示兒子身高建立直角坐標(biāo)系，再將表中的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)表示為散點(diǎn)圖；

由圖可知散點(diǎn)大致分布在一條從左下角到右上角的直線附近，表明兒子身高和父親身高線性相關(guān).利用統(tǒng)計(jì)軟件，求得樣本相關(guān)系數(shù)為r≈0.886，表明兒子身高和父親身高正線性相關(guān)，且相關(guān)程度較高.問(wèn)題2

：根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，兒子身高和父親身高這兩個(gè)變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)模型刻畫(huà)嗎？

課堂導(dǎo)入1.兒子身高和父親身高這兩個(gè)變量不是函數(shù)關(guān)系，不能用函數(shù)模型刻畫(huà).2.表中的數(shù)據(jù)，存在父親身高相同而兒子身高不同的情況.

在第3，4個(gè)觀測(cè)中，兒子的身高都是170cm，而父親的身高分別為173cm和169cm.編號(hào)1234567891011121314父親身高/cm174170173169182172180172168166182173164180兒子身高/cm176176170170185176178174170168178172165182可見(jiàn)兒子的身高不是父親身高的函數(shù)，同樣父親的身高也不是兒子身高的函數(shù)，所以不能用函數(shù)模型來(lái)刻畫(huà).課堂探究問(wèn)題3

：因?yàn)榇嬖谶@些隨機(jī)的因素，使得兒子的身高呈現(xiàn)出隨機(jī)性.各種隨機(jī)因素都是獨(dú)立的，有些因素又無(wú)法量化.考慮到這些隨機(jī)因素的作用，我們?cè)撊绾我脒m當(dāng)?shù)淖兞?，借助一次函?shù)關(guān)系刻畫(huà)父親身高對(duì)兒子身高的影響呢？

若用

x

表示父親身高，Y

表示兒子身高，e

表示隨機(jī)誤差，則假定隨機(jī)誤差

e

的均值為

0，方差為與父親身高無(wú)關(guān)的定值

σ2.課堂探究思考：

為什么要假設(shè)

E(e）=0，而不假設(shè)其為某個(gè)不為0的常數(shù)？①因?yàn)檎`差是隨機(jī)的，即取各種正負(fù)誤差的可能性一樣，所以它們均值的理想狀態(tài)應(yīng)該為0.②如果隨機(jī)誤差是一個(gè)不為0的常數(shù)α，則可以將α合并到截距項(xiàng)a中，否則模型無(wú)法確定，即參數(shù)沒(méi)有唯一解.③如果α不為0，則表示存在系統(tǒng)誤差，在實(shí)際建模中也不希望模型有系統(tǒng)誤差，即模型不存在非隨機(jī)誤差.課堂探究問(wèn)題4：根據(jù)以上的分析，你能建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型表示兒子身高與父親身高的關(guān)系嗎？

我們稱(chēng)(1)式為Y

關(guān)于x的一元線性回歸模型.其中，Y稱(chēng)為因變量或響應(yīng)變量，x稱(chēng)為自變量或解釋變量；a和b為模型的未知參數(shù)，a稱(chēng)為截距參數(shù)，b稱(chēng)為斜率參數(shù)；e是Y與bx+a之間的隨機(jī)誤差.模型中的Y也是隨機(jī)變量，其值雖不能由變量x的值確定，但卻能表示為bx+a與e的和，前一部分由x所確定，后一部分是隨機(jī)的.如果e=0，那么Y與x之間的關(guān)系就可用一元線性函數(shù)模型來(lái)描述.課堂探究思考

結(jié)合父親與兒子身高的實(shí)例，說(shuō)明回歸模型(1)的意義？

對(duì)于父親身高x和兒子身高Y的一元線性回歸模型(1)，可以解釋為：父親身高為xi的所有男大學(xué)生的身高組成一個(gè)子總體，該子總體的均值為bxi+a，即該子總體的均值與父親身高是線性函數(shù)關(guān)系.思考

對(duì)于父親身高為xi

的某一名男大學(xué)生，他的身高yi一定是bxi+a嗎？

對(duì)于父親身高為xi的某一名男大學(xué)生，他的身高yi并不一定為bxi+a，它僅是該子總體中的一個(gè)觀測(cè)值，這個(gè)觀測(cè)值與均值有一個(gè)誤差項(xiàng)ei=yi-(bxi+a).課堂探究1.在研究?jī)鹤由砀吲c父親身高的關(guān)系時(shí)，產(chǎn)生隨機(jī)誤差

e

的原因有:(1)除父親身高外，其他可能影響兒子身高的因素，比如母親身高、生活環(huán)境、飲食習(xí)慣和鍛煉時(shí)間等；(2)在測(cè)量?jī)鹤由砀邥r(shí)，由于測(cè)量工具、測(cè)量精度所產(chǎn)生的測(cè)量誤差；(3)實(shí)際問(wèn)題中，我們不知道兒子身高和父親身高的相關(guān)關(guān)系是什么，利用一元線性回歸模型來(lái)近似這種關(guān)系，這種近似也是產(chǎn)生隨機(jī)誤差e的原因.

問(wèn)題5：如何理解隨機(jī)誤差e對(duì)兒子身高的影響？課堂探究

問(wèn)題5：如何理解隨機(jī)誤差e對(duì)兒子身高的影響？假設(shè)沒(méi)有隨機(jī)誤差，則兒子身高Y只受父親身高x影響，則Y=bx+a

也可以記作Y=bx+a+e隨機(jī)誤差e隨機(jī)誤差

e的特征隨機(jī)誤差e是一個(gè)隨機(jī)變量①可取正或取負(fù)②有些無(wú)法測(cè)量③不可事先設(shè)定

課堂探究函數(shù)模型與回歸模型之間的差別函數(shù)模型：回歸模型：

一元線性回歸模型Y=bx+a+e

增加了隨機(jī)誤差項(xiàng)e，因變量Y的值由自變量x和隨機(jī)誤差項(xiàng)e共同確定，即自變量x只能解釋部分Y的變化.解釋變量x(身高)模型誤差e(其它所有變量)響應(yīng)變量Y(體重)

舉例：①路程與速度的關(guān)系②正方體體積與邊長(zhǎng)的關(guān)系可以應(yīng)用函數(shù)模型刻畫(huà)③體重與身高的關(guān)系④冷飲銷(xiāo)量與氣溫的關(guān)系可以用回歸模型刻畫(huà)。

典例解析

例：兒童的身高隨年齡的增加而增加，我國(guó)0~12歲兒童的平均身高如表所示.課堂探究年齡/歲123456789101112平均身高/cm76.586.596.8104.1111.3117.7124.0130.0135.4140.2145.3151.9解：(1)①用散點(diǎn)圖定性分析②用線性相關(guān)系數(shù)r進(jìn)行定量分析綜上，可以用一元線性回歸模型進(jìn)行刻畫(huà).（1）兒童的平均身高Y與年齡t之間能否用一元線性回歸模型來(lái)刻畫(huà)？（2）請(qǐng)說(shuō)明模型中bx+a和e在本題中的具體含義是什么？(2)bx+a表示年齡對(duì)兒童平均身高的主要影響；e表示其它因素對(duì)兒童平均身高的次要影響.隨堂練習(xí)

若某地財(cái)政收入x與支出y滿(mǎn)足一元線性回歸模型

y＝bx＋a＋e(單元：億元)，其中

b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年該地區(qū)財(cái)政收入為10億元，今年支出預(yù)計(jì)不會(huì)超過(guò)多少？解：因?yàn)樨?cái)政收入x與支出y滿(mǎn)足一元線性回歸模型

y＝bx＋a＋e，

其中

b＝0.7，a＝3，所以得到

y＝0.7x＋3＋e，

當(dāng)

x＝10

時(shí)，得

y＝0.7×10＋3＋e＝10＋e，

而

|e|≤0.5，即－0.5≤e≤0.5，所以

9.5≤y≤10.5，

所以今年支出預(yù)計(jì)不會(huì)超過(guò)

10.5

億元．練一練名師解惑一元線性回歸模型1.定義與公式：2.模型假設(shè)：（1）線性關(guān)系假設(shè)：Y與X之間存在線性關(guān)系.（2）獨(dú)立性假設(shè)：觀測(cè)值之間相互獨(dú)立.（3）正態(tài)性假設(shè)：誤差項(xiàng)服從均值為0，方差為

的正態(tài)分布.3.常見(jiàn)誤區(qū)：兩個(gè)變量不是線性相關(guān)關(guān)系，卻生搬硬套一元線性回歸模型.

評(píng)價(jià)反饋解(1),(2),(3),(4),(5)回歸模型(6),(7)函數(shù)模型．1.判斷下列變量間哪些能用函數(shù)模型刻畫(huà)，哪些能用回歸模型刻畫(huà)?(1)某公司的銷(xiāo)售收入和廣告支出；(2)某城市寫(xiě)字樓的出租率和每平米月租金；(3)航空公司的顧客投訴次數(shù)和航班正點(diǎn)率；(4)某地區(qū)的人均消費(fèi)水平和人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)；(5)學(xué)生期末考試成績(jī)和考前用于復(fù)習(xí)的時(shí)間；(6)一輛汽車(chē)在某段路程中的行駛速度和行駛時(shí)間；(7)正方形的面積與周長(zhǎng)．評(píng)價(jià)反饋2.（多選）如圖，在四個(gè)散點(diǎn)圖中，適合用一元線性回歸模型擬合其中兩個(gè)變量的是()AC評(píng)價(jià)反饋

解：因?yàn)榛貧w直線的斜率為80，所以x每增加1，y平均增加80，即勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元時(shí)，工人工資平均提高80元．B

回顧建立一元線性回歸模型的過(guò)程，你能說(shuō)出建立回歸模型的依據(jù)，并談一談對(duì)回歸模型的認(rèn)識(shí)嗎？課堂小結(jié)建立一元線性回歸模型的