瓜豆原理專題講解練習(xí)

什么是“瓜豆原理”呢？其基本要義概括為：

一條折線段，固定其折點；鄰邊定比例，夾角不改變.主動于直線，從動于直線；主動于(弧)圓，從動于(弧)圓.瓜豆問題的實

質(zhì)是基于“位似圖形的旋轉(zhuǎn)變換””有的地方也叫做主從聯(lián)動問題。

引例1：如圖，若A,B,C為平面內(nèi)的三個點，點A為定點，點B在定直線1上運動，在運動過程中，保持NBAC=a(0。<a<1

80°)，且AC=k-AB(k>0)不變.則點C也在某一定直線上運動.

A為定點.點B在半徑為r的定。0上運動,在運動過程中，保持ZBAC=a(0°<a<180°)，且AC=k.AB(k>0)不變.則點C也

在一定圓上運動.

引例2:如圖,△APQ是直角三角形,NPAQ=90。且AP=2AQ,當(dāng)P在圓O運動時,Q點軌跡是？

【分析】考慮AP±AQ,可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM±AO;

考慮AP:AQ=2:1,可得Q點軌跡圓圓心M滿足AO:AM=2:1.

即可確定圓M位置，任意時刻均有^APO^AAQM,且相似比為2.

【模型總結(jié)】

為了便于區(qū)分動點P、Q,可稱點P為“主動點”，點Q為“從動點”.

此類問題的必要條件：兩個定量

主動點、從動點與定點連線的夾角是定量(NPAQ是定值)；

主動點、從動點到定點的距離之比是定量(AP:AQ是定值).

Q

【結(jié)論】⑴主、從動點與定點連線的夾角等于兩圓心與定點連線的夾角：

Z.PAQ=Z.OAM;

(2)主、從動點與定點的距離之比等于兩圓心到定點的距離之比：

AP-.AQ=40:4M也等于兩圓半徑之比.

小結(jié)定點A到定圓的圓心O的距離一“點心距離”是一個“不變量”以此為切入點輔以“位似旋轉(zhuǎn)變換”以“定點?定長”為落腳點證

明從動點在一定圓上運動.古人云：種瓜得瓜,種豆得豆.“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”.

【思考1］：如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP,以AP為一邊作等邊A4PQ.

考慮：當(dāng)點P在圓O上運動時，Q點軌跡是？

【分析】

Q點滿足⑴NPAQ=60。;(2)AP=AQ,故Q點軌跡是個圓:考慮/-PAQ=60。,可得Q點軌跡圓圓心M

滿足^MAO=60。;考慮AP=4Q,可得Q點軌跡圓圓心M滿足.AM=AO,,且可得半徑.MQ=PO

.即可確定圓M位置，任意時刻均有△APO三&AQM.

【小結(jié)】可以理解AQ由AP旋轉(zhuǎn)得來，故圓M亦由圓O旋轉(zhuǎn)得來，旋轉(zhuǎn)角度與縮放比例均等于AP與AQ的位置和數(shù)量關(guān)系.

【思考2】如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP,以AP為斜邊作等腰直角△APQ.

考慮：當(dāng)點P在圓O上運動時，如何作出Q點軌跡?

Q

【分析】Q點滿足⑴NPAQ=45。;⑵AP:AQ=&:1,故Q點軌跡是個圓.

連接A0,構(gòu)造/LOAM=45。且AO:AM=V2:l.M點即為Q點軌跡圓圓心，此時任意時刻均有△AOPooA4MQ,即可確定點Q

的軌跡圓.

【練習(xí)】如圖點P(3,4),圓P半徑為2,A(2.8,0),B(5.6,0),點M是圓P上的動點，點C是MB的中點,則AC的最小值是

【分析】M點為主動點，C點為從動點，B點為定點.考慮C是BM中點,可知C點軌跡：取BP中點O,以O(shè)為圓心，OC為

半徑作圓，即為點C軌跡.

當(dāng)A、C、O三點共線且點C在線段OA上時，AC取到最小值，根據(jù)B、P坐標(biāo)求O,利用兩點間距離公式求得OA,再減去OC

即可.

如圖，在等腰Rt△4BC中,AC=BC=2&點P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點，當(dāng)半圓從點A運動至點B時，

點M運動的路徑長為一.

【分析】考慮C、M、P共線及M是CP中點，可確定M點軌跡：

取AB中點0,連接C0取CO中點D,以D為圓心,DM為半徑作圓D分別交AC、BC于E、F兩點，則弧EF即為M點軌跡.

當(dāng)然，若能理解M點與P點軌跡關(guān)系，可直接得到M點的軌跡長為P點軌跡長一半，即可解決問題.

如圖.正方形ABCD中,AB=2V5,O是BC邊的中點，點E是正方形內(nèi)一動點，（0E=2,連接DE,將線段DE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)

90。得DF,連接AE、CF.求線段OF長的最小值.

B0

【分析】E是主動點，F(xiàn)是從動點，D是定點，E點滿足E。=2,,故E點軌跡是以0為圓心，2為半徑的圓.

考慮DE±DF且DE=DF,故作DM±DO且DM=DO,F點軌跡是以點M為圓心，2為半徑的圓.

直接連接OM,與圓M交點即為F點,此時OF最小.可構(gòu)造三垂直全等求線段長，再利用勾股定理求得OM,減去MF即可得到

OF的最小值

【類似性問題】.△4BC中,AB=4,AC=2,以BC為邊在△4BC外作正方形BCDE,BD、CE交于點0,則線段AO的最大值為一

A

【分析】考慮到AB、AC均為定值，可以固定其中一個，比如固定AB,將AC看成動線段，由此引發(fā)正方形BCED的變化,

求得線段AO的最大值.

根據(jù)AC=2,,可得C點軌跡是以點A為圓心，2為半徑的圓.

接下來題目求A0的最大值，所以確定。點軌跡即可，觀察A80c是等腰直角三角形，銳角頂點C的軌跡是以點A為圓心，2

為半徑的圓，所以0點軌跡也是圓，以AB為斜邊構(gòu)造等腰直角三角形，直角頂點M即為點0軌跡圓圓心.

連接AM并延長與圓M交點即為所求的點0,此時A0最大，根據(jù)AB先求AM,再根據(jù)BC與B0的.比值可得圓M的半徑與

圓A半徑的比值，得到MO,相加即得AO.

此題方法也不止這一種，比如可以如下構(gòu)造旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A、C、A，共線時，可得A0最大值.

或者直接利用托勒密定理可得最大值.

二、軌跡之線段篇

引例：如圖,P是直線BC上一動點，連接AP,取AP中點Q,當(dāng)點P在BC上運動時，Q點軌跡是?

【分析】當(dāng)P點軌跡是直線時，Q點軌跡也是一條直線.

可以這樣理解：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N,在運動過程中，因為4P=24Q,所以QN始終為AM的一半，

即Q點到BC的距離是定值，故Q點軌跡是一條直線.

【弓I例】如圖，△4PQ是等腰直角三角形，"AQ=90。且AP=AQ,,當(dāng)點P在直線BC上運動時，求Q點軌跡?

A

【分析】當(dāng)AP與AQ夾角固定且AP：AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形.

當(dāng)確定軌跡是線段的時候，可以任取兩個時刻的Q點的位置，連線即可，比如Q點的起始位置和終點位置，連接即得Q點軌跡

必要條件：

主動點、從動點與定點連線的夾角是定量QP4Q是定值）；

主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP：AQ是定值）.

結(jié)論：

P、Q兩點軌跡所在直線的夾角等于ZP4Q（當(dāng)NP4Q<90。時,NP4Q等于MN與BC夾角）

P、Q兩點軌跡長度之比等于AP:AQ（由△ABCAAMN,,可得AP;AQ=BC;MN）

B

如圖，在等邊△ABC中,AB=10,BD=4,BE=2,點P從點E出發(fā)沿EA方向運動，連結(jié)PD,以PD為邊，在PD的右側(cè)按如圖所

示的方式作等邊△DPF,,當(dāng)點P從點E運動到點A時，點F運動的路徑長是______.

【分析】根據(jù)△DPF是等邊三角形，所以可知F點運動路徑長與P點相同，P從E點運動到A點路徑長為8,故此題答案為8.

如圖，已知點A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為2g的一個定點，AC1x軸于點M,交直線y=-x于點N,若點P是線段ON上的一個

動點，.Z.APB=30°,BA1PA,,則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點隨之運動.求當(dāng)點P從點O運動到點N時，點B運動

的路徑長是一.

【分析】根據(jù).乙PAB=90°,乙4PB=30?？傻茫篈P-.AB=<?,-.1,故B點軌跡也是線段，且P點軌跡路徑長與B點軌跡路徑長之

比也為V3:1?P點軌跡長ON為2倔，故B點軌跡長為2在

【練習(xí)】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，4(-3,0),點B是y軸正半軸上一動點，點C、D在x上，以AB為邊在AB的下方作等

邊A,點B在y軸上運動時，求OP的最小值.

【分析】求OP最小值需先作出P點軌跡，根據(jù)△4BP是等邊三角形且B點在直線上運動，故可知P點軌跡也是直線.

取兩特殊時刻：(1)當(dāng)點B與點O重合時，作出P點位置P1；⑵當(dāng)點B在x軸上方且AB與x軸夾角為60。時，作出P點位置P2.

連接P1P2,即為P點軌跡.

根據(jù)^ABP=60。可知：PR與y軸夾角為（60。,作OP1「止?,所得OP長度即為最小值，OP2=OA=3,所以O(shè)P=|,

如圖,正方形ABCD的邊長為4,E為BC上一點,且BE=1,F為AB邊上的一個動點，連接EF,以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG?

連接CG,則CG的最小值為

【分析】同樣是作等邊三角形，區(qū)別于上一題求動點路徑長，本題是求CG最小值，可以將F點看成是由點B向點A運動，由

此作出G點軌跡：

考慮到F點軌跡是線段，故G點軌跡也是線段，取起點和終點即可確定線段位置，初始時刻G點在Gi位置,最終G點在（Gz位

置（（G2不一定在CD邊）,GiG?,即為G點匹動軌跡.

CG最小值即當(dāng)CG1GiG?的時候取到，作（CH±GiG?于點H,CH即為所求的最小值.

根據(jù)模型可知：G&與AB夾角為60°,故（G&1EG”

過點E作EF1CH于點F,則HF=GjE=1,CF=1CE=|,

所以CH=*因此CG的最小值為j.

三、軌跡之其他圖形篇

所謂“瓜豆原理”，就是主動點的軌跡與從動點的軌跡是相似性，根據(jù)主、從動點與定點連線形成的夾角以及主、從動點到定點

的距離之比，可確定從動點的軌跡，而當(dāng)主動點軌跡是其他圖形時，從動點軌跡必然也是.

如圖，在反比例函數(shù)y=的圖像上有一個動點A,連接AO并延長交圖像的另一支于點B,在第一象限內(nèi)有一點C,滿足A

C=BC,當(dāng)點A運動時，點C始終在函數(shù)y=*的圖像上運動，若tan^CAB=2,則k的值為（）

A.2B.4