大學(xué)數(shù)學(xué)考試試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$y=\sinx$的導(dǎo)數(shù)是（）A.$\cosx$B.$-\cosx$C.$\sinx$D.$-\sinx$2.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.不存在D.∞3.曲線$y=x^2$在點(diǎn)$(1,1)$處的切線斜率為（）A.1B.2C.3D.44.不定積分$\intx^2dx=$（）A.$\frac{1}{3}x^3+C$B.$\frac{1}{2}x^2+C$C.$x^3+C$D.$x^2+C$5.若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，則$\int_{a}^f(x)dx$與$\int_^{a}f(x)dx$的關(guān)系是（）A.相等B.互為相反數(shù)C.無關(guān)系D.不確定6.設(shè)向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(3,4)$，則$\vec{a}\cdot\vec=$（）A.5B.10C.11D.137.二元函數(shù)$z=x^2+y^2$的駐點(diǎn)是（）A.$(0,0)$B.$(1,1)$C.$(0,1)$D.$(1,0)$8.級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$是（）A.收斂B.發(fā)散C.不確定D.條件收斂9.行列式$\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}=$（）A.-2B.2C.10D.-1010.設(shè)$A$為$n$階方陣，若$|A|=0$，則$A$（）A.可逆B.不可逆C.滿秩D.秩為$n$二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.$y=x^3$B.$y=\sinx$C.$y=\cosx$D.$y=x+1$2.下列極限存在的有（）A.$\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}$B.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}$C.$\lim\limits_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}$D.$\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}$3.函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)的充要條件是（）A.左導(dǎo)數(shù)存在B.右導(dǎo)數(shù)存在C.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)D.函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)4.下列積分中，能用牛頓-萊布尼茨公式計(jì)算的有（）A.$\int_{0}^{1}e^xdx$B.$\int_{-1}^{1}\frac{1}{x}dx$C.$\int_{0}^{2\pi}|\sinx|dx$D.$\int_{1}^{2}\frac{1}{x^2}dx$5.關(guān)于向量的運(yùn)算，正確的有（）A.$\vec{a}+\vec=\vec+\vec{a}$B.$(\vec{a}+\vec)+\vec{c}=\vec{a}+(\vec+\vec{c})$C.$\lambda(\vec{a}+\vec)=\lambda\vec{a}+\lambda\vec$D.$\vec{a}\cdot\vec=\vec\cdot\vec{a}$6.二元函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$處可微的必要條件有（）A.函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)B.偏導(dǎo)數(shù)存在C.偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)D.全微分存在7.下列級(jí)數(shù)中，收斂的有（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$B.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$D.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$8.對(duì)于矩陣的運(yùn)算，正確的有（）A.$(AB)C=A(BC)$B.$A(B+C)=AB+AC$C.$(A+B)C=AC+BC$D.$AB=BA$9.設(shè)$A$，$B$為$n$階方陣，下列等式成立的有（）A.$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$B.$(AB)^T=B^TA^T$C.$|AB|=|A||B|$D.$(A^{-1})^{-1}=A$10.線性方程組$Ax=b$有解的情況是（）A.$r(A)=r(A|b)$B.$r(A)\ltr(A|b)$C.$r(A)\gtr(A|b)$D.$A$為方陣且$|A|\neq0$三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$y=\frac{1}{x}$在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。（）2.若函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處極限存在，則函數(shù)在該點(diǎn)一定連續(xù)。（）3.函數(shù)$y=x^3$的二階導(dǎo)數(shù)為$y''=6x$。（）4.定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，與積分變量的記號(hào)無關(guān)。（）5.向量$\vec{a}=(1,0)$與向量$\vec=(0,1)$垂直。（）6.二元函數(shù)$z=x+y$的全微分$dz=dx+dy$。（）7.級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收斂，則$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$。（）8.若矩陣$A$可逆，則$A$的伴隨矩陣$A^$也可逆。（）9.齊次線性方程組$Ax=0$一定有解。（）10.若$A$為$n$階正交矩陣，則$|A|=1$。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)$y=\ln(1+x)$的導(dǎo)數(shù)。答：根據(jù)求導(dǎo)公式$(\lnu)^\prime=\frac{u^\prime}{u}$，令$u=1+x$，$u^\prime=1$，所以$y^\prime=\frac{1}{1+x}$。2.計(jì)算定積分$\int_{0}^{1}x^2dx$。答：由牛頓-萊布尼茨公式$\int_{a}^F^\prime(x)dx=F(b)-F(a)$，$F(x)=\frac{1}{3}x^3$，則$\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}x^3\big|_{0}^{1}=\frac{1}{3}$。3.求向量$\vec{a}=(2,3)$與$\vec=(-1,2)$的夾角余弦值。答：$\vec{a}\cdot\vec=2\times(-1)+3\times2=4$，$|\vec{a}|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，$|\vec|=\sqrt{(-1)^2+2^2}=\sqrt{5}$，夾角余弦值$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}||\vec|}=\frac{4}{\sqrt{65}}$。4.簡述判斷級(jí)數(shù)收斂的比較判別法。答：設(shè)$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$和$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且$0\leqa_n\leqb_n$。若$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$收斂，則$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收斂；若$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$發(fā)散，則$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$發(fā)散。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)$y=x^3-3x$的單調(diào)性與極值。答：$y^\prime=3x^2-3=3(x+1)(x-1)$。令$y^\prime=0$，得$x=\pm1$。當(dāng)$x\lt-1$或$x\gt1$時(shí)，$y^\prime\gt0$，函數(shù)遞增；當(dāng)$-1\ltx\lt1$時(shí)，$y^\prime\lt0$，函數(shù)遞減。極大值為$y(-1)=2$，極小值為$y(1)=-2$。2.討論二元函數(shù)$z=x^2+y^2-2x+4y$的極值情況。答：先求偏導(dǎo)數(shù)，$z_x=2x-2$，$z_y=2y+4$。令$z_x=0$，$z_y=0$，得駐點(diǎn)$(1,-2)$。$A=z_{xx}=2$，$B=z_{xy}=0$，$C=z_{yy}=2$，$AC-B^2=4\gt0$且$A\gt0$，所以在點(diǎn)$(1,-2)$處取得極小值，$z(1,-2)=1+4-2-8=-5$。3.討論矩陣可逆的條件及可逆矩陣的性質(zhì)。答：$n$階方陣$A$可逆的充要條件是$|A|\neq0$。性質(zhì)有：$(A^{-1})^{-1}=A$；$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$；$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$等。4.討論線性方程組解的情況與系數(shù)矩陣秩的關(guān)系。答：對(duì)于線性方程組$Ax=b$，當(dāng)$r(A)=r(A|b)$時(shí)，方程組有解，$r(A)=r(A|b)=n$（$n$為未知數(shù)個(gè)數(shù)）時(shí)有唯一解，$r(A)=r(A|b)\ltn$時(shí)有無窮多解；當(dāng)$r(A)\ltr(A|b)$