14.3.1角的平分線的性質(zhì)第十四章

全等三角形【2025新教材】人教版數(shù)學(xué)

八年級上冊

授課教師：********班級：********時間：********幻燈片1：封面標(biāo)題：14.3.1角的平分線的副標(biāo)題：探尋角平分線奧秘，解鎖幾何等量關(guān)系背景圖：以城市道路交匯形成的角、激光切割形成的角等為背景，搭配動態(tài)的角平分線閃爍效果，展現(xiàn)角平分線在實(shí)際與數(shù)學(xué)中的重要性，吸引學(xué)生注意力幻燈片2：目錄情境導(dǎo)入角平分線的定義回顧角平分線性質(zhì)的探究角平分線性質(zhì)的證明角平分線性質(zhì)的應(yīng)用課堂練習(xí)與互動課堂小結(jié)課后作業(yè)布置幻燈片3：情境導(dǎo)入生活實(shí)例展示：播放一段視頻，展示生活中角平分線的應(yīng)用場景，如建筑設(shè)計(jì)中對稱結(jié)構(gòu)的角度分割、農(nóng)田灌溉區(qū)域的角度劃分、風(fēng)箏制作時的角度設(shè)計(jì)等

。提問引導(dǎo)：“同學(xué)們，在剛才的視頻中，這些場景都用到了角平分線。角平分線在其中起到了關(guān)鍵作用，那角平分線究竟有哪些獨(dú)特的性質(zhì)呢？今天我們就一起來深入探究?！被脽羝?：角平分線的定義回顧定義講解：從一個角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線。通過動畫演示，在\(\angleAOB\)中，射線\(OC\)將\(\angleAOB\)分成\(\angleAOC\)和\(\angleBOC\)，且\(\angleAOC=\angleBOC\)，強(qiáng)調(diào)射線\(OC\)就是\(\angleAOB\)的平分線

。幾何語言表示：若\(OC\)是\(\angleAOB\)的平分線，則\(\angleAOC=\angleBOC=\frac{1}{2}\angleAOB\)?；脽羝?：角平分線性質(zhì)的探究探究活動：提出問題：在角平分線上任意取一點(diǎn)，分別向角的兩邊作垂線，得到的垂線段長度之間有什么關(guān)系呢？操作步驟：畫出一個\(\angleAOB\)，作出它的平分線\(OC\)。在\(OC\)上任意取一點(diǎn)\(P\)，過點(diǎn)\(P\)分別作\(PD\perpOA\)，垂足為\(D\)，\(PE\perpOB\)，垂足為\(E\)。測量\(PD\)和\(PE\)的長度，并記錄

。學(xué)生操作：讓學(xué)生自己動手畫圖、測量，小組內(nèi)對比測量結(jié)果，觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律

。引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)：通過大量學(xué)生的操作和數(shù)據(jù)對比，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)無論點(diǎn)\(P\)在角平分線上的位置如何變化，都有\(zhòng)(PD=PE\)?；脽羝?：角平分線性質(zhì)的證明已知與求證：已知\(OC\)是\(\angleAOB\)的平分線，點(diǎn)\(P\)在\(OC\)上，\(PD\perpOA\)，\(PE\perpOB\)，垂足分別為\(D\)、\(E\)，求證\(PD=PE\)。證明過程：因?yàn)閈(OC\)是\(\angleAOB\)的平分線，所以\(\angleAOC=\angleBOC\)。又因?yàn)閈(PD\perpOA\)，\(PE\perpOB\)，所以\(\anglePDO=\anglePEO=90^{\circ}\)。在\(\trianglePDO\)和\(\trianglePEO\)中，\(\begin{cases}\angleAOC=\angleBOC\\\anglePDO=\anglePEO\\OP=OP\end{cases}\)根據(jù)“AAS”判定定理，可得\(\trianglePDOa??\trianglePEO\)。因?yàn)槿热切蔚膶?yīng)邊相等，所以\(PD=PE\)。強(qiáng)調(diào)要點(diǎn)：強(qiáng)調(diào)證明過程中利用角平分線的定義得到角相等，以及直角和公共邊作為全等判定的條件，明確證明的邏輯思路

?；脽羝?：角平分線性質(zhì)的應(yīng)用-基礎(chǔ)應(yīng)用例題講解：“如圖，\(OC\)是\(\angleAOB\)的平分線，點(diǎn)\(P\)在\(OC\)上，\(PD\perpOA\)于點(diǎn)\(D\)，\(PE\perpOB\)于點(diǎn)\(E\)，已知\(PD=5cm\)，求\(PE\)的長度?！敝v解：根據(jù)角平分線的性質(zhì)，因?yàn)閈(OC\)是\(\angleAOB\)的平分線，\(PD\perpOA\)，\(PE\perpOB\)，所以\(PE=PD=5cm\)。方法總結(jié)：遇到已知角平分線和角平分線上一點(diǎn)到角兩邊的垂線，可直接利用角平分線的性質(zhì)得出垂線段相等

。幻燈片8：角平分線性質(zhì)的應(yīng)用-實(shí)際應(yīng)用例題講解：“如圖，要在兩條公路\(OA\)和\(OB\)之間修建一個加油站\(P\)，使加油站到兩條公路的距離相等，加油站\(P\)應(yīng)建在何處？”講解：因?yàn)榧佑驼镜絻蓷l公路的距離相等，所以加油站\(P\)應(yīng)建在\(\angleAOB\)的平分線上，即作\(\angleAOB\)的平分線，在平分線上任選一點(diǎn)（滿足實(shí)際建設(shè)條件）作為加油站的位置

。思路分析：引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，利用角平分線的性質(zhì)解決實(shí)際選址問題，體會數(shù)學(xué)的實(shí)用性

?；脽羝?：角平分線性質(zhì)的應(yīng)用-綜合應(yīng)用例題講解：“如圖，在\(\triangleABC\)中，\(AD\)是\(\angleBAC\)的平分線，\(DE\perpAB\)于點(diǎn)\(E\)，\(DF\perpAC\)于點(diǎn)\(F\)，且\(BD=CD\)，求證\(BE=CF\)。”講解：因?yàn)閈(AD\)是\(\angleBAC\)的平分線，\(DE\perpAB\)，\(DF\perpAC\)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得\(DE=DF\)。在\(Rt\triangleBDE\)和\(Rt\triangleCDF\)中，\(\begin{cases}BD=CD\\DE=DF\end{cases}\)根據(jù)“HL”定理，可得\(Rt\triangleBDEa??Rt\triangleCDF\)。因?yàn)槿热切蔚膶?yīng)邊相等，所以\(BE=CF\)。思路分析：對于綜合應(yīng)用問題，要善于結(jié)合角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，建立邊與邊、角與角之間的等量關(guān)系

。幻燈片10：課堂練習(xí)與互動-基礎(chǔ)練習(xí)題目展示：已知\(OP\)是\(\angleMON\)的平分線，點(diǎn)\(Q\)在\(OP\)上，\(QA\perpOM\)于點(diǎn)\(A\)，\(QB\perpON\)于點(diǎn)\(B\)，若\(QA=3cm\)，則\(QB=\)______。如圖，\(OC\)平分\(\angleAOB\)，\(PD\perpOA\)，\(PE\perpOB\)，垂足分別為\(D\)、\(E\)，\(\angleAOB=60^{\circ}\)，則\(\angleDOP=\)______?；迎h(huán)節(jié)：學(xué)生獨(dú)立完成練習(xí)，教師巡視指導(dǎo)，選取學(xué)生回答問題，及時糾正錯誤，講解解題思路

?；脽羝?1：課堂練習(xí)與互動-綜合練習(xí)題目展示：如圖，在\(\triangleABC\)中，\(AD\)平分\(\angleBAC\)，\(DE\perpAB\)，\(DF\perpAC\)，垂足分別為\(E\)、\(F\)，且\(\triangleABC\)的面積為\(14cm^2\)，\(AB=8cm\)，\(AC=6cm\)，求\(DE\)的長

。已知：如圖，\(BD\)平分\(\angleABC\)，\(AB=BC\)，點(diǎn)\(P\)在\(BD\)上，\(PM\perpAD\)于點(diǎn)\(M\)，\(PN\perpCD\)于點(diǎn)\(N\)，求證\(PM=PN\)。互動環(huán)節(jié)：學(xué)生先獨(dú)立思考，然后小組討論交流解題思路，每組派代表上臺講解，教師總結(jié)多種解法，拓展學(xué)生思維

?；脽羝?2：課堂小結(jié)知識回顧：總結(jié)角平分線的定義、性質(zhì)，強(qiáng)調(diào)角平分線性質(zhì)中“角平分線上的點(diǎn)”“到角兩邊的距離”等關(guān)鍵要素

。學(xué)習(xí)方法強(qiáng)調(diào)：鼓勵學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，多結(jié)合圖形理解性質(zhì)，遇到涉及角平分線的問題，主動聯(lián)想角平分線的性質(zhì)；在實(shí)際問題中，學(xué)會將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，利用所學(xué)知識解決

?；脽羝?3：課后作業(yè)布置基礎(chǔ)作業(yè)：如圖，\(OE\)平分\(\angleAOB\)，\(EC\perpOA\)于點(diǎn)\(C\)，\(ED\perpOB\)于點(diǎn)\(D\)，若\(OC=3cm\)，\(OE=5cm\)，求\(ED\)的長度

。已知\(AD\)是\(\angleBAC\)的平分線，在\(AD\)上取一點(diǎn)\(P\)，\(PE\perpAB\)于點(diǎn)\(E\)，\(PF\perpAC\)于點(diǎn)\(F\)，且\(PE=4cm\)，求\(PF\)的長度

。拓展作業(yè)：思考如何利用角平分線的性質(zhì)設(shè)計(jì)一個平分任意角的工具（可以用紙張、木條等材料制作模型），并撰寫一份設(shè)計(jì)報告，說明設(shè)計(jì)原理和使用方法，下節(jié)課分享

。5課堂檢測4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解1.能用尺規(guī)作圖作一個角的平分線，知道作圖的理論依據(jù).2.探索并證明角的平分線的性質(zhì)，能夠利用該性質(zhì)解決幾何問題；3.熟練掌握證明幾何命題的一般步驟.操作

請你作出∠AOB的平分線OC，你有怎樣的方法？AOB用量角器度量；將角剪下來，用折紙的方法對折．前面我們學(xué)習(xí)了全等三角形的性質(zhì)和判定，知道可以通過證明三角形全等，來證明線段相等或角相等.本節(jié)利用這個方法研究角的平分線，研究角的平分線上的點(diǎn)具有什么特性，以及滿足什么條件的點(diǎn)在角的平分線上.探究

如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上的任意一點(diǎn)，M，N分別是OA，OB上的點(diǎn)，我們研究PM與PN的關(guān)系.研究幾何圖形的關(guān)系時，我們往往關(guān)注其中的一些特殊情況.在圖中，當(dāng)OM與ON滿足什么關(guān)系時，PM=PN？在△OPM和△OPN中，OP=OP，∠POM=∠PON，如果OM=ON，那么△OPM≌△OPN

(SAS)，就有PM=PN.探究

反過來，如圖，M，N分別是∠AOB的邊OA，OB上的點(diǎn)，OM=ON.點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，PM=PN，你能證明出點(diǎn)P在∠AOB的平分線上嗎？AOBMNPOM=ON，PM=PN，OP=OP，∴△OPM≌△OPN

(SSS)，證明：連接OP，在△OPM和△OPN中探究

反過來，如圖，M，N分別是∠AOB的邊OA，OB上的點(diǎn)，OM=ON.點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，PM=PN，你能證明出點(diǎn)P在∠AOB的平分線上嗎？AOBMNP證明：∴∠POM=∠PON，∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.思考

由上述結(jié)論，你能想到如何作一個角的平分線嗎？根據(jù)上述結(jié)論，可以先在角的兩邊上分別作出與角的頂點(diǎn)距離相等的兩點(diǎn)；再在角的內(nèi)部作出與這兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)；以角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)，作過這個點(diǎn)的射線，就能得到角的平分線了.AOBMNPABO已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分線.

MNC為什么呢？知識點(diǎn)1

作已知角的平分線ABOMNC思考

作圖依據(jù)是什么？利用“SSS”證明全等兩個三角形全等，則對應(yīng)角相等知識點(diǎn)1

作已知角的平分線例1

已知：∠AOB，如圖所示.求作：∠AOB的補(bǔ)角的平分線.（不寫作法，保留作圖痕跡）解：如圖所示，射線OD就是∠AOB的補(bǔ)角的平分線.AOBCEFD知識點(diǎn)1

作已知角的平分線跟蹤訓(xùn)練

已知：平角∠AOB.求作：平角∠AOB的平分線.AOBEFC結(jié)論：作平角的平分線的方法就是過直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線的方法.知識點(diǎn)1

作已知角的平分線由此，我們可以猜想角平分線有什么性質(zhì)？探究

如圖，OC是∠AOB的平分線.點(diǎn)P1，P2，P3，…在OC上，過點(diǎn)P1，P2，P3，…，分別畫OA與OB的垂線，垂足分別為D1與E1、D2與E2、D3與E3…，分別比較P1D1與P1E1、P2D2與P2E2、P3D3與P3E3…，你有什么發(fā)現(xiàn)？P1D1=P1E1、P2D2=P2E2、P3D3=P3E3.角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.知識點(diǎn)2

角的平分線的性質(zhì)我們證明這個性質(zhì).首先，要分清其中的“已知”和“求證”.已知：一個點(diǎn)在一個角的平分線上；求證：這個點(diǎn)到這個角兩邊的距離相等.為了更直觀、清楚地表達(dá)題意，我們通常在證明之前畫出圖形，并用符號表示已知和求證.知識點(diǎn)2

角的平分線的性質(zhì)知識點(diǎn)2

角的平分線的性質(zhì)如圖，OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.求證：PD=PE.分析：如果能證明△OPD≌△OPE，就可以得到PD=PE.由題意可知，△OPD和△OPE具備“角角邊”的條件.如圖，OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.求證：PD=PE.知識點(diǎn)2

角的平分線的性質(zhì)證明：∵OC是∠AOB的平分線，∴∠AOC=∠BOC.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.如圖，OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.求證：PD=PE.知識點(diǎn)2

角的平分線的性質(zhì)證明：在△OPD和△OPE中，∠AOC=∠BOC，∠PDO=∠PEO，OP=OP，∴△OPD≌△OPE（AAS），∴PD=PE

.符號語言：∵OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE.角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.知識點(diǎn)2

角的平分線的性質(zhì)例2 把兩個同樣大小的含30°角的三角尺按照如圖(1)所示方式疊合放置，得到如圖(2)的Rt△ABC和Rt△ABD，設(shè)M是AD與BC的交點(diǎn)，則這時MC的長度就等于點(diǎn)M到AB的距離，你知道這是為什么嗎？請說明理由.知識點(diǎn)2

角的平分線的性質(zhì)解：如圖，過點(diǎn)M作MH⊥AB于點(diǎn)H.∵∠BAD=30°，∠CAB=60°，∴∠MAC=∠BAC-∠MAB=30°=∠MAB,∴AM平分∠CAB.例2 把兩個同樣大小的含30°角的三角尺按照如圖(1)所示方式疊合放置，得到如圖(2)的Rt△ABC和Rt△ABD，設(shè)M是AD與BC的交點(diǎn)，則這時MC的長度就等于點(diǎn)M到AB的距離，你知道這是為什么嗎？請說明理由.知識點(diǎn)2

角的平分線的性質(zhì)解：∵M(jìn)H⊥AB，MC⊥AC,∴MH=MC，即MC的長度等于點(diǎn)M到AB的距離.證明一個幾何命題時的步驟：已知：一個點(diǎn)在一個角的平分線上求證：這個點(diǎn)到角兩邊的距離相等；第一步：明確命題中的已知和求證.第二步：根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號表示已知和求證；第三步：經(jīng)過分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫出證明過程.知識點(diǎn)3

證明幾何命題的一般步驟例3

求證：三角形的一邊的兩端點(diǎn)到這條邊上的中線所在直線的距離相等.知識點(diǎn)3

證明幾何命題的一般步驟解：已知：如圖，AD為△ABC的中線，且CF⊥AD于點(diǎn)F，BE⊥AD，交AD的延長線于點(diǎn)E.求證：BE=CF.證明：∵AD為△ABC的中線，∴BD=CD.∵BE⊥AD，CF⊥AD,例3

求證：三角形的一邊的兩端點(diǎn)到這條邊上的中線所在直線的距離相等.知識點(diǎn)3

證明幾何命題的一般步驟解：∴∠BED=∠CFD=90°.在△BED

和△CFD中，∠BED=∠CFD，∠BDE=∠CDF，BD=CD，∴△BED≌△CFD（AAS）.∴BE=CF.跟蹤訓(xùn)練

根據(jù)下列圖形，寫出命題“如果兩個直角三角形有一條直角邊和斜邊上的高分別對應(yīng)相等，那么這兩個直角三角形全等”的已知，求證和證明過程.已知：________________________.求證：________________________.證明：知識點(diǎn)3

證明幾何命題的一般步驟跟蹤訓(xùn)練

根據(jù)下列圖形，寫出命題“如果兩個直角三角形有一條直角邊和斜邊上的高分別對應(yīng)相等，那么這兩個直角三角形全等”的已知，求證和證明過程.知識點(diǎn)3

證明幾何命題的一般步驟已知：如圖，Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ACB=∠DEF=90°，EH⊥DF于H，CG⊥AB于G，AC=DE，CG=EH.求證：Rt△ABC≌Rt△DFE.跟蹤訓(xùn)練

根據(jù)下列圖形，寫出命題“如果兩個直角三角形有一條直角邊和斜邊上的高分別對應(yīng)相等，那么這兩個直角三角形全等”的已知，求證和證明過程.證明：∵EH⊥DF于H，CG⊥AB于G,∴∠DHE=∠AGC=90°.在Rt△ACG與Rt△DEH中，

∴Rt△ACG≌Rt△DEH(HL)，AC=DE，CG=EH，知識點(diǎn)3

證明幾何命題的一般步驟跟蹤訓(xùn)練

根據(jù)下列圖形，寫出命題“如果兩個直角三角形有一條直角邊和斜邊上的高分別對應(yīng)相等，那么這兩個直角三角形全等”的已知，求證和證明過程.證明：∴∠A=∠D，在△ABC與△DFE中，∠A=∠D，AC=DE，∠ACB=∠DEF，∴△ABC≌△DFE(ASA).知識點(diǎn)3

證明幾何命題的一般步驟1.如圖，若OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C，D，則下列結(jié)論中錯誤的是 ()A.PC=PD.B.∠CPO=∠DPO.C.OC=OP.D.OC=OD.C2.如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB.若AC=2，DE=1，則S△ACD=_______.1F

3.如圖，在直線MN上求作一點(diǎn)P，使點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，且點(diǎn)P到射線OA和OB的距離相等.OBAMNECDP4.如圖，已知：OD平分∠AOB，在OA，OB邊上取OA=OB，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分別為M，N.求證：PM=PN.證明：∵OD平分∠AOB，∴∠1=∠2.在△AOD和△BOD中,OA=OB，∠2=∠1，OD=OD，∴△AOD≌△BOD（SAS），4.如圖，已知：OD平分∠AOB，在OA，OB邊上取OA=OB，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分別為M，N.求證：PM=PN.證明：∴∠3=∠4，又∵PM⊥DB，PN⊥DA，∴PM=PN.(角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等)5.如圖，