專題02中線四大模型在三角形中的應用(專項訓練)

1.如圖，△ABC中，AB=6,AC=4,。是8c的中點，的取值范圍為

2.如圖，在△ABC中，點。在邊上，AD=BD,ZB￡)C=45°,點E在BC邊上，AE

交CD于點F,CE=EF,若S△網(wǎng)c=4,則線段AD的長為.

3.如圖，在等腰直角三角形A8C中，ZABC=9Q°,AB=BC=4,。是8c中點，ZCAD

4.【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1,AABC中，若A2

=8,AC=6,求BC邊上的中線的取值范圍.小明在組內經(jīng)過合作交流，得到了如

下的解決方法：延長到點E,使DE=AD,請根據(jù)小明的方法思考：

二:圖2

y圖1

(1)由已知和作圖能得到的理由是

A.SSSB.SASC.AASD.HL

(2)求得的取值范圍是

A.6<AD<8B.6WAOW8C.1<AD<1D.1WAOW7

【方法感悟】

解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，可以考慮延長中線構造全等三角形，把

分散的已知條件和所求證的結論集合到同一個三角形中.

【問題解決】

(3)如圖2,已知：C￡)=A3,ZBDA^ZBAD,AE是△A3。的中線，求證：/C=N

BAE.

5.某校數(shù)學課外興趣小組活動時，老師提出如下問題：

【探究】如圖1,△ABC中，若AB=8,AC=6,點。是BC的中點，試探究BC邊上的

中線AD的取值范圍.小明在組內經(jīng)過合作交流,得到了如下的解決方法:延長AD到E,

使DE=AD,請補充完整證明“AADC%AEDB”的推理過程.

(1)求證：AADCqAEDB

證明：：延長到點E,使DE=AD

在△ADC和△E￡>8中A￡)=￡D(己作)ZADC=ZEDB()CD=BD(中點定

義)

AADC^A￡DB()

(2)探究得出AD的取值范圍是；

【感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”等字樣，可以考慮延長中線構造全等

三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集合到同一個三角形中.

【問題解決】

(3)如圖2,AQ是△A8C的中線，BE交AC于E,交于尸，且AC=BF.

求證：ZBFD^ZCAD.

6.(1)如圖1,是△ABC的中線，延長至點E,ED=AD,連接CE.

①證明△A3。04ECD；

②若AB=5,AC=3,設A￡>=無，可得x的取值范圍是；

（2）如圖2,在△ABC中，。是邊上的中點，DE1.DF,DE交AB于點、E,DF交

AC于點尸，連接EF,求證：BE+CF>EF.

7.【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版八年級上冊數(shù)學教材第69頁的部分內容:

例4曄13213,在△ABC中，D是邊BC的中

點，過點C畫直線CE,使CE/AB,交AD的延長線

于點E,求證：AD=ED

證明：CE"AB（已知）

/.Z.ABD=ZECD.ZBAD=ZCED（兩直線平

行，內錯角相等）.

在AABD與4ECD中，

*/Z.ABD=ZECD,ZBAD=ZCED（已證）,

BD=CD（已知），

「.△ABD絲ZkECD（A.A.S）,

：.AD=ED（全等三角形的對應邊相等）.

（1）【方法應用】如圖①，在AABC中，AB=6,AC=4,則BC邊上的中線長度的

取值范圍是.

（2）【猜想證明】如圖②，在四邊形ABC。中，AB〃C。，點E是8C的中點，若AE

是的平分線，試猜想線段A&AD,。。之間的數(shù)量關系，并證明你的猜想；

（3）【拓展延伸】如圖③，已知AB〃CF,點E是8C的中點，點。在線段AE上，Z

EDF=ZBAE,若A8=5,CF=2,直接寫出線段。F的長.

8.如圖，已知AB=12,ABLBC^B,ABLADA,AD=5,BC=10.點E是C￡>的中

點，則AE的長是

9.如圖，已知AB=12,AB±BCTB,AB±AD^A,AD=5,BC=10.點E是CD的中

10.如圖，點。，E,尸分別為△ABC三邊的中點.若△ABC的周長為10,則△￡)所的周

長為

33.如圖，在四邊形A8C￡)中，尸是對角線8。的中點，E、F分別是AB、CQ的中點，AD

,則NPBE的度數(shù)是.

11.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,AB=10,BC=6,M,N分別是AB、AC的中點,

延長BC至點。，使CD=』BC,連結。M、DN、MN,求OV的長.

2

(1)求。N的長；

(2)直接寫出△BOW的面積為

A

D

12.【教材呈現(xiàn)】下面是華師版九年級上冊數(shù)學教材第78頁的部分內容.

例2：如圖，在△A8C中，D、E分別是邊BC、4B的中點，AD,CE相交于點G,求證:

GEGD1

CE"AD'I"

證明：連結ED

請根據(jù)教材提示，結合圖①，寫出完整的證明過程.

【結論應用】如圖②，在△ABC中，D、尸分別是邊BC、42的中點，AD,CF相交于點

G,GE〃AC交BC于點E,GH〃AB交BC于點H,則△EGH與△ABC的面積的比值

為.

13.直角三角形兩邊的長為6和8,則該直角三角形斜邊上的中線長為.

14.已知直角三角形斜邊長為16,則這個直角三角形斜邊上的中線長為.

15.如果一個直角三角形的兩條直角邊長分別為5cm.12cm,那么這個直角三角形斜邊上

的中線等于cm.

專題02中線四大模型在三角形中的應用（專項訓練）

1.如圖，△ABC中，AB=6,AC=4,D是8C的中點，A。的取值范圍為.

【解答】解：延長AD到E,使DE=AD,連接BE,

在AACD與AEBD中,

AABDE^ACDA(SAS),

；.BE=AC,

'：AB=6,AC=4,

.".2<AE<10,

.\1<AD<5.

故答案為：1<AD<5.

2.如圖，在△ABC中，點。在4?邊上，AD=BD,ZBDC=45°,點E在BC邊上，AE

交CD于點F,CE=EF,若SAMC=4,則線段AD的長為.

【答案】2V2

【解答】解：延長。到點G,使。G=C。，連接AG,過點H作4HLCG,垂足為H,

6/23

\9AD=BD./BDC=NADG,

：./\BDC^AADG(SAS),

：.ZG=ZBCD,

?；EF=EC,

：.ZBCD=ZEFCf

:?/G=/EFC,

*/ZEFC=ZAFG,

：.ZG=ZAFG,

：.AG=AF,

VAH±FG,

：.HG=HF,

S/\AHG=S/\AHFf

VSAADG=SABCD9S^BCD=S^ADC,

SAADG~S/^ADCJ

:.S/\AGH+S/\ADH=SAADF+SAAFC,

S^AFH-^-SAADH=S^ADF+S^AFC,

S^ADH^S^ADF-^SAADH=SAADF+SAAFC,

??2s△ADH=S/^AFCf

".'SAMC=4,

?*?S^ADH—29

VZBDC=45°,

：.ZBDC=ZADH=45°,

：.AH=DH,

：.^AH'DH=2,

2

：.AH=2^AH=-2(舍去)，

:.AD=?AH=2近,

故答案為：25

3.如圖，在等腰直角三角形ABC中，ZABC=90°,AB=BC=4,。是8c中點,ZCAD

7/23

【答案］_JA/2

【解答】解：過點8作B/〃AC,交A。的延長線于點尸,

VZABC=90°,AB=BC=4,

.?.AC=MAB=4&,

?。是3c中點，

：.BD=CD—BC=2,

2

:.AADC2AFDB(AA5),

；.AC=BF=4如,

'：ZCAD=ZCBE,

：.ZCBE=ZF,

:ABCEsAEBD,

.BC=CE

"FBBD,

.4_CE

:.CE=?

:.AE=AC-CE=3近,

故答案為：3版.

4.【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1,△ABC中，若48

=8,AC=6,求BC邊上的中線AO的取值范圍.小明在組內經(jīng)過合作交流，得到了如

下的解決方法：延長到點E,DE=AD,請根據(jù)小明的方法思考：

8/23

圖2

y圖i

（1）由已知和作圖能得到△AOC0△EOB的理由是

A.SSSB.SASC.AASD.HL

（2）求得AO的取值范圍是

A.6<AD<SB.6WAOW8C.1<AD<7D.1WAOW7

【方法感悟】

解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，可以考慮延長中線構造全等三角形，把

分散的已知條件和所求證的結論集合到同一個三角形中.

【問題解決】

（3）如圖2,已知：CD=AB,/BDA=NBAD,AE是△ABD的中線，求證：/C=N

BAE.

【解答】（1）解：?.?在△4OC和△EDB中，，

A（SAS）,

故答案為：B；

（2）解：?.?由（1）知：AADgAEDB,

：.BE=AC=6,AE=2AD,

?在△ABE中，AB=8,由三角形三邊關系定理得：8-6<2AD<8+6,

：.1<AD<1,

故答案為：C.

(3)證明：如圖，延長AE到尸，使環(huán)'=AE,連接DR

是△AB。的中線

：.BE=ED,

在△ABE與中，，

A/\ABE^/\FDE(SAS),

：.AB=DF,ZBAE=ZEFD,

"：ZADB是△ADC的外角,

：.ZDAC+ZACD=ZADB=ABAD,

9/23

，ZBAE+ZEAD=/BAD,ZBAE=ZEFD,

：.ZEFD+ZEAD=ZDAC+ZACD,

：.NADF=ZADC,

■：AB=DC,

:.DF=DC,

在△A￡＞尸與△ADC中，，

A/\ADF^/\ADC(SAS)

ZC=ZAFD=ZBAE.

5.某校數(shù)學課外興趣小組活動時，老師提出如下問題：

【探究】如圖1,AABC中，若AB=8,AC=6,點。是BC的中點，試探究BC邊上的

中線AD的取值范圍.小明在組內經(jīng)過合作交流,得到了如下的解決方法：延長AD到E,

使。E=A￡>,請補充完整證明“AADC沿4EDB”的推理過程.

（1）求證：LADgAEDB

證明：：延長AD到點E,使OE=AD

在△AOC和△EDB中AD=ED（已作）ZADC=ZEDB（）CD=BD（中點定

義）

:.AADC咨AEDB（）

（2）探究得出A。的取值范圍是；

【感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”等字樣，可以考慮延長中線構造全等

三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集合到同一個三角形中.

【問題解決】

（3）如圖2,AD是△A8C的中線，BE交AC于E,交于凡且AC=8E

求證：NBFD=NCAD.

10/23

【解答】（1）證明：：延長AQ到點E,使DE=AD,

在△ADC和△磯（2中，

AD=ED,NADC=NEDB（對頂角相等），CD=BD（中點定義），

:.AADC冬AEDB（SAS）,

故答案為：對頂角相等；SAS；

（2）解：,:AADC咨AEDB,

：.BE=AC=6,

：.AB-BE<AE<AB+BE,即1<AD<7,

故答案為：

(3)證明：延長AD到"使。H=A￡),

由(1)得，AADC2AtiDB,

J.BH^AC,NBHD=NCAD,

'：AC=BF,

:.BH=BF,

：.ZBFD=ZBHD,

：.ZBFD=ZCAD.

H-

6.（1）如圖1,A。是△ABC的中線，延長AD至點E,ED=AD,連接CE.

①證明AABD四A￡C￡＞；

②若AB=5,AC=3,設AD=x,可得x的取值范圍是；

11/23

(2)如圖2,在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE±DF,DE交AB于點、E,DF交

AC于點R連接ER求證：BE+CF>EF.

【解答】(1)①證明：是△ABC的中線，

:.BD=CD,

在和△￡1(?￡>中，

rBD=CD

,ZADB=ZCDE(對頂角相等)，

、AD=DE

AAABD^AECD(SAS)；

②解：由①知，AABD/AECD,

：.CE=AB,

'：AB=5,

；.CE=5,

'：ED=AD,AD=x,

?.AE=2AZ)=2x,

在AACE中，AC=3,

根據(jù)三角形的三邊關系得，5-3<2x<5+3,

故答案為：l<x<4；

(2)證明：如圖2,延長fD,截取連接EH,

*：DH=DF,DELDF,

即NEOF=NEOH=90°,DE=DE,

:.ADEF烏ADEH(SAS),

；.EH=EF,

〈A。是中線，

:?BD=CD,

°：DH=DF,ZBDH=ZCDFf

：.ABDH^ACDF(SAS),

CF=BH,

?：BE+BH>EH,

:,BE+CF>EF.

12/23

7.【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版八年級上冊數(shù)學教材第69頁的部分內容:

例4曄13213,在△ABC中，D是邊BC的中

點，過點C畫直線CE,使CE"AB,交AD的延長線

于點E,求證：AD=ED

證明:CE#AB（已知）

/.Z.ABD=ZECD.ZBAD=ZCED（兩直線平

行，內錯角相等）.

在AABD與AECD中，

,/Z.ABD=ZECD,ZBAD=ZCED（已證）,

BD=CD（已知5,

「.△ABD絲ZkECD（A.A.S）,

：.AD=ED（全等三角形的對應邊相等）.

\7

（1）【方法應用】如圖①，在△A8C中，AB=6,AC=4,則BC邊上的中線AD長度的

取值范圍是?

（2）【猜想證明】如圖②，在四邊形ABC。中，AB//CD,點￡是BC的中點，若AE

是NA4。的平分線，試猜想線段A3、AD,OC之間的數(shù)量關系，并證明你的猜想；

（3）【拓展延伸】如圖③，已知點E是BC的中點，點D在線段AE上，Z

EDF=/BAE,若AB=5,CF=2,直接寫出線段。尸的長.

圖①

13/23

是BC邊上的中線,

:.BD=CD,

在△AQC和△ED8中，

；.AADC咨/XEDB(SAS),

：.AC=BE=4,

在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE,

：.6-4<2A￡><6+4,

：.1<AD<5,

故答案為：1<A￡><5.

(2)結論：AD=AB+DC.

理由：如圖②中，延長AE,￡>C交于點R

'：AB//CD,

：.ZBAF=ZF,

在△ABE和中，

,ZAEB=ZFEC

<ZBAE=ZF，

BE=CE

:.AABE*AFECCAAS),

：.CF=AB,

是NBA。的平分線，

：.ZBAF=ZFAD,

：.ZFAD^ZF,

：.AD=DF,

'：DC+CF=DF,

：.DC+AB=AD.

(3)如圖③，延長AE交CF的延長線于點G,

14/23

c

\lB

2產(chǎn).、'\

、G

圖③

是8C的中點，

：.CE=BE,

\'AB//CF,

：.ZBAE=ZG,

在△AEB和△GEC中，

:?△AEB"AGEC(AAS),

：.AB=GC,

,/ZEDF=/BAE,

:?NFDG=/G,

：.FD=FG,

：.AB=DF+CF,

???A5=5,CF=2,

：.DF=AB-CF=3.

8.如圖，已知A8=12,A3J_BC于8,ABLADA,AD=5,BC=IQ.點E是CD的中

【解答】方法一：

解：連接08,延長D4到凡使連接/C,

*：AD=5,

：.AF=5,

又??,點￡是。0的中點，

???EA為△。/。的中位線，貝

15/23

在RtAABD中，

AD1+AB2=DB2,

BD—^52+122=13，

\'AB±BC,ABLAD,

C.AD//BC,

又；DF=BC,

四邊形OBCF是平行四邊形，

：.FC=DB=13,

：.AE=^~.

2

故答案為：11.

2

方法二：

連接BE并延長，延長ZM交BE延長線于點R

'：AB1BC,AB±AD,

：.AD//BC,

—/C,

在△OEP和△CEB中，

2D=NC

<DE=EC，

ZDEF=ZCEB

:.△DEF<ACEB(ASA),

：.DF=BC=10,BE=FE,

:ZM=5,

：.AF=5,

在RtAABF中,

AF2+AB2=FB2,

?■?BF=V52+122=13,

,-.AE=ABF=13.

22

故答案為：

2

16/23

9.如圖，己知A2=12,ABVBC^-B,ABIAD^A,A￡>=5,BC=10.點E是CD的中

【解答】解：如圖，延長AE交8C于凡

'：AB±BC,AB±AD,

J.AD//BC

:.ND=ZC,NDAE=/CFE,

又?..點E是C。的中點，

：.DE=CE.

:在△AEQ與△FEC中，

.?.△AED絲AFEC(A4S),

：.AE=FE,AD=FC.

：A￡>=5,BC=10.

：.BF=5

在中，AF=VAB2+BF2=V122+52=13)

.,.AE——AF—6.5.

2

17/23

D

10.如圖，點。，E,尸分別為△ABC三邊的中點.若△ABC的周長為10,則△。所的周

長為.

【答案】5

【解答】解：：。、E、F分別是AB、AC,BC的中點，

：.FD.FE、OE為△ABC中位線，

：.DF=^AC,FE=LAB,DE=IBC；

222

：.DF+FE+DE=^AC+^AB+^BC=^-(AB+AC+CB)=Axi0=5,

22222

故答案為：5.

34.如圖，在四邊形ABC。中，P是對角線8。的中點，E、尸分別是A3、CD的中點，AD

=BC,ZFPE=100°,則/PFE的度數(shù)是.

【解答】解：,?,尸是對角線2。的中點，E是的中點,

：.EP=^AD,

2

同理，F(xiàn)P=LBC,

2

■：AD=BC,

：.PE=PF,

VZFPE=100°,

：.ZPFE=40°,

故答案為：40°.

18/23

11.如圖，在△ABC中，ZACB=90°，AB=10,BC=6,M、N分別是AB、AC的中點,

延長BC至點D,使Cr>=』BC,連結。M、DN、MN,求。N的長.

2

(1)求。N的長；

(2)直接寫出△BDM的面積為.

【考點】三角形中位線定理；勾股定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力.

【解答】解：(1)連接CM,

在中，ZACB=90°,M是A2的中點，

：.CM=-^AB=5,

2

'：M,N分別是A3、AC的中點，BC=6,

J.MN//BC,MN=LBC=3,

2

VCD=ABC,

2

:.CD=LC=3,

2

：.CD=MN,

,:MN〃BC,

...四邊形NDCM為平行四邊形，

:.DN=CM=5；

(2)由(1)知，CD=3,則8r>=CZ)+BC=3+6=9.

在直角△ABC中，ZACB=90°,48=10,8c=6,則衣=八及2-BC2=4]M_$2=

8.

是AC的中點，

：.NC=-^AC=4.

2

/.SABDM=—BZ)*C?7=AX9X4=18.

22

故答案為：18.

19/23

A

12.【教材呈現(xiàn)】下面是華師版九年級上冊數(shù)學教材第78頁的部分內容.

例2：如圖，在AABC中，D、E分別是邊8C、的中點，AD.CE相交于點G,求證:

GE二GD二1