專題01與三角形的邊有關(guān)的四種題型

類型一、利用三邊關(guān)系簡絕對值

例.若a,b,c是EABC的三邊,貝！I化簡b-c|-尼-。-的結(jié)果是()

A.2a—2bB.2b—2a

C.2cD.0

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系"任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊"，得到abc<0,bac

<0,再根據(jù)絕對值的性質(zhì)進行化簡計算.

【詳解】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得

abc<0,bac<0

團原式=一-b—c)—[—(b—a—c)]=一a+6+C+Z?—a-c—26—2a

故選B.

【點睛】本題考查三角形三邊關(guān)系和絕對值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形三邊關(guān)系.

【變式訓(xùn)練】按要求完成下列各小題.

⑴在44BC中，AB=8,BC=2,AC的長為偶數(shù)，求AABC的周長；

⑵已知AABC的三邊長分別為3,5,a,化簡岡一2,—21.

【答案】(1)AABC的周長為18

(2)|a+l|-|fl-8|-2|fl-2|=-3

【分析】(1)根據(jù)三角形的三邊關(guān)系以及AC的長為偶數(shù)，即可求得AC的長，從而即可得解；

(2)根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可求得AC的取值范圍，從而化簡不等式計算即可.

【詳解】(1)解:根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得：8-2<AC<8+2,即6VAec10.

團AC為偶數(shù)，

EIAC=8,

EkABC的周長為8+2+8=18；

(2)解：回AABC的三邊長分別為3,5,a,

05-3<a<3+5,解得2<“<8,

回—8|—21a_2|

=4+1-(8-口)一2(口一2)

=a+l—8+a—2〃+4=—3.

【點睛】本題主要考查了三角形的三邊間的關(guān)系，熟記三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三

邊是解題的關(guān)鍵.

類型二、確定三邊的范圍

例.三角形的周長小于13,且各邊長為互不相等的整數(shù)，則這樣的三角形共有個.

【答案】3

【分析】根據(jù)周長小于13,三角形三邊為互不相等的整數(shù)，三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第

三邊可確定三邊可選的數(shù)字為2、3、4、5,由此可得這樣的三角形以及個數(shù).

【詳解】解：根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊以及三角形的周長小于13,則其中的任何一邊不能超過

6.5；

根據(jù)三角形各邊為整數(shù)，所以任何一邊都大于1,且小于6,故三邊可選的數(shù)字為2、3、4、5；

根據(jù)各邊不相等可得，三邊可以為：2、3、4；2、4、5；3、4、5；

故這樣的三角形共有3個，

故答案為：3.

【點睛】本題考查三角形三邊關(guān)系，涉及分類討論的思想.解答的關(guān)鍵是找到三邊的取值范圍及對三角形

三邊的理解把握.

【變式訓(xùn)練1］財8C的兩邊長為4和3,則第三邊上的中線長m的取值范圍是.

17

【答案】

【分析】作出草圖，延長AD到E,使DE=AD,連接CE,利用“邊角邊"證明團ABD和團ECD全等，然后根據(jù)

全等三角形對應(yīng)邊相等可得CE=AB,再根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之和小于第三邊求出

AE的取值范圍，便不難得出m的取值范圍.

【詳解】解：如圖，延長AD至IJE,使DE=AD,連接CE,

0AD是EIABC的中線,

SBD=CD,

在國ABD和EIECD中，

AD=DE

<NADB=NEDC,

BD=CD

00ABD00ECD(SAS),

0CE=AB,

EIAB=3,AC=4,

043<AE<4+3,即1<AE<7,

17

故答案為—<771<—?

22

【點睛】本題主要考查倍長中線法構(gòu)造全等三角形和三邊關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握倍長中線法

構(gòu)造全等三角形.

【變式訓(xùn)練2］在等腰0ABe中，AB=AC,AC腰上的中線將三角形周長分為15和21兩部分，則這個

三角形的底邊長為.

【答案】16或8

【分析】本題由題意可知有兩種情況，AB+AZ>15或AB+AD=2L從而根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形三

邊關(guān)系可求出底邊為8或16.

【詳解】解：是等腰EA2C的中線，可設(shè)AD=C￡)=x,則AB=AC=2x

又知8。將三角形周長分為15和21兩部分

團可知分為兩種情況

@AB+AD=15,即3x=15,解得尤=5,此時2C=21-x=21-5=16

@AB+AD=21,即3x=21,解得x=7；此時等腰EIABC的三邊分別為14,14,8

經(jīng)驗證，這兩種情況都是成立的

團這個三角形的底邊長為8或16

故答案為：16或8

A

【點睛】本題主要考查來了等邊三角形的性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系（兩邊之和大于第三邊，兩邊只差小

于第三邊），注意求出的結(jié)果燕驗證三角形的三邊關(guān)系，掌握分類討論思想是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練3]一個三角形有兩邊長分為3與2.若它的第三邊的長為偶數(shù).則它的第三邊長為.

【答案】2或4

【分析】根據(jù)三角形的邊的關(guān)系，求得第三邊的取值范圍，在結(jié)合偶數(shù)條件，即可確定答案.

【詳解】解：設(shè)第三邊長為x

根據(jù)三角形的邊的關(guān)系可得：l<x<5,

又由第三邊為偶數(shù)，所以第三邊長為2或4

故答案為2或4

【點睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，確定第三邊的取值范圍是關(guān)鍵.也可使用列舉，但是容易因遺漏

導(dǎo)致錯誤.

類型三、三角形的中線問題

例.如圖，在44BC中，點。是AC邊上一點，CD:4）=1:2,連接3D,點E是線段3。上一點，BE:ED=1:3,

連接AE,點尸是線段AE的中點，連接CF交線段3D于點G,若“LBC的面積是12,則AEFG的面積

是.

【答案】49

4

21

【分析】連接。尸，CE.由題意中的線段的比和以麗=12,可推出黑血,=§久樹=8,S^CBD=-S^C=4,

131

從而可求出S4ABE=WS4ABD—2,S^ADE=ZSAABD二6.結(jié)合中點的性質(zhì)即得出＜皿,=5^^二^久皿；=3,從

139DGSrnF1

而可求出工8尸=3$^^=3，進而得出SAECFMSAACFMS,WF+SACDFUJ，取后即得出方=三—=7-取

222QB^^ECF°

39

后即可求出ShEFG=—SLEDF=—.

【詳解】解：如圖，連接。方，CE.

回SAABD=§S4ABe=8,SKBD=§S/6C=4.

又回3E:ED=1:3,

13

團S&ABE=[S4ABD=2,S^ADE=-S4ABD=6.

回點廠是線段A￡的中點，

國S^ADF=S^EDF=2^^ADE=3.

團CD:AD=1:2,

PIS=—SA,

皿QKDF2A0歹2

回S.ACF=^AADF+SEDF=5，

回S^ECF=S&ACF=2，

3

向S&CDF_2_1nnS.A匹SA喀_J_

團7一—0_』，即s+S~3

'△ECF_3%EFG十》AEGCD

2

DG1

團---=—，

EG3

39

UPIoSAEFG=—4DSAEDF=—4，

9

故答案為：—.

4

【點睛】本題考查線段的中點的性質(zhì)，線段的幾等分點的性質(zhì)，與三角形的高有關(guān)的計算問題.正確的連

接輔助線是解題關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練1】如圖，在AABC中，。是邊的中點，E、尸分別是邊AC上的三等分點，連接BE、BF分

別交CD于G、H點，若“3C的面積為90,則四邊形EFHG的面積為.

33

【答案】y

【分析】如圖：連接AH,設(shè)SQH。，S'ADH=6,根據(jù)“等底同高的三角形面積相等〃可得

21

q、AS。、AFH=S叢金-SKFH=2a、S^、S^=S^=b,

§=60S&=3S&SAAOC=BDC=—5AAec=45AHDBHD

3〃+b=4515

進而列出二元一次方程組2"2八6。求解可得Ss=5；同理：連接心設(shè)院。=C，S&AEG=d，可

得。ADGE=c+d=9+12=21,最后根據(jù)SEFHG=^AADC-S4ADGE-SGHF即可解答.

【詳解】解：如圖：連接A",設(shè)2CM=〃，S.ADH=b,

E、產(chǎn)分別是邊AC上的三等分點，AABC的面積為90,

12

回AE=EF=CF=gAC，=60,SXACH=3a,S4ApH=S&ACH-S&CFH=2a

國。是邊A3的中點,

回SxADC=SRDC=5^ABC-45,S^AHD=S.BHD="

=+

團8AApc=SAACH+SAA0H=45,即3。+Z?=45，^^ABF^^ABH^^AFH，即2Z?+2a=6。

15

3Q+。=45215

：

02b+2a=60,解得'45，即S&CFH~2

b=——

2

如圖：連接AG,設(shè)S.曲C'"AAEG-U，

A

團S&ABG=2c,S“GC=3d

團8AApc=SAADG+￡AGC,即c+3d=45,SAABE=S4ABG+S&AEG，即2c+d=30

c+3d=45,c-9

回2c+d=3。’解得:

d=12

團SAADGE=c+d=9+12=21,

1533

=

SEFHG=S^ADC-S&ADGE-SQHF45—21——=-

故答案為，33.

【點睛】本題主要考查了三角形中線、三角形的等分點、解二元一次方程組等知識點，通過做輔助線、明

確各三角形之間的面積關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練2】如圖，點C為直線外一動點，AB=6,連接C4、CB,點￡＞、E分別是AB、的中點,

連接A￡、CD交于點E當(dāng)四邊形班地）的面積為5時，線段AC長度的最小值為

【分析】如圖:連接即，過點C作C"，鈿于點H,根據(jù)三角形中線的性質(zhì)求得黑人利=15,從而求得CH=5,

利用垂線段最短求解即可.

【詳解】解：如圖：連接防，過點C作于點

團S&ABE=S4ACE=3S4ABe=*^AAZ)C=S&BDC'^Z\AFD=，\CEF=^BEF，

++

團S^CEF+S四邊形或用七-SMEF+^AACF，,^ACEF=*^ABEFZ\BFD='四邊形BDFE=，

團S四邊形班小七-^AACF=5，

團&ABC=^AACF+S四邊形5￡)FE+^Z^AFD+^CEF=15,

S-CHAB=15,

2

EICH=5,

又回點到直線的距離垂線段最短，

0AC>CH=5,

國AC的最小值為5.

故答案為：5.

【點睛】本題考查了三角形中線的性質(zhì)、垂線段最短等知識點，正確作出輔助線、利用中線分析三角形的

面積關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練3】如圖，在AABC中，已知8。為"RC的中線，過點A作%)分別交3D、8c于點R

E,連接CF,若DF=2,AF=6,BE:EC=3:1,貝US..c=.

【答案】84

【分析】根據(jù)3D為AABC的中線，可得S,ADF=SQF，S/BD=S.CBD，通過題中條件可求得SMDF=SMDF=6,

根據(jù)5氏￡。=3：1,可得％尸￡8：=3：1,^/\AEB*^/\AEC-：1,設(shè)S△尸七。=X,則S&EB=34,

+

S/\BCD=S^FEC^AFEB+^/\CDF=4x+6=SAABD,故ZAFB=4x+6-6=4x,根據(jù)以但：S4AEC=3：1,列方程

7x=3（x+12）,即可解答.

【詳解】解：???3。為AABC的中線，

?v=qq—Q

一^AADF-Q?DF?Q&ABD-Q&CBD?

\AE.LBD,

-qT_2X6

…°AADF-?4CDF-2一0'

QBE:EC=3A,

,,SAFEB,S^FEC=3?1，SAAEB?^AAEC=3?1，

設(shè)S△產(chǎn)EC=X,則S^FEB=3x,

一S/\BCD=S2FEC+S/^FEB+S/\CDF=4%+6=S4AB口,

^S^AFB=4X+6-6=4X,

根據(jù)S4AEB：S4AEC=3：1,列方程7x=3(x+12),

解得x=9,

-IXABC=^AABF+S&BCF+^AADF+^ACBF=36+36+6+6=84.

故答案為：84.

【點睛】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，根據(jù)題中的邊長之比得出對應(yīng)的三角形的面積之比是解題的關(guān)鍵.

類型四、三角形的面積綜合

例.如圖①，在平面直角坐標系中，A(a,0),C(b,2),且滿足(a+2)2+揚=1=0,過C作C施x軸于8.

⑴直接寫出三角形ABC的面積一；

(2)如圖②，若過8作BOMC交y軸于。，且AE,OE分別平分回CAB,WDB,求&4即的度數(shù)；

⑶在y軸上是否存在點尸，使得三角形ACP和三角形ABC的面積相等？若存在，求出尸點的坐標；若不

存在，請說明理由.

【答案】⑴4

(2)45°

(3)P(0,1)或(0,3)

【分析】(1)先依據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)可求得。、6的值，從而可得到點A和點C的坐標，接下來，再求得點8

的坐標，最后，依據(jù)三角形的面積公式求解即可；

(2)過￡作防44。，首先依據(jù)平行線的性質(zhì)可知回。￡)2=回6,0CAB=05,接下來，依據(jù)平行公理的推

理可得到AC〃斯，然后，依據(jù)平行線的性質(zhì)可得到回1=回3,02=04,然后，依據(jù)角平分線的性

質(zhì)可得到國3=3回。42,回4=5回。最后，依據(jù)胡石。=回1+回2=03+回4求解即可；

(3)①當(dāng)P在y軸正半軸上時，設(shè)點P(0,t),分別過點P,A,8作軸，軸，軸，

交于點M,N,然后，用含f的式子表示出AMCM的長，然后依據(jù)S〃APC=S^MVACS/CMP%4NP=4列

出關(guān)于f的方程求解即可；②當(dāng)尸在y軸負半軸上時，分別過點P,A,B作軸，AN/y軸，BM/ly

軸，交于點M,N,設(shè)點尸(0,a),然后用含a的式子表示出A7V、CM的長，最后，依據(jù)S"1PC=S齦

MNACSAANPSACMP=4列方程求解即可.

【詳解】(1)解：國(。+2)2+至工=0,

回〃+2=0,&2=0,

團a=2,b=2,

明(2,0),B(2,0),C(2,2),

西ABC的面積為：1-x2x4=4.

故答案為：4.

(2)團CB〃y軸，BD//AC,

00043=05,回0。2=回6,13cA2+回。。8=回5+回6=90°,

過E作正〃AC,如圖所示：

SBD//AC,

QBDHACHEF,

0AE、OE分別平分EICA8、SODB,

EEI3=g回。48=回1,04=y0O￡)B=02,

ffl0A￡￡)=01+02=y(ECAB+EI0DB)=45o.

(3)①當(dāng)P在y軸正半軸上時，如圖所示:

設(shè)P(0,f),過P作MN〃x軸，AN〃y軸，BM//y^i,

^\SAAPC=SMMNACSACMPSAANP^,

4Q-2+。,、

⑵=4,

解得：上3；

②當(dāng)尸在y軸負半軸上時，如圖所示:

設(shè)尸(0,a),過尸作MN〃無軸,AN〃y軸，軸，

^\SAAPC=S梯形MNACSAANPSACMPMA,

4(—q+2—ci)

0—......--------+q(2q)=4,

解得：a=1；

研0,1)或(0,3).

【點睛】本題主要考查的是三角形的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了非負數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積公式,

平行線的性質(zhì)，依據(jù)三角形的面積公式、梯形的面積公式依據(jù)圖形中相關(guān)圖形之間的面積關(guān)系列出關(guān)于a

和/的方程是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練1】如圖1,已知點A(-2,0),5(0,-4),C(T,-6),過點C作無軸的平行線加，一動點尸從C

點出發(fā)，在直線機上以1個單位長度/秒的速度向右運動，與此同時，直線加以2個單位長度/秒的速度豎

直向上運動.

(2)若點P在第三象限，且5AA鰭=8,求點P的坐標；

⑶如圖2,如果將直線AB沿y軸負半軸向下平移”個單位長度，恰好經(jīng)過點C,求〃的值.

【答案】⑴(—3,Y),(T+r,-6+2t)

*，-5)

(3)10

【分析】(1)每運動1秒，點尸向右移動1個單位長度，向上移動2個單位長度，由此可解;

(2)連接OP,^AABP=S&AOP+S&BOP~SMOB，由此可解；

(3)由平移的性質(zhì)和規(guī)律即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：由題意可知，每運動1秒時，點尸向右移動1個單位長度，向上移動2個單位長度.

運動1秒時，點尸的坐標為(T+1,-6+2),即P(-3,-4)；

運動，秒時，點尸的坐標為(-4+r,-6+2。，

故答案為：(-3,-4),(-4+7,-6+2。；

(2)解：如圖，連接0P.

回點A(-2,0),3(0,T),

團OA=2,OB=4,

團點尸(T+r,-6+2。，在第三象限，

團~4+，＜0,-6+2tv0,

團點尸到y(tǒng)軸的距離為H+4=4T,

點P至I]x軸的距離為|-6+24=6-2/,

0S?ABP=^hAOP+S￡BOP—SMOB=8,

解得：/="

2

7

回-4+，=—,—6+2，=—5,

2

團點尸的坐標為卜g,-；

(3)解：如圖，設(shè)直線機與y軸交于點D

E|C（-4,-6）,

回。(0,—6),

回B(O,T),-4-(-6)=2,

回直線A3沿y軸負半軸向下平移2個單位長度時經(jīng)過點D,

由(2)知，OA=2,OB=4,

團直線沿y軸負半軸每向下平移2個單位長度，直線與直線m的交點向左平移1個單位長度，

回點D向左平移4個單位長度到達點C,

團將直線A2沿＞軸負半軸向下平移〃個單位長度，恰好經(jīng)過點C時，“=2+2x4=10,

即?的值為10.

【點睛】本題是三角形綜合題目，考查了坐標與圖形的特點、三角形面積、平移的性質(zhì)等知識點，綜合性

較強，熟練掌握三角形面積公式和平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練2】如圖1,在平面直角坐標系中，A(a,0),C(b,2),且滿足|。+*6|+@+6+4=0,過

C作CBI3X軸于總

⑴求三角形A8C的面積.

(2汝口圖2,若過8作BOI3AC交＞軸于。，且AE,OE分別平分EIC4B,^ODB,求0AED的度數(shù).

⑶若AC交y軸于點尸，在，軸上是否存在點P,使得三角形AC尸的面積是三角形AOF的面積的4倍？若

存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由.

【答案］⑴4

(2)45°

⑶P坐標為(0,3)或(0,1)

【分析】(D根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)可列出關(guān)于。、6的二元一次方程組，解出“b,即得出A、B、C三點坐

標，然后根據(jù)三角形面積公式計算即可；

(2)過E作ERMC,根據(jù)平行線的性質(zhì)結(jié)合角平分線定義即可求解；

(3)連接OC.根據(jù)S&AOC=SAAOF+"FOC和SAAOF=S"OC'即可求出S》OF=1,從而可求出s△ACP=4.分

類討論①當(dāng)尸點在X軸上方時，作肱V〃龍軸，A"〃丁軸，3N〃y軸，分別交于點M、N.設(shè)P(0,m),

根據(jù)S&APC=S梯形ACNM—S&CPN—SAAPM，即可求出機的值，即得出答案；②當(dāng)尸點在X軸下方時，作M州'〃X

7

軸，AA/'〃y軸，5N'〃y軸，分別父于點A/、N'.設(shè)設(shè)尸(0,n),根據(jù)凡人尸。=S梯形4。%”-SQM-5?尸時,，

即可求出"的值，即得出答案.

【詳解】(1)解：回a+4b-6|+j3a+b+4=0,

[a+4Z?-6=0

切,

[3a+b+4=0

[a=—2

解得：L9.

[b=2

0A(2,0),C(2,2).

團CB團43,

回5(2,0),

媯慶4,CB=2,

團SAADRC=-2x4x2=4；

(2)如圖，過E作￡7同4c.

0CBElx軸，

OCHBy軸，0CBA=9O°,

fflO￡)B=EI6.

又ELBD0AC,

EHCA2=[35,

EI0C4B+[3O￡)B=E5+06=18OO0CBA=9OO.

0BZM4C,

^BD^\AC^EFf

團團1二團3,02=04.

團4￡,OE分別平分團C43,回。。8,

團團3=g團CAB,m=^ODB,

團團AED二回1+回2=團3+團4=j-(^CAB+^ODB)=45°；

q一q_i_v

°AAOC-°AAOFT"AFOC，

團S/OF+SAFOC~2.

5

?SAOF=|AOOF,S^FOC=-yc-OF,AO=yc=2,

回SAAOP=S&FOC=5SAAOC=1.

回S&ACP=4SAA0F，

國S4ACP=4

分類討論：①當(dāng)尸點在X軸上方時，如圖，作MN〃x軸，AM〃y軸，3N〃y軸，分別交于點〃、N.

設(shè)尸(0,m)

MN=4,

團SAAPC=S梯形ACNM_SACPN~~^APM

=^(CN+AM)-MN-^CN-PN-^MP-AM

=—(m-2+m)x4--(m-2)x2--x2m

=2m-2,

團2m—2=4,

解得：m=3.

團此時點P坐標為(0,3)；

②當(dāng)P點在x軸下方時，如圖，作軸，軸，BV〃y軸，分別交于點AT、N'.

設(shè)P(0,力，

則M'P=2,N'P=2,N'C=2n,MN=4,

團S^APC=S梯形4cMM'_S?PN'_S“y>M，

=g(CN'+AM').MN—gCN'.PN'-gM'P.AM'

=1(2-/z-n)x4-1(2-M)x2-1x2(-M)

=2—2〃，

[32—2n=4,

解得：n=—l.

團此時點P坐標為(0,1).

綜上可知點尸坐標為(0,3)或(0,1).

【點睛】本題考查非負數(shù)的性質(zhì)，解二元一次方程組，坐標與圖形，角平分線的定義，三角形的面積公式,

平行線的判定和性質(zhì).利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想是解題關(guān)鍵.

課后訓(xùn)練

1.如圖，在AABC中，延長C4至點凡使得AF=C4,延長AB至點。，使得3D=2AB,延長BC至點

E,使得CE=3CB,連接E尸、FD、DE,若以.=36,則1極為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】先設(shè)AASC的面積為加，再根據(jù)底共線，高相等，面積的比等于底邊的比，將其余各個三角形的

面積表示出來，總面積為36,解得AABC的面積.

【詳解】解：如圖，連接E4、CD,設(shè)的面積為加，

VBD=2AB,

△BCD的面積為2%,AACD的面積為3帆，

：AF^CA

???△AFD的面積為3〃z,

CE=3CB,

■■AACE的面積為3m,△AEF的面積為3m,AECD的面積為6m,

S^DEF=m+2m+3m+3m+6m+3m=18m=36,

..m=2,即AABC的面積為2

故選：B

【點睛】本題考查了三角形的面積問題，等高且共底的三角形面積比是底邊的比這個性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.已知如圖，AABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,A點在％軸負半軸上，直角頂點。在y軸上，點8

在x軸上方.

⑴如圖1,點C的坐標是(0,2).

①若ZACO=60。，貝I|AC=；

②若A的坐標是(-4,0),求點8的坐標.

(2)如圖2,若x軸恰好平分Z5AC,BC與x軸交于點E,過點B作族，x軸于E問AE與即有怎樣的

數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

【答案】⑴①AC=4；0B（-2,6）

（2）AE=2BF；理由見解析

【分析】（1）①根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)果；②過點2作研，了軸，證明△C4O043HC,

求得OC=BH=2,OH=OC+CH=6,即可得到點3的坐標

（2）延長段'、AC交于點”，證明八4/?四ZWH，得到=再證明△ACE四△3CH,即可得

至IJ=

【詳解】（1）①回點C的坐標是（0,2）,

EIOC=2,

團NACO=60。，且NAOC=90°,

回/ft4c=30°,

0AC=2OC=4

②過點B作軸，

0A（-4,O）,C（0,2）,

團OA=4,OC=2,

團AABC是等腰直角三角形，

aAC=BC,ZACB=90°,

團NACO+N5cH=90。，

ZACO+ZCAO=90°,

@/BCH=/CAO,

在△C4O和△577C中，

ZAOC=ZBHC=90°

<ZCAO=NBCH,

AC=BC

團△C4O四△班C,

團OC=BH=2,CH=OA=4,

團OH=OC+CH=6,

05（-2,6）

（2）AE^2BF,理由如下:

延長即、AC交于點”，

回BF±x,

團/AFB=/AFH=90。,

取軸平分/BAC,

團NC4E=NBAE,

團AF=AF,

團△AFBZ/WH,

⑦BF=FH,即跳T=2N,

也NACE=NBFE=90。,ZAEC=ZBEFf

@/CAE=NCBH,

國AC=BC,ZACE=ZBCH=90°,

^AACE^ABCH,

^AE=BH=2BF

【點睛】本題是三角形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判

定和性質(zhì)及角平分線的定義，解決本題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形

3.不等邊AABC兩條高的長度分別為4和12,若第三條高的長度也是整數(shù)，求第三條高的長.

【答案】第三條高的長為5.

【分析】可設(shè)高為12時對應(yīng)邊長x,則利用等面積法可求得長度為4的高對應(yīng)的邊長為3x,設(shè)第三邊y,

根據(jù)三邊關(guān)系有3x-x<y<3x+x,即2元<y<4x,第三邊上的高（設(shè)為z）,利用等面積法可知滿足

多<Z<f,求得Z取值，再利用Z為整數(shù)和三角形不等邊可求得Z.

4x2x

【詳解】設(shè)長度為12的高對應(yīng)的邊長為工

則長度為4的高對應(yīng)的邊長為3%

則第三邊（設(shè)為>）滿足3兀一％<y<3%+%

即2%<y<4%

故第三邊上的高（設(shè)為z）滿足y12尤<z<12f無

4x2x

即3Vz<6

團z為整數(shù)

團z=4或5

當(dāng)z=4時，三角形為等腰三角形，不符合題意

故z=5.第三條高的長為5.

【點睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，解本題的關(guān)鍵是靈活利用等面積法將三邊長度聯(lián)系起來，并注意

結(jié)果一定要符合題意，

4.三邊長均為整數(shù)，且周長為30的不等邊三角形有多少個？

【答案】18

【分析】不妨設(shè)三角形三邊為。、b、c,且由三角形三邊關(guān)系定理及題設(shè)條件可確定c的取值

范圍，以此確定。的值，再確定“、6的值.

【詳解】解：設(shè)三角形三邊為b>c,且

0a+Z?+c=3O,a+b>c,

0a+Z?+c>2c,即2c<30,

0c<15,

3c>a+b+c=30,

0c>lO,

01O<c<15,

又回c為整數(shù)，

EK為10、11、12、13、14,

團①當(dāng)c為10時，有1個三角形，10,10,10；

②當(dāng)c為11時，有2個三角形，11,10,9；11,11,8；

③當(dāng)c為12時，有4個三角形，12,12,6；12,11,7；12,10,8；12,9,9；

④當(dāng)c為13時，有5個三角形，13,13,4；13,12,5；13,11,6；13,10,7；13,9,8；

⑤當(dāng)c為14時，有7個三角形，14,14,2；14,13,3；14,12,4；14,11,5；

14,10,6；14,9,7；14,8,8；

都是整數(shù)的三角形共有19個，其中不等邊三角形共有18個.

【點睛】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)三邊關(guān)系以及周長正確確定邊的范圍是解題關(guān)鍵.

5.如圖，在平面直角坐標系中，點A、點2在x軸上，點C在y軸上，若點A(o,0),點8伍,0),點C(0,2),

^.AO=2OB=2OC.

(1)求a,b的值；

(2)動點尸從點0出發(fā)沿著y軸的正半軸以每秒1個單位長度的速度運動，連接AP,設(shè)△APC的面積為S,

點P運動的時間為/秒，求S與r的關(guān)系式；

⑶在⑵的條件下，點。是直線BC上一點，點。的橫坐標為1,連接0。，DA,若△OOA的面積為2S,

求點P的坐標.

【答案】(1)。=4；6=-2；(2)S=4—2t或2/-4；(3)尸(。,；］或(0,11

【分析】(1)根據(jù)AO=2O3=2OC即可得到答案；

(2)分點尸在C點下方與上方兩類討論，根據(jù)面積加減即可得到答案；

(3)過點。作。E上AB于點E,根據(jù)點。的橫坐標為1即可得到石(1,0),從而求出結(jié)合△ZXM的

面積為2S,代入求解即可得到答案；

【詳解】⑴回點A(a,0),點8優(yōu),0),點C(0,2),

團OA=a,OB=—b,OC=2,

國AO=2OB=2OC,

團々=2x2=4,—2b=2x2,回/?=—2；

?S=-PCOA=-(2-t)x4=4-2t,

22

0S=1pC-OA=1(r-2)x4=2r-4,

EIS=4-2t或2f-4：

(3)解：過點。作。E上4B于點E,

回召(1,0),

團OE=1,

國BE=OB+OE=2+1=3,

團