第20講圓單元復(fù)習(xí)

0目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)

1.理解圓及其有關(guān)概念，理解弧、弦、圓心角的關(guān)系；探索并了解點與圓、直線與圓的位置關(guān)系，探索

并掌握圓周角與圓心角的關(guān)系、直徑所對的圓周角的特征；

2.了解切線的概念,探索并掌握切線與過切點的半徑之間的位置關(guān)系，能判定一條直線是否為圓的切線，

會過圓上一點畫圓的切線；

3.了解三角形的內(nèi)心和外心，探索如何過一點、兩點和不在同一直線上的三點作圓；

4.了解正多邊形的概念，掌握用等分圓周畫圓的內(nèi)接正多邊形的方法；會計算弧長及扇形的面積；

蟹知識精講

知識點01圓的定義、性質(zhì)及與圓有關(guān)的角

1.圓的定義

(1)線段OA繞著它的一個端點。旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的封閉曲線，叫做圓.

(2)圓是到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形.

注意：

①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大?。淮_定一個圓應(yīng)先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可；

②圓是一條封閉曲線.

2.圓的性質(zhì)

(1)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中

心是圓心.

在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對

應(yīng)的其他各組分別相等.

(2)軸對稱：圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的任一直線都是它的對稱軸.

(3)垂徑定理及推論：

①垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

②平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

③弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條弧.

④平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦.

⑤平行弦夾的弧相等.

注意：

在垂經(jīng)定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對的優(yōu)弧、平分弦所對的劣弧，在這五個

條件中，知道任意兩個，就能推出其他三個結(jié)論.(注意：“過圓心、平分弦”作為題設(shè)時，平分的弦不能是

直徑)

3.與圓有關(guān)的角

(1)圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角.

圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù).

⑵圓周角：頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.

圓周角的性質(zhì)：

①圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半.

②同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等.

③90。的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為直角.

④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.

⑤圓內(nèi)接四邊形的對角互補；外角等于它的內(nèi)對角.

注意：

(1)圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上；②角的兩邊都和圓相交.

(2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.

知識點02與圓有關(guān)的位置關(guān)系

1.判定一個點P是否在。。上

設(shè)。o的半徑為r,OP=d，則有

10點P在。O外；

d=r=點P在。O上；

d0點P在。O內(nèi).

注意：

點和圓的位置關(guān)系和點到圓心的距離的數(shù)量關(guān)系是相對應(yīng)的，即知道位置關(guān)系就可以確定數(shù)量關(guān)系；知道

數(shù)量關(guān)系也可以確定位置關(guān)系.

2.判定幾個點Ap八2、…An在同一個圓上的方法

當(dāng)40=40=…=4。=氏時，4、4、…4在oo上

3.直線和圓的位置關(guān)系

設(shè)。O半徑為R,點。到直線？的距離為d.

⑴直線？和。O沒有公共點O直線和圓相離=d>R.

(2)直線？和。o有唯一公共點=直線j和。。相切=d=R.

(3)直線/和。O有兩個公共點o直線，和。O相交Od<R.

4.切線的判定、性質(zhì)

⑴切線的判定：

①經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

②到圓心的距離々等于圓的半徑的直線是圓的切線.

⑵切線的性質(zhì)：

①圓的切線垂直于過切點的半徑.

②經(jīng)過圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過切點.

③經(jīng)過切點作切線的垂線經(jīng)過圓心.

(3)切線長：從圓外一點作圓的切線，這一點和切點之間的線段的長度叫做切線長.

(4)切線長定理：從圓外一點作圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾

角.

知識點03三角形的外接圓與內(nèi)切圓、圓內(nèi)接四邊形與外切四邊形

1.三角形的內(nèi)心、外心

(1)三角形的內(nèi)心：是三角形三條角平分線的交點，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三角形

三邊的距離相等，通常用“I”表示.

(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內(nèi)部,

直角三角形的外心是斜邊中點，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個頂點的距離相等,

通常用O表示.

注意：

(1)任何一個三角形都有且只有一個內(nèi)切圓，但任意一個圓都有無數(shù)個外切三角形；

(2)解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問題時，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，

即S=』Pr(S為三角形的面積，P為三角形的周長，r為內(nèi)切圓的半徑).

2

(3)三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：

名稱確定方法圖形性質(zhì)

外心(三角形外三角形三邊中垂線的A(1)OA=OB=OC；(2)外心不一

接圓的圓心)交占a定在三角形內(nèi)部

內(nèi)心(三角形內(nèi)三角形三條角平分線(1)到三角形三邊距離相等；

切圓的圓心)的交點(2)OA、OB、OC分別平分

NBAC、/ABC、NACB；(3)

5內(nèi)心在三角形內(nèi)部.

2.圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形

(1)四個點都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對角互補，外角等于內(nèi)對角.

(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對邊之和相等.

知識點04圓中有關(guān)計算

1.圓中有關(guān)計算

圓的面積公式：￡=開立2,周長c=2開R.

圓心角為非。、半徑為R的弧長/=—.

180

圓心角為力。，半徑為R，弧長為？的扇形的面積=絲幺=［法.

3602

弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計算.

注意：

(1)對于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的——，

360

1_

即Hn——xaE2=--；

360360

(2)在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個量就可以求

出第三個量.

(3)扇形面積公式與房=［法，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式S=：以我有點類似，

可類比記憶；

(4)扇形兩個面積公式之間的聯(lián)系：=竺￡?=1X吆史xK=LR.

照用36021802

U能力拓展

考法01圓的有關(guān)概念及性質(zhì)

【典例1】如圖，在。。中，點B、0、C和點A、0、D分別在同一條直線上，則圖中有()條弦.

E

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【詳解】解：圖中的弦有AE、AD、CD這3條

故選B

【典例2】如圖，在。。中，,ZAEC=25°,則乙位切=（）

i\t5—A。

A.25°B.45°

【答案】A

【詳解】解：；狐=信心25。,

：.ZADB=ZAEC=25°,

故選A.

【即學(xué)即練】如圖，是。。的直徑，BC=CD=DE，ZCOD=34°,則/AOE的度數(shù)是（）

A.51°B.56°

【答案】D

W：BC=CD=DEZCOD=34°,

ZBOC=Z.COD=NDOE=34°,

ZAOE=180°—ZBOC-ZCOD-ZDOE=180°—34°—34°—34°=78°.

故答案為：D.

考法02弧、弦、圓心角、圓周角的關(guān)系及垂徑定理

【典例3】如圖，在。。中，如果A5=2AC,則下列關(guān)于弦AB與弦AC之間關(guān)系正確的是（）

A.AB=ACB.AB=2AC

【答案】D

【詳解】如圖，取弧的中點￡）,連接AO,BD,

則AB=2gD=2AZ)

AB=2AC

BD=AD=AC

AD=BD=AC.

在AASD中，AD+BD>AB,

:.AC+AC>AB,BPAB<2AC.

故選：D.

【即學(xué)即練】如圖，在。。中，AC=BC>D、E分別是半徑。A,的中點，連接OC,AC,BC,CD,

CE,則下列結(jié)論不一定成立的是（）

A.AC=BCB.CD=CED.CDLOA

【答案】D

【詳解】在。。中，?.?AC=8C，

:.AC=BC,故A選項正確;

在AAOC與ABOC中,

OA=OB

OC=OCf

AC=BC

:.AAOC*BOC(SSS),

:.NCAD=NCBE,

-D,E分別是半徑。4,的中點,

...AD=BE,

在AACD與ABCE中,

AC=BC

<ACAD=ZCBE,

AD=BE

:.^ACD=ABCE(SAS),

:.CD=CE,ZACD=ZBCE,故B、C選項正確;

???C4和CO不一定相等,

.?.CD和Q4不一定垂直，故D選項不成立.

故選：D.

【典例4】如圖，AB是。。的直徑,CDIAB^E,CD=30,BE=9,則A8為()

A.17B.30C.34D.36

【答案】C

【詳解】解：連接oc,如下圖:

設(shè)半徑為r，則OC=O8=r,OE^r-9,

?：CDLAB,A2是。。的直徑,

ZOEC=90°,CE=-CD=15,

2

由勾股定理可得：OC2=OE2+CE2,

解得丁=17,

AB=2r=34,

故選：C

【即學(xué)即練】如圖，是。。的弦,半徑為OA=2,ZAOB=120°,則弦AB的長為（）

A.2A/5B.3公C.2A/3D.272

【答案】c

【詳解】解：如圖：過點。作OCLAB于C,

貝?。軦C=BC,ZAOC=ZBOC=-ZAOB=60°.

2

AC

在RMAOC中，sin60°=一,

AO

AC=AOsin60°=2x3=6

2

AB=2AC=273.

故選：C.

考法03與圓有關(guān)的位置關(guān)系

【典例5】已知。。的半徑為2cm,點P到圓心。的距離為4cm,則點P和。O的位置關(guān)系為（）

A.點尸在圓內(nèi)B.點P在圓上C.點P在圓外D.不能確定

【答案】C

【詳解】解：：。。的半徑為2cm，點尸到圓心。的距離為4cm,2cm<4cm,

二點尸在。。外.

故選：C.

【即學(xué)即練】在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，如果點皮”,0）在以A（l,0）為圓心，2為半徑的圓內(nèi)，那么。的取值范圍是

（）

A.a>-lB.a<3C.-l<a<3D.-l<a<3.

【答案】C

【詳解】解：???點秋。,0）在以41,0）為圓心，2為半徑的圓內(nèi)，

.-.|a-l|<2,

則-2<a-l<2,

解得-Ka<3，

故選：C.

【典例6］已知OO的面積為16萬cn?,若點0到直線機(jī)的距離為萬cm,則直線機(jī)與。。的位置關(guān)系是（）

A.相交B.相切C.相離D.無法確定

【答案】A

【詳解】解：設(shè)。。的半徑為,，

由。。的面積為16萬cm?可得萬產(chǎn)=16%，解得r=4cm

：4＞勿，

...直線正與相交,

故選：A

【即學(xué)即練】如圖，兩個同心圓的半徑分別為3,5,直線/與大OO交于點A,B,若AB=6,則直線/與

小。。的位置關(guān)系是（）

A.相交B.相切D.無法確定

【答案】C

【詳解】解：如圖，作于

OH1AB,

:.AH=BH=3,

在Rt^AOH中，OH=yjoA2-AH2=6一3?=4，

v4>3,

直線A3與。。相離.

故選：C.

考法04圓中有關(guān)的計算

【典例7】如圖，OO是AASC的外接圓，ZBOC=110°,則/A的度數(shù)為（）

A.45°B.55°C.70°D.75°

【答案】B

【詳解】解：是AABC的外接圓,ZBOC=UQ°,

.\ZA=-ZBOC=-xll0o=55°.

22

故選：B.

【即學(xué)即練】如圖，在。O中，半徑垂直弦BC于點D若NACB=34。，則/03C的大小為（）

A.22°B.34°C.32°D.68°

【答案】A

【詳解】?JZACB=34。，

ZAOB=2ZACB=68°,

-.-OA1BC,

ZOBC=90°-ZAOB=90°-68°=22°,

故選：A.

【典例8】若圓的半徑為9,則120。的圓心角所對的弧長為（）

A.3B.6C.3兀D.6兀

【答案】D

120x?x9「

【詳解】解：17=---------------=071.

180

故選：D.

【即學(xué)即練】半徑為1的圓中，扇形A05的圓心角為120。，則扇形A03的面積為（）

.兀c2?！肛

A.—B.——C.—D.兀

633

【答案】C

120^-xI271

【詳解】解:

mAOB~360-3'

故選：C.

考法05圓與其他知識的綜合運用

【典例9】如圖，OO與正方形ABCD的兩邊AB,AD相切，且DE與。O相切于E點.若。。的半徑為4,

且AB=10,則DE的長度為（）

A.5B.5.5C.屈D.6

【答案】D

【詳解】解：如圖，設(shè)OO與正方形ABCD的邊AD、48切于點GH,

貝|JNM)=NOE4=90。，ZOHA=90°,

VZA=90°fOH=OF,

，四邊形AHOF是正方形，

???。。的半徑為4,且AB=10,

OF=AF=OH=4,AD=AB=10,

：.DF=10-4=6,

???￡>￡與O。相切于點E,

:?DE=DF=6,

故選：D.

B1--------------r

【即學(xué)即練】已知OO過正方形ABC。頂點A,B,且與CD相切，若正方形邊長為2,則圓的半徑為(

O

A.-B.-C.巫D.1

342

【答案】B

【詳解】解析：如圖，作于點連接。8,設(shè)圓的半徑是X,

則在直角AOBM中，OM=2-x,BM=1，

■.■OB2^OM2+BM2,

x2=(2-x)2+1,

解得尤=，

4

故選：B.

羔分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.已知。O中最長的弦為8cm,則。O的半徑為()cm.

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【詳解】解：:。。中最長的弦為8cm,即直徑為8cm,

OO的半徑為4cm.

故選：B.

2.圓錐的地面半徑為10cm.它的展開圖扇形半徑為30cm,則這個扇形圓心角的度數(shù)是（）

A.60°B.90°C.120°D.150°

【答案】C

【詳解】解：設(shè)圓錐的展開圖扇形的圓心角的度數(shù)為〃。.

..?圓錐的底面圓的周長=2兀70=2071,

圓錐的展開圖扇形的弧長=20兀，

.,.n=120o.

故答案選：C.

3.如圖，△ABC的內(nèi)切圓。。分別與AB,BC,AC相切于點。，E,F,且4D=2,BC=5,則△ABC的

周長為（）

A.16B.14C.12D.10

【答案】B

【詳解】解：:△ABC的內(nèi)切圓。。分別與AB,BC,AC相切于點D,E,F,且A￡>=2,

.*.AP=A￡）=2,BD=BE,CE=CF,

?；BE+CE=BC=5,

：.BD+CF=BE+CE=BC=5,

AABC的周長=2+2+5+5=14,

故選：B.

4.已知AB、CD是兩個不同圓的弦，如AB=CD,那么弧AB與弧CD的關(guān)系是（）

A.<AB=5I1CDB.弧AB>弧CDC.弧AB<弧CDD.不能確定

【答案】D

【詳解】解：在同圓和等圓中相等的弦所對的弧才會相等，要注意同圓和的條件，本題是兩個不同的圓,

所以無法判斷兩弦所對的弧的大小.

故選D.

5.如圖，已知A,B,C,。是圓上的點，弧AD=MBC,AC,BD交于點E,則下列結(jié)論正確的是（）

A.AB=ADB.AC=BDC.BE=CDD.BE=AD

【答案】B

【詳解】連接BC,

AD=BC

?**AD+AB=BC+AB

AC=BD

：.AC=BD

故選：B

6.如圖工程上常用鋼珠來測量零件上小圓孔的寬口，假設(shè)鋼珠的直徑是10mm,測得鋼珠頂端離零件表面

的距離為8nlin,如圖所示.則這個小圓孔的寬口AB的長度是（)

（\8mm

八?氏

A.5mmB.6mmC.8mmD.10mm

【答案】c

f0\8mm

/）B

［詳解］---------------------

解：連接AB,OA,過點O作ODJ_AB于點D,

:鋼珠的直徑是10mm,鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm,

OA=5mm,OD=8-5=3mm,

VODXAB,

在RtAOAD中，AD=yjofij-OD2--4mm,

AB=2AD=8mm.

故選C.

7.如圖，AB是的直徑，弦8，?15于點應(yīng)若AB=10,CD=6,則班的長為

【答案】1

【詳解】解：?.?A5是。。的直徑，AB=10,

OC=OB=-AB=5,

2

VCD1AB,CD=6,

ACE=-CD=3,ZCEO=90°,

2

0E=y/0C2-CE2=4，

BE=OB-OE=1,

故答案為1.

8.如圖，48為。。的直徑，弦CO_LAB于點E,已知CD=6,EB=2,則。。的半徑為.

13

【答案】v

4

【詳解】連接OC,

為。。的直徑，ABLCD,

C￡=D￡=yC￡>=1x6=3,

設(shè)。。的半徑為x,

貝ijOC=x,OE=OB-BE=x-2,

在RtbOCE中，OC2=OE2+CE2,

?4=32+(x-2)2,

13

解得「=-

13

???。。的半徑為:，

4

13

故答案為5.

4

9.如圖，直線AB_LCD,垂足為P,測得NACP=45。,AC=6?！?

（1）用尺規(guī)在圖中作一段劣弧，使得它在A,C兩點分別與直線A8和8相切;

（2）求該圓弧的長.

上./、、AyvcfaI-.An4.r/c、3y[2,7l

【答案】（1）答案見斛析；（2）-------cm.

2

【詳解】解：（1）分別從點A,。處作垂線，兩垂線相交于點O,以點。為圓心，0A為半徑作圓，弧AC

就是所求的劣弧;

（2）由題意及作圖過程可得：ZAOC=90°,

VZACP=45°,AC=6cm,

；.0A=6又^^=36所,

：.弧AC=90兀乂3丘=3A/2^

1802

10.如圖，已知AB是。。的直徑，ZACD=3O°.

(1)求4MB的度數(shù)；

(2)過點。作垂足為E,OE的延長線交。。于點立若AB=4,求EF的長.

【答案】⑴60°；(2)G

【詳解】解：(1)如圖所示，連結(jié)8。，

:ZACD=30°,

：.ZB=ZACD=3O°,

是。O的直徑，

二ZADB=90°,

：.ZDAB=90°-ZB=60°.

(2)VZADB^9Q°,ZB=30°,AB=4,

：.AD=^AB=2,BD={AB2_AD2=2也

?：S^D=^ABDE=^ADBD,即；x4xDE=；x2x2百，

，DE=y[3,

VDE.LAB,且A3是直徑，

/.EF=DE=6.

題組B能力提升練

1.已知OA=4,以。為圓心，廠為半徑作。O.若使點A在。。內(nèi)，則廠的值可以是()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【詳解】?.?己知。4=4,以。為圓心，r為半徑作。。若使點A在。。內(nèi)，

...點A到圓心的距離應(yīng)該小于圓的半徑，

圓的半徑應(yīng)該大于4.

故選：D.

2.如圖，半圓的圓心為0,直徑AB的長為12,C為半圓上一點，ZCAB=30°,AC的長是()

C

Bo

A.127rB.6〃C.57iD.4〃

【答案】D

【詳解】解：如圖，連接OC,

VOA=OC,NCAB=30。，

???NC=NCAB=30。，

???NAOC=120。，

?——I,4,120萬X6A

..弧AC的長度1=———=41.

lot）

故選：D.

3.過。。內(nèi)一點M的最長弦為10cm,最短弦長為8cm,則0M的長為（）

A.9cmB.6cmC.3cmD.^/41cm

【答案】C

【詳解】解：由題意知，最長的弦為直徑，最短的弦為垂直于直徑的弦，

如圖所示.直徑即_LAB于點M,

則￡￡>=1Ocm,AB=8cm,

由垂徑定理知：點〃為AB中點，

/.AAf=4cm,

二?半徑OA=5cm,

OM2=OA2-AM2=25-16=9,

OM=3cm.

故選：C.

4.如圖，在RfAABC中，ZACB=RtZ,AC=8cm,BC=3cm.D是BC邊上的一個動點，連接AD,過

點C作CELAD于E,連接BE,在點。變化的過程中，線段班的最小值是（）

A.1B.百

【答案】A

【詳解】如圖，

由題意知，ZAEC=90°,

二.E在以AC為直徑的。M的CN上（不含點C、可含點N）,

；.跖最短時，即為連接與0M的交點（圖中點￡點），

在RtABCM中，BC=3cm,CM=^AC=4cm,則BM=1BC。+C”=5cm.

ME'=MC=4cm,

：.BE長度的最小值BE=BW-MX=lan,

故選：A.

5.如圖，AACB中，CA=CB=4,ZACB=90°,點尸為CA上的動點，連BP,過點A作于M.當(dāng)

點尸從點C運動到點A時，線段BM的中點N運動的路徑長為（）

A.----兀B.J27tC.J3nD.2兀

2

【答案】A

【詳解】解：設(shè)AB的中點為。連接NQ,如圖所示:

為8M的中點，。為AB的中點，

為的中位線，

'JAMLBP,

:.QN1BN,

：.ZQNB=90°9

???點N的路徑是以QB的中點0為圓心，^AB長為半徑的圓交C5于。的QQ,

VCA=CB=4,ZACB=90°,

:?AB=6CA=A五,NQ5D=45。，

：.ZDOQ=90°,

**?QD為。。的i周長，

???線段的中點N運動的路徑長為：907rx『4一二力兀,

180-2

故選：A.

CD

6.如圖的矩形A3C。中，E為AB的中點，有一圓過C、。、E三點,且此圓分別與A28C相交于P、Q

兩點.甲、乙兩人想找到此圓的圓心。，其作法如下：

（甲）作NOEC的角平分線L作OK的中垂線，交心于。點，則。即為所求；

（乙）連接PCQD,兩線段交于一點。，則。即為所求

對于甲、乙兩人的作法，下列判斷何者正確？（）

A.兩人皆正確B.兩人皆錯誤

C.甲正確，乙錯誤D.甲錯誤，乙正確

【答案】A

【詳解】解：甲，?.?矩形ABC。，E為A2的中點,

：.AE=EB,ZA=ZB=90°,AD=BC,

：./\ADE^/\BCE(SAS),

：.ED=EC,

...△QEC為等腰三角形,

:射線L為/DEC的角平分線,

射線L為線段C。的中垂線，

六。為兩中垂線之交點，即。為△CDE的外心,

工。為此圓圓心.

乙，VZADC=90°,Z￡)CB=90°,

：.PC,。。為此圓直徑，

...PC與。。的交點。為此圓圓心，因此甲、乙兩人皆正確.

故選：A.

7.如圖，半圓形紙片AMB的半徑為1用如圖所示的方法將紙片對折，使對折后半圓弧的中點M與圓

心0重合，則折痕CD的長為.

【答案】百cm

【詳解】作M0交CD于E,則MO_LCD,連接CO,

對折后半圓弧的中點M與圓心O重合,

貝UME=OE=1-OC,

在直角三角形COE中，CE=

折痕CD的長為2x4百(cm).

故答案為6cm

8.△ABC中，AB=4,AC=2,以BC為邊在△ABC外作正方形BCDE,BD、CE交于點。，則線段A。的

最大值為

【答案】3拒

【詳解】解：如圖：以AO為邊作等腰直角△AOR且/AOF=90。

?.?四邊形BCOE是正方形

：.BO=CO,ZBOC=9Q°

,：AAOF是等腰直角三角形

：.AO=FO,AF=y/2AO

VZBOC=ZAOF=90°

/.ZAOB=ZCOF,S.BO=CO,AO=FO

：./\AOB^/\FOC(.SAS)

：.AB=CF=4

若點A,點C,點尸三點不共線時，AF<AC+CF；

若點A,點C,點廠三點共線時，AF=AC+CF

：.AF<AC+CF=2+4=6

的最大值為6

VAF=A/2AO

■,?AO的最大值為3^/2.

故答案為：3拒

9.如圖所示，要把殘破的輪片復(fù)制完整，已知弧上的三點A,B,C.

B,

（1）用尺規(guī)作圖法找出所在圓的圓心；（保留作圖痕跡，不寫作法）

⑵設(shè)AASC是等腰三角形，底邊BC=8cm,腰AB=5cm,求圓片的半徑R

【答案】（1）見解析

⑵7cm

【詳解】（1）解：作法：分別作和AC的垂直平分線，設(shè)交點為。，則。為所求圓的圓心;

(2)連接A。、BO,49交BC于E,

AB=AC,

：.AE±BC,

：.BE=-BC=-xS=4,

22

在RtAABE中，AE={AB?—BE2A5?-42=3,

設(shè)。。的半徑為A,在RtABEO中，

OB2=BE2+OE2,

即R2=42+(j^-3)2,

：.R=—,

6

25

答：圓片的半徑火為鄉(xiāng)cm.

10.如圖，在AABC中，AB=AC,AE是/B4C的平分線，NABC的平分線8M交AE于點M,點。在

上，以點。為圓心，。3的長為半徑的圓經(jīng)過點M,交BC于點G,交A3于點

⑴求證：AE為。。的切線；

（2）當(dāng)3c=4,AC=6時，求線段BG的長.

【答案】（1）見解析

（2）BG=1

【詳解】（1）證明：（1）連接如圖:

???BM平分/ABC,

.\ZABM=ZCBM,

?.?OM=OB,

.\ZABM=ZBMOf

..ZBMO=ZCBMf

：.BC//OM,

?.?AB=AC,AE平分/B4C,

/.AE1BC,

:.OM±AE,

.?.AE為。。的切線；

(2)解：連接GA,如圖：

???AB=AC,AE平分/B4C,

:.BE=CE=-BC,ZAEB=90°,

2

vBC=4,AC=6,

.?.BE=2,AB=6,

,sin/EAB=-,

3

設(shè)OB=OM=r,則0A=6-r,

???4石是。。切線，

/.ZAMO=90°,

1

sinZ￡AB=—

OA3

r|

~—="，解得r=1.5，

6-r3

OB=OM=1.5,BF=3,

?.?3尸為。。直徑，

:.ZBGF=90°,

:.GF/IAE,

.\ZBFG=ZEAB,

sinZBFG=-,即也=’,

3BF3

：.BG=1.

題組c培優(yōu)拔尖練

1.如圖所示，△ABC是。O的內(nèi)接三角形.若NABC=70。，則NAOC的度數(shù)等于（）

【答案】A

【詳解】因為NABC和/AOC是同一條弧AC所對的圓周角和圓心角，所以NAOC=2/ABCx70o=140。.

2.AB是。0的弦，ZAOB=80°,則弦AB所對的圓周角是（）

A.40°B.140°或40°C.20°D.20°或160°

【答案】B

解：當(dāng)圓周角的頂點在優(yōu)弧上時，根據(jù)圓周角定理，得圓周角：

ZACB=-ZAOB=-x800=40。；

22

當(dāng)圓周角的頂點在劣弧上時，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，得此圓周角:

ZADB=180°-ZACB=180°-40°=140°；

所以弦AB所對的圓周角是40?；?40°.

故答案選：B.

3.如圖，B4、尸8切。。于點A、B,B4=10,CD切。。于點E,交RI、PB于C、。兩點，則△PCD的

周長是（）

A.10B.18C.20D.22

【答案】C

【詳解】解：：以、P8切。。于點A、B,CO切。。于點E,

：.PA=PB=10,CA=CE,DE=DB,

：.APCD的周長是PC+CD+PD

=PC+AC+DB+PD

=PA+PB

=10+10

=20.

故選：c.

4.如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于。。，AC平分/BA。，則下列結(jié)論正確的是（）

A.AB=ADB.BC=CDC.AB=ADD.ZBCA=ZDCA

【答案】B

【詳解】解：A、與NACO的大小關(guān)系不確定，

：.AB與AD不一定相等，故此選項不符合題意；

B、'：AC^^-ZBAD,

：.NBAC=NDAC,

：.BC=CD,,故此選項符合題意；

C、與NACQ的大小關(guān)系不確定，

；?AB與AD不一定相等，不符合題意；

D、/BC4與NOC4的大小關(guān)系不確定，不符合題意.

故答案為：B.

5.如圖，0O中，弦垂足為E,尸為C2O的中點，連接AGBF、AC,AP交CD于過尸

作尸垂足為G,以下結(jié)論：①CF=DF;②HC=BF：③MF=FC：@DF+AH=BF+AF＞其中成

立的個數(shù)是（）

E

D~

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【詳解】解：：尸為CBO的中點，

CF=DF,故①正確，

：.ZFCM^ZFAC,

'：ZFCG=ZACM+ZFCM,ZAME=NFMC=ZACM+ZFAC,

AAME=NFMC=ZFCG>ZFCM,

J.FOFM,故③錯誤，

ABLCD,FH±AC,

：./AEM=NCGF=90。,

：.ZCFH+ZFCG=90°,ZBAF+ZAME=90°,

：.ZCFH=ZBAF,

CF=BF>

：.HC=BF,故②正確，

ZAGF^9Q°,

：.ZCAF+ZAFH=90°,

AH+CF=180°,

CH+AF=180°,

AH+CF=AH+DF=CH+AF=AF+BF，故④正確，

故選：C.

6.如圖，AB為<30的直徑，C為。O上一點，其中AB=4,ZAOC=120°,P為。O上的動點，連AP,

取AP中點Q,連CQ,則線段CQ的最大值為（）

A.3B.1+5/6C.1+30D.1+77

【答案】D

【詳解】解：如圖，連接0Q,作CHLAB于H.

VAQ=QP,

.,.OQXPA,

.-.ZAQO=90°,

...點Q的運動軌跡為以AO為直徑的。K,連接CK,

當(dāng)點Q在CK的延長線上時，CQ的值最大，

在RtAOCH中，/COH=60。，OC=2,

OC=1,CH=7S?

在RtACKH中，CK=^(V3)2+22=幣,

.1.CQ的最大值為i+a，

故選D.

7.如圖，MAABC中，ZACB=90°,ZCAB=60°,AB=4,點P是BC邊上的動點，過點c作直線記的垂

線，垂足為。，當(dāng)點P從點C運動到點8時，點。的運動路徑長為.

【答案】y

【詳解】W：'：AQ±CQ,

：.ZAQC=90°,

當(dāng)點尸從點C運動到點8時，點。的運動的軌跡是以AC為直徑的半圓上，路徑是120度的弧長,

在RSABC中，"：AB=4,ZB=30°,

：.AC=-AB=2,

2

?,?點。的運動路徑長為上120=］2兀

1803

8.如圖，在RSABC中，ZC=90°,CA=CB=2.分別以A、B、C為圓心，以gAC為半徑畫弧，三條

弧與邊AB所圍成的陰影部分的面積是.（保留兀）

【答案】2-1

【詳解】：在RSABC中，ZC=90°,CA=CB=2.

，）AC=1,SAABC=《X2X2=2,

:三條弧所對的圓心角的和為180°,

.一人4巾由工；工宜加180°