重慶市字水中學2024-2025學年高二下學期4月學情調研數(shù)學

試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.下列求導運算正確的是()

A.W)'=e3B.(3，)'=3'In3

C.(log2x)'-JjL?.D.(xcosx)，=-sinx

2.某書架的第一層放有7本不同的歷史書，第二層放有6本不同的地理書.從這些書中任

取1本歷史書和1本地理書，不同的取法有()

A.13種B.7種C.67種D.42種

3.已知函數(shù)/(x)=e…在點(2,/(2))處的切線的傾斜角為,則實數(shù)。的值為()

A.2B.1C.-1D.-2

4.已知函數(shù)/(%)=/'⑴/一E%,則廣⑴二()

A.1B.-1C.2D.-2

函數(shù)/(%)=；一的極小值為(

5.%3+%24%)

4_5104

A.—B.1C.D.----

3~227

6.數(shù)列｛凡｝的前〃項和為工，首項4=2,若邑=4+「2(〃￡N*)，則。2020=

A.22019B.22020C.22021D.22022

7.若函數(shù)/(x)=x2+alnxT+l(aeR)在g,+oo)上單調遞增，則a的取值范圍是()

A.[0,+oo)B.(0,+oo)C.t'+mjD.t,+o°)

8.已知定義在(0,+s)上的函數(shù)/(x),/'(x)是/(x)的導函數(shù),滿足礦(力-2/(x)<0,

且/⑶=9,則不等式/(3、)-9，<0的解集是()

A.(0,1)B.(0,2)C.(fl)D.(!,+<?)

試卷第1頁，共4頁

二、多選題

9.近兩年為抑制房價過快上漲，政府出臺了一系列以“限購、限外、限貸、限價”為主題的

房地產調控政策.各地房產部門為盡快實現(xiàn)穩(wěn)定房價，提出多種方案，其中一項就是在規(guī)定

的時間T內完成房產供應量任務￡已知房產供應量S與時間f的函數(shù)關系如圖所示，則在

以下各種房產供應方案中，在時間［0,7］內供應效率(單位時間的供應量)不呈逐步提高的

10.已知函數(shù)了=/(幻的導函數(shù)了=/(x)的圖象如圖所示，則下列說法正確的是()

A.函數(shù)了=/(x)的圖象在x=T的切線的斜率為0

B.函數(shù)V=/(x)在(1,2)上單調遞減

C.x=-l是函數(shù)y=/(x)的極小值點

D.”2)是函數(shù)y=的極大值

11.已知函數(shù)/(x)=sinx+x3-辦，則下列結論正確的是()

A.“X)是偶函數(shù)

B.若〃尤)是增函數(shù)，則aVl

C.當。=-3時，函數(shù)/(x)恰有兩個零點

D.當a=3時，函數(shù)/(無)恰有兩個極值點

試卷第2頁，共4頁

三、填空題

12.在等差數(shù)列｛4｝中，。1=3,?100=36,貝!+%+。98+。99=

13.函數(shù)/(無)=?尤2-2x-31nx的單調遞減區(qū)間為.

14.若關于尤的不等式12-4產40在(0,口)上恒成立，則正數(shù)。的最小值為

四、解答題

15.設函數(shù)/(%)=-尤3-，+尤+2.

⑴求/'(x)在》=-2處的切線方程；

⑵求;'(x)在區(qū)間［-5,2］上的最大值與最小值.

16.已知數(shù)列｛4｝為公差不為零的等差數(shù)列，其前〃項和為S"，$5=25,且%，火，心成

等比數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)若數(shù)歹|］｛%+，｝是公比為2的等比數(shù)列，且4=3,求數(shù)列｛"｝的前〃項和

17.已知函數(shù)/(x)=lnx+(l-a)x+l(aeR).

⑴討論函數(shù)/(可的單調性;

⑵若Vx>-1,不等式/(x+l)<e，-(0-1卜-2(°-1)恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

18.現(xiàn)有一張長為40,寬為30的長方形鐵皮準備用它做成一只無蓋長方體鐵皮盒,

要求鐵皮材料的利用率為100%(剪切與焊接不可避免)，不考慮剪切與焊接處的損耗與增

加，如圖，在長方形的一個角剪下一塊正方形鐵皮，作為鐵皮盒的底面，用余下材

料剪拼后作為鐵皮盒的側面.設做成后的長方體鐵皮盒的底面是邊長為x的正方形，高為》

體積為V.

(1)求無蓋長方體鐵皮盒的表面積(用x,/表不)；

試卷第3頁，共4頁

(2)寫出y關于x的函數(shù)關系式，并寫出x的范圍；

(3)要使得無蓋長方體鐵盒的容積最大、對應的x為多少？并求出憶的最大值.

,、Y2

19.已知函數(shù)=；--4x+b\nx+2.

(1)當6=3時，求/(x)的單調遞減區(qū)間；

(2)若/'(x)有兩個極值點引，x2(X,<x2).

①求實數(shù)6的取值范圍；

②證明：/(%,)+/(%2)>lnZ>-6.

試卷第4頁，共4頁

《重慶市字水中學2024-2025學年高二下學期4月學情調研數(shù)學試題》參考答案

題號12345678910

答案BDAACBADACDAD

題號11

答案BD

1.B

【分析】利用導數(shù)的求導公式與求導法則求解即可.

【詳解】因為e，為常數(shù)，所以「3)'=0,故A錯誤；

(3")'=31n3,故B正確；

,1

(logx)=——■>故C錯誤；

~0xln2

(尤cosx)=cos龍一xsinx,故D錯誤.

故選：B.

2.D

【分析】先取1本歷史書，再取1本地理書，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得出答案.

【詳解】7本不同的歷史書任取1本歷史書有7種取法，

6本不同的地理書任取1本地理書有6種取法，

從這些書中任取1本歷史書和1本地理書，

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得到不同的取法有7x6=42種.

故選：D.

3.A

【分析】利用導數(shù)的幾何意義計算即可.

【詳解】易知/''(x)=e"，所以/'(2)=e2-"=tan：今。=2.

故選：A

4.A

【分析】先對函數(shù)求導，然后令x=l可求出/'⑴的值.

【詳解】由〃x)=/'⑴v-lnx,得尸(x)=2/⑴尤-L

所以/'(1)=2/⑴-1,解得/⑴=1.

故選：A

答案第1頁，共10頁

5.C

【分析】根據(jù)函數(shù)求極小值的過程求解：先求/'(')=0的解％,再判斷在與兩側的單調性,

確定極值.

【詳解】因為"x)=x3+gY-4x,所以/'(x)=3f+x-4=(x-D(3x+4).

4

令/''(x)=0得%=一^，/=1，

當xe'oo,-：U(l,+oo)時，/，(x)>0,當時，/,(x)<0.

故/'(x)的單調遞增區(qū)間為-g］和(1,+8),單調遞減區(qū)間為

則當x=l時，/(X)取得極小值，且極小值為/(1)=-*

故選：C

6.B

【分析】當“22時，由S“=*-2("eN*)得加=4-2,兩式相減，可得%=2%,所

以數(shù)列｛%｝是以2為公比的等比數(shù)列，從而可求出結果.

【詳解】解：當〃=1時，S［=a2-2,得。2=%+2=4=為

當“22時，由S“=%—2(〃eN*)得S,T=%-2,

所以S”一Ei=%+i-?！?即。“=an+1-an,an+1=2a,

所以數(shù)列｛%｝是以2為公比，2為首項的等比數(shù)列，

所以%=2",

所以峻,=2叫

故選：B

【點睛】此題考查由數(shù)列的遞推式求通項公式，等比數(shù)列的通項公式，屬于基礎題.

7.A

【分析】利用求導，將函數(shù)在給定區(qū)間上為增函數(shù)轉化為不等式-2f+x=_2(x-；)2+g

在［；,+9)上恒成立問題，即求出二次函數(shù)在耳,+◎上的最大值即得.

【詳解】由/(x)=x2+alnx-x+l可得廣(x)=2x+q-1=2/一無+“,

XX

答案第2頁，共10頁

因/（X）在g,+8）上單調遞增,故2/—%+q20在6,+8）上恒成立，

即。2—2%2+%=—2（x—）2H—在［—,+oo）上恒成立，

482

而函數(shù)y=-2（x-12+：在g,+◎上單調遞減，則兀皿=-2x（；>+；=0,

故a20,即a的取值范圍是［0,+e）.

故選：A.

8.D

【分析】構造函數(shù)g（x）=與，結合題意利用導數(shù)計算可得該函數(shù)單調性，即可將不等式

/（3。-9'<0轉化為8（3，）<8（3）,從而得到3工>3,即可得解.

【詳解】令g（x）=qh則g，（x）=/'（x>/j/（x）-2x=曠

貝!J當x>0時，g'（x）<0,即g（x）在（0,+s）上單調遞減，

由/（3）=9,貝i］g（3）=理=1,又/■（3、）=9，g（3）

即不等式/（3'）-9^<0等價于9xg（3A）-9'<0,

3、>3

）3工>o,解得xe（l,+”）.

故選：D.

9.ACD

【分析】根據(jù)變化率的知識，結合曲線在某點處導數(shù)的幾何意義，可得結果.

【詳解】單位時間的供應量逐步提高時，供應量的增長速度越來越快，圖象上切線的斜率隨

著自變量的增加會越來越大，則曲線是上升的，且越來越陡，

故函數(shù)的圖象應一直下凹的.則選項B滿足條件，

所以在時間［0,刃內供應效率（單位時間的供應量）不是逐步提高的是ACD選項，

故選：ACD.

10.AD

【分析】根據(jù)導函數(shù)的圖象與原函數(shù)的關系逐個判斷即可.

【詳解】由圖可知/''（-1）=0,所以函數(shù)了=/（x）的圖象在x=-l的切線的斜率為0,故A

正確；

答案第3頁，共10頁

由圖可知xe(l,2)時，r(x)>0,所以函數(shù)了=/(x)在(1,2)上單調遞增，故B錯誤；

由圖可知xe(-”,2)時，r(x)>0,所以函數(shù)〉=/(幻在(-8,2)上單調遞增，尤=一1不是函

數(shù)y=/(x)的極小值點，故C錯誤；

由C選項可知函數(shù)V=/(x)在(-叫2)上單調遞增，由圖可知xe(2,+8)時，r(x)<0,所以

函數(shù)V=/(x)在(2,y)上單調遞減，

故x=2是函數(shù)y=〃x)的極大值點，/(2)是函數(shù)了=/(尤)的極大值，故D正確.

故選：AD.

11.BD

【分析】利用奇偶性定義計算可判斷A；利用導數(shù)研究/'(x”0恒成立求得。的范圍判斷B；

結合B結論判斷C；利用零點存在性定理判斷了'(X)異號零點的個數(shù)即可判斷.

【詳解】A,因為/(x)=sinx+x3-or,

貝!]f(-%)=sin(-x)+(-尤7-a(-x)=-sin尤一￡+ax=-f(x,故A錯誤；

B,若〃x)為增函數(shù)，則/'(無)=?)5苫+3苫2-。20恒成立，故a4cosx+3無2恒成立，

令g(x)=cosx+3x?,則可得g(x)為偶函數(shù)，

又g'(x)=6x-sinx,令〃z(x)=6x-sinx,則加'(x)=6-cosx>0,

所以制X)在R上單調遞增，又加(0)=0,

所以在(YO,0)上%(x)=g'(x)<0,在(0,轉)上Mx)=g'(x)>0,

即g(x)在(-oo,0)上遞減，在(0,包)上遞增，

故當x=0時，g(x)取得最小值g(0)=l,所以aVg(x)mM=l,故B正確；

C,當a=-3時，/(x)=sinx+x3-"為奇函數(shù)，且/(0)=0,

當x>0時，/'(X)=COSX+3A：2+3>0恒成立，即/(x)在區(qū)間(0,+30)上單調遞增，

根據(jù)奇函數(shù)的對稱性可知函數(shù)在(—,0)上單調遞增，故“X)在R上單調遞增，

/(0)=0,即只有一個零點，故C錯誤；

D,當。=3時，/(無)=sinx+V-3尤為奇函數(shù)，

故先考慮x>0時，函數(shù)極值存在情況，

答案第4頁，共10頁

貝!J/'(x)=cos%+3d—3,令h(x)=COSX+3X2-3,

因為〃(x)=—sinx+6x單調遞增，貝U"(x)>”(0)=0,故/"(x)單調遞增，

且/'(0)=-2<0,r(l)=cosl>0,故存在x°e(O,l)使得廣(x0)=0,

因此，當0<x<x°時，r(x)<0,函數(shù)/(x)單調遞減，

當x>x0時，r(x)>0,函數(shù)/(x)單調遞增，

故為函數(shù)在(0,+8)上的唯一極小值點，

根據(jù)奇函數(shù)的對稱性可知，當x<0時，存在為函數(shù)在(-*0)上的唯一極大值點，故

D正確.

故選：BD.

12.78

【分析】利用等差數(shù)列的等和性可得6+%=/+。99=%+可計算.

【詳解】在等差數(shù)列｛%｝中，6+為oo=&+。99=%+%8，

貝lja?+%+“98+%9=2(I+%00)=2x(3+36)=78.

故答案為：78.

13.(0,3)

【分析】先求出函數(shù)的定義域，然后對函數(shù)求導，再由((無)<?？汕蟪龊瘮?shù)的單調遞減區(qū)間.

【詳解】“X)的定義域為(0,也)，

由f(x)=—x2—2x—31nx,得f\x)=x—2——=—————，

2xx

由/'(x)<0，得x?—2x-3<0,解得一1<無<3,

因為x>0,所以0<x<3,

所以〃x)單調遞減區(qū)間為(0,3).

故答案為：(0,3)

14.-/e-1

e

【分析】同構變形給定的不等式，在尤>1時構造函數(shù)/(x)=xe"利用函數(shù)單調性可得

ax>\nx,分離參數(shù)并構造函數(shù)，求出函數(shù)的最大值即可.

答案第5頁，共10頁

【詳解】不等式Inx-aeWVOoxlnxWaxeQolnxdraxe，a>Q,

當0<x?l時，lnx-etajr<0<axc^,令/(x)=xe*,x>1,

依題意，Vx>l,/(lnx)</(tzx),對函數(shù)/(x)=xe*求導得/'(x)=(x+l)e*>0,

InV

函數(shù)/(x)在(L+8)上單調遞增，則當x>l時，ax>\nx<^a>—恒成立，

令函數(shù)g(x)=g,X>1,求導得g［x)=l^真，當l<x<e時，g'(x)>0；

XX

當X>e時，g'(x)<0,函數(shù)g(x)在(l,e)上單調遞增，在(e,+8)上單調遞減，

g?ax=g(e)=->因此所以正數(shù)。的最小值為最小值為L

eee

故答案為：-

e

15.(l)7x+y+10=0

(2)最大值為97,最小值為-8.

【分析】(1)求導，利用導數(shù)的幾何意義可求得切線方程；

(2)利用導數(shù)確定函數(shù)［(X)在區(qū)間［-5,2］上的單調性，進而可得最值.

【詳解】(1)由題意知，/(-2)=8-4-2+2=4,即切點為(-2,4),

由已知/'(x)=-3x2—2x+1,則2)=—12+4+1=—7,

所以曲線/(x)在點(-2,/(-2))處的切線方程為>-4=-7"+2),即7x+y+10=0.

故/'(x)在點(-2/(-2))處的切線方程為：7x+y+10=0

(2)令廣(x)>0,即/(x)=-3/-2x+l>0得

令/(x)<0,則得或x>g,

所以〃x)在+功上單調遞減，在卜,［上單調遞增，

所以/'(X)的極大值點為X=:，=2=得，

D\JJ乙IyJN/

/(X)的極小值點為x=-l,/(-1)=1-1-1+2=1,

X/(-5)=125-25-5+2=97,/(2)=-8-4+2+2=-8,

故/(x)在區(qū)間［-5,2］上的最大值為97,最小值為-8.

答案第6頁，共10頁

16.⑴。"=2“-l(〃eN*)

(2)7；,=2,,+1-2-?2

【分析】(1)設公差為小根據(jù)等差數(shù)列的前〃項和公式與等比中項公式列出關于q和d的

方程，求解即可得｛%｝的通項公式；

(2)由(1)可得等比數(shù)歹的第三項進而得為+可，從而得到｛￡｝的通項公

式，利用等差和等比數(shù)列前n項和公式分組求和即可求出T?.

【詳解】(1)因為｛%｝為等差數(shù)列，設公差為

5x4

由工=25,得5%H———d=25,①

由。2，。5，[4比數(shù)列得牝=。2，"14，

則(q+4d『=(4+4)(4+13d),②

聯(lián)立①②解得[?=；或又因為國0,貝山二，

[a=2[a=2

所以%=%+(〃-l)d=wN*).

綜上，4=2〃—1(〃EN*).

(2)由=2〃-1知4=1,“3=5,

又｛%+，｝為公比是2的等比數(shù)列，4=3,

所以%+4=(q+4)x4=5+3=8,即％+4=2,

所以6+”=2x21=2",4=2"-(2〃-1),(〃eN*)

所以(=4+62+63+…+6“=21+22+23+.-+2"_[1+3+5+.-+(2*—1)]

2x(1-2")(1+2"3_2用_2_/

1-22

+x2

綜上，Tn=T-l-n.

17.(1)答案見解析

(2)(-8，1)

答案第7頁，共10頁

【分析】(1)分1-。20和兩種情況分類討論得出導函數(shù)的正負即得函數(shù)單調性;

(2)先化為-14無+1)恒成立，應用導數(shù)求右側的最值，即可得參數(shù)范圍.

【詳解】(1)因為/(x)=lnx+(l-a)x+l,所以r(x)=：+(l-4).

因為尤>0,若即時,/(x)在(0,+8)上單調遞增，

若1—a<0,即a>l時，令/'(x)=—1*(1—a)>0,得0<x<---；

令/'(x)=：+(l-“)<0,得x>六，所以/(x)在(0,。］上單調遞增，在1，p+J上

單調遞減.

綜上，當時，〃x)在(0,+動上單調遞增；當。>1時，/(x)在上單調遞增，

在］^—p+co^上單調遞減.

(2)因為/(x)=lnx+(l-4z)x+l,/(%+1)</-(〃一1)］一2(〃一1)恒成立，

所以ln(x+1)+(1—tz)(x+1)+1<e'-(Q-l)x-2(Q-1),貝［ja<e"-ln(x+l),

令g(j)=e*-ln(尤+1)且x>-l,貝!］g，(x)=e"——,

令〃(x)=g'(x),則1'@)=d+-］］)2>。，故〃(x)=g'(x)在(-1,+8)上單調遞增，

又g'(0)=0,所以無e(-l,0)時，g,(x)<0；xe(O,+e)時，g,(x)>0,

所以g(x)在(-1,0)上單調遞減,在(0,+8)上單調遞增,g(x)>g(o)=l,

所以。<1,實數(shù)。的取值范圍為(-8,1).

18.(l)S=x2+4xy

/、、1200—尤2.>.

⑵尸———(0<x<30)

⑶當x=20時，/(x)取最大值，且最大值為4000.

【分析】(1)利用長方體表面積公式即可求得解果;

(2)根據(jù)長方形/BCD的面積等于無蓋長方體的表面積可得出V關于x的函數(shù)關系式,

結合實際意義可得出的取值范圍;

(3)求出廠關于x的函數(shù)關系式，利用導數(shù)可求出廠的最大值及其對應的x的值，即可得

出結論.

答案第8頁，共10頁

【詳解】(1)設無蓋長方體鐵皮盒的表面積為s,則S=x?+4盯

(2)因為材料利用率為100%,所以/+4孫=40x30,即y」200一二；

4%

因為長方形鐵皮4BC。長為40,寬為30,故0〈尤V30,綜上，y=12°^~~V(0<x<30).

23

(3)鐵皮盒體積『(加工,尸已⑵；：=^(1200x-x),

其中10<x〈30,r(x)=^-(1200-3x2),

令片(x)=0,得尤=20,列表如下:

X(0,20)20(20,30)

片⑴+0-

小)單調遞增極大值單調遞減

所以，函數(shù)%(無)在區(qū)間(0,20)上為增函數(shù)，在(20,30)上為減函數(shù),

則當x=20時，%(無)取最大值，且最大值為“(20)=；X(1200X20-203)=4000

19.⑴單調遞減區(qū)間為(1,3)

(2)①(0,4)；②證明見解析

【分析】(1)求出導函數(shù)，根據(jù)/'(x)<0求解函數(shù)〃x)的減區(qū)間；

(2)①把函數(shù)/(x)有兩個極值點轉化為方程V-4x+6=0有兩個不等正根，然后利用二次

方程根的分布列方程組求解即可；

②把所證不等式作出變?yōu)?b-l)?ln6-b+2