七道數(shù)學極限練習題及計算過程1.計算eq\s(lim,n→∞)eq\f(23n2-24,29n?+17n-12).解：觀察所求極限特征，可知所求極限的分母此時為2，分子的次數(shù)為4，且分子分母沒有可約的因子，則當n趨近無窮大時，所求極限等于0。eq\s(lim,n→∞)eq\f(23n2-24,29n?+17n-12),分子分母同時除以n?，=eq\s(lim,n→∞)eq\f(\f(23,n)-\f(24,n?),29+\f(17,n3)-\f(12,n?))=0。2.計算eq\s(lim,n→∞)eq\f(45n-34n-16,28+15n-38n2).解：思路一：觀察所求極限特征，可知所求極限的分子分母的次數(shù)相同均為2，且分子分母沒有可約的因子，則分子分母同時除以n2，即：eq\s(lim,n→∞)eq\f(45n-34n-16,28+15n-38n2)=eq\s(lim,n→∞)eq\f(45-\f(34,n)-\f(16,n2),\f(28,n)+\f(15,n)-38)=eq\f(45-0,0-38)=-eq\f(45,38)。思路二：本題所求極限符合洛必達法則，有：eq\s(lim,n→∞)eq\f(45n-34n-16,28+15n-38n2)=eq\s(lim,n→∞)eq\f(90n-34,15-76n)，繼續(xù)使用羅必塔法則，=eq\s(lim,n→∞)eq\f(90-0,0-76)，=-eq\f(45,38)。3.求極限eq\s(lim,x→1)eq\f(x3-24x+23,x?-33x+32).解：觀察極限特征，所求極限為定點x趨近于1，又分子分母含有公因式x-1，即x=1是極限函數(shù)的可去間斷點，則：eq\s(lim,x→1)eq\f(x3-24x+23,x?-33x+32)=eq\s(lim,x→1)eq\f((x-1)(x2+x-23),(x-1)(x3+x2+x-32)),=eq\s(lim,x→1)eq\f(x2+x-23,x3+x2+x-32),=eq\f(1+1-23,1+1+1-32)=eq\f(21,29)。4.求eq\s(lim,x→0)eq\f(16x+14sin10x,29x-43sin6x).解：思路一：本題思路主要通過重要極限公式eq\s(lim,x→0)eq\f(sinx,x)=1應用計算而得，則：eq\s(lim,x→0)eq\f(16x+14sin10x,29x-43sin6x)，=eq\s(lim,x→0)eq\f(16+14\f(sin10x,x),29-43\f(sin6x,x))，=eq\s(lim,x→0)eq\f(16+140\f(sin10x,10x),29-258\f(sin6x,6x))，=eq\f(16+140,29-258)=-eq\f(156,229)。思路二：使用羅必塔法則計算有：eq\s(lim,x→0)eq\f(16x+14sin10x,29x-43sin6x)，=eq\s(lim,x→0)eq\f(16+14*10cos10x,29-43*6cos6x)，=eq\f(16+14*10,29-43*6)=-eq\f(156,229)。5.求eq\s(lim,x→∞)eq\f(x2sin\f(1,x),3x+2).解：本題思路是分子分母同時除以x，并變形使用重要極限公式lim(x→0)eq\f(sinx,x)=1，則：eq\s(lim,x→∞)eq\f(x2sin\f(1,x),3x+2)=eq\s(lim,x→∞)eq\f(xsin\f(1,x),\f(3x+2,x))=eq\s(lim,x→∞)eq\f(\f(sin\f(1,x),\f(1,x)),3+\f(2,x)),=eq\f(1,eq\s(lim,x→∞)3+\f(2,x))=eq\f(1,3)。6.求eq\s(lim,x→0)eq\f(sin37x-sin69x,sin16x).解：思路一：對分母進行三角和差化積，再進行極限計算，有：eq\s(lim,x→0)eq\f(sin37x-sin69x,sin16x)=eq\s(lim,x→0)eq\f(2cos53xsin(-16x),sin16x),=eq\s(lim,x→0)-2cos53x=-2cos0=-2。思路二：使用羅必塔法則計算有：eq\s(lim,x→0)eq\f(sin37x-sin69x,sin16x),=eq\s(lim,x→0)eq\f(37cos37x-sin69cos69x,16cos16x)，=eq\s(lim,x→0)eq\f(37-69,16)=-2。7.求eq\s(lim,x→0)(1+2x)eq\s\up15(\f(8,x))。解：本題主要通過使用重要極限公式eq\s(lim,x→0)(1+x)eq\s\up15(\f(1,x))=e計算而得，則：eq\s(lim,x→0)(1+2x