實變函數(shù)考試題庫及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.設E是實數(shù)集R中的可測集，則m(E)（）A.一定是有理數(shù)B.一定是無理數(shù)C.可能是有理數(shù)也可能是無理數(shù)D.一定是整數(shù)2.下列集合中，（）是可數(shù)集。A.區(qū)間[0,1]B.有理數(shù)集QC.無理數(shù)集D.實數(shù)集R3.若f(x)在可測集E上可測，則|f(x)|在E上（）A.一定不可測B.不一定可測C.一定可測D.視具體情況而定4.設E1，E2是可測集，E1?E2，且m(E2-E1)=0，則m(E1)（）m(E2)。A.＜B.＞C.=D.無法確定5.函數(shù)f(x)在可測集E上勒貝格可積的充要條件是（）A.f+(x)和f-(x)在E上都可積B.f(x)在E上有界C.f(x)在E上連續(xù)D.f(x)在E上幾乎處處連續(xù)6.設E是可測集，{fn(x)}是E上的一列可測函數(shù)，則sup{fn(x)}在E上（）A.一定不可測B.一定可測C.不一定可測D.當{fn(x)}一致收斂時可測7.若f(x)在可測集E上勒貝格可積，且∫Ef(x)dx=0，則（）A.f(x)=0在E上幾乎處處成立B.f(x)恒為0C.f(x)在E上有正有負D.無法確定f(x)的情況8.設E是R中的開集，則E（）A.是閉集B.是完備集C.是可測集D.不是可測集9.對于可測函數(shù)f(x)，如果存在可測集列{En}，使得m(∪En)=m(E)，且f(x)在每個En上連續(xù)，則f(x)在E上（）A.一定連續(xù)B.幾乎處處連續(xù)C.一定不連續(xù)D.視具體情況而定10.設E是可測集，f(x)是E上的簡單函數(shù)，則f(x)（）A.一定不可積B.一定可積C.不一定可積D.當E是有限集時可積答案：1.C2.B3.C4.C5.A6.B7.A8.C9.B10.C二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下關(guān)于可測集的說法正確的是（）A.空集是可測集B.有限集是可測集C.可數(shù)個可測集的并集是可測集D.開集是可測集E.閉集是可測集2.設f(x)在可測集E上可測，則（）在E上也可測。A.f2(x)B.1/f(x)（當f(x)≠0時）C.cf(x)（c為常數(shù)）D.f(x)+1E.|f(x)|3.下列函數(shù)中，（）是勒貝格可積的。A.在[0,1]上的狄利克雷函數(shù)B.在[0,1]上連續(xù)的函數(shù)C.在[0,1]上有界且?guī)缀跆幪庍B續(xù)的函數(shù)D.在[0,1]上單調(diào)遞增的函數(shù)E.在[0,1]上只有有限個間斷點的有界函數(shù)4.設E1，E2是可測集，則（）也是可測集。A.E1∩E2B.E1-E2C.E1∪E2D.E1△E2E.E1的補集5.對于可測函數(shù)列{fn(x)}，如果fn(x)→f(x)（n→∞），則（）A.f(x)一定可測B.若fn(x)在E上勒貝格可積，則f(x)在E上勒貝格可積C.若fn(x)在E上一致有界，則f(x)在E上勒貝格可積D.若fn(x)在E上幾乎處處收斂于f(x)，則f(x)可測E.若fn(x)在E上依測度收斂于f(x)，則f(x)可測6.設E是可測集，下列關(guān)于可測函數(shù)的說法正確的是（）A.可測函數(shù)的和是可測函數(shù)B.可測函數(shù)的積是可測函數(shù)C.可測函數(shù)的商（分母不為0）是可測函數(shù)D.可測函數(shù)的絕對值是可測函數(shù)E.可測函數(shù)的復合函數(shù)（在滿足一定條件下）是可測函數(shù)7.若E是可測集，m(E)=0，則（）A.任何函數(shù)在E上都是可測的B.任何函數(shù)在E上勒貝格可積，且積分值為0C.若f(x)在E上有定義，則f(x)在E上幾乎處處等于0D.若f(x)在E上可測，則f(x)在E上一定連續(xù)E.若f(x)在E上可測，則∫Ef(x)dx=08.設E是可測集，f(x)是E上的可測函數(shù)，則（）A.{x∈E|f(x)>a}是可測集（a為任意實數(shù)）B.{x∈E|f(x)=a}是可測集（a為任意實數(shù)）C.{x∈E|f(x)<a}是可測集（a為任意實數(shù)）D.{x∈E|f(x)≥a}是可測集（a為任意實數(shù)）E.{x∈E|f(x)≤a}是可測集（a為任意實數(shù)）9.下列關(guān)于勒貝格積分的性質(zhì)正確的是（）A.∫E(f(x)+g(x))dx=∫Ef(x)dx+∫Eg(x)dxB.∫Ecf(x)dx=c∫Ef(x)dx（c為常數(shù)）C.若E1，E2是E的可測子集，E=E1∪E2，E1∩E2=?，則∫Ef(x)dx=∫E1f(x)dx+∫E2f(x)dxD.若f(x)≤g(x)在E上幾乎處處成立，則∫Ef(x)dx≤∫Eg(x)dxE.若m(E)=0，則∫Ef(x)dx=010.設E是可測集，f(x)是E上的可測函數(shù)，以下關(guān)于依測度收斂的說法正確的是（）A.如果fn(x)依測度收斂于f(x)，則存在子列{fnk(x)}幾乎處處收斂于f(x)B.如果fn(x)幾乎處處收斂于f(x)，則fn(x)依測度收斂于f(x)C.如果fn(x)依測度收斂于f(x)，則{fn(x)}在E上一致收斂于f(x)D.如果{fn(x)}在E上一致有界且依測度收斂于f(x)，則∫Efn(x)dx→∫Ef(x)dxE.如果fn(x)依測度收斂于f(x)，且g(x)在E上可測，則fn(x)g(x)依測度收斂于f(x)g(x)答案：1.ABCDE2.ABCDE3.BCDE4.ABCDE5.ADE6.ABCDE7.ABE8.ABCDE9.ABCDE10.A三、判斷題（每題2分，共10題）1.有理數(shù)集Q的測度為0。（）2.若f(x)在可測集E上可測，則f(x)在E的任何子集上都可測。（）3.所有的有界函數(shù)都是勒貝格可積的。（）4.可測集的補集一定是可測集。（）5.若fn(x)在可測集E上幾乎處處收斂于f(x)，則fn(x)一定依測度收斂于f(x)。（）6.兩個可測函數(shù)的商一定是可測函數(shù)。（）7.若E是可測集，m(E)<+∞，f(x)在E上勒貝格可積，則f(x)在E上有界。（）8.設E是可測集，f(x)是E上的可測函數(shù)，則{f(x)>0}是可測集。（）9.若f(x)在可測集E上連續(xù)，則f(x)在E上可測。（）10.若E1，E2是可測集，E1=E2，則m(E1)=m(E2)。（）答案：1.對2.錯3.錯4.對5.錯6.錯7.錯8.對9.對10.對四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述可測函數(shù)的定義。答案：設E是可測集，f(x)是定義在E上的廣義實值函數(shù)，如果對于任意實數(shù)a，集合E(f>a)，E(f<a)，E(f≥a)，E(f≤a)都是可測集，則稱f(x)是E上的可測函數(shù)。2.什么是勒貝格積分的絕對可積性？答案：函數(shù)f(x)在可測集E上勒貝格可積的充要條件是|f(x)|在E上勒貝格可積，即若∫E|f(x)|dx<+∞，則稱f(x)在E上勒貝格絕對可積。3.簡述依測度收斂的概念。答案：設E是可測集，{fn(x)}是E上的一列可測函數(shù)，f(x)是E上的可測函數(shù)。如果對于任意的正數(shù)ε，有l(wèi)im(n→∞)m({x∈E:|fn(x)-f(x)|≥ε})=0，則稱{fn(x)}在E上依測度收斂于f(x)。4.如何判斷一個集合是否為可測集？答案：如果一個集合滿足卡拉泰奧多里條件，即對于任意集合T，有m(T)=m(T∩E)+m(T-E)，其中m是外測度，則E是可測集；另外，開集、閉集、可數(shù)個可測集的并集和交集等都是可測集。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論可測函數(shù)列的收斂性之間的關(guān)系（幾乎處處收斂、依測度收斂等）。答案：幾乎處處收斂不一定依測度收斂，但依測度收斂一定存在子列幾乎處處收斂。當m(E)<+∞時，幾乎處處收斂蘊含依測度收斂。2.討論勒貝格積分與黎曼積分的區(qū)別與聯(lián)系。答案：區(qū)別：勒貝格積分的可積范圍更廣，對被積函數(shù)的連續(xù)性要求低。聯(lián)系：在黎曼可積的情況下，黎曼積分與勒貝格積分的值相等，黎