第07講圓與圓的位置關(guān)系題型梳理題型梳理易錯分析易錯點(diǎn)一兩圓相切問題中考慮不全面漏解致錯題型方法題型一圓與圓位置關(guān)系的判斷題型二與兩圓相切有關(guān)的問題題型三與兩圓相交的有關(guān)問題題型四與兩圓位置關(guān)系有關(guān)的綜合問題知識清單知識清單知識點(diǎn)01圓與圓的位置關(guān)系及其判斷1.代數(shù)法：設(shè)兩圓的方程分別為C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0(D12+E1C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0(D22+E2x2的是一元一次方程，則要求出方程組的解進(jìn)行判斷)，計(jì)算判別式Δ的值，按下列表中的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行判斷.2.幾何法：設(shè)兩圓的半徑分別為r1，r2，圓心距為d，按下列表中的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行判斷.位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示公共點(diǎn)個數(shù)01210Δ的值Δ<0Δ=0Δ>0Δ=0Δ<0d與r1，r2的關(guān)系d>r1+r2d=r1+r2|r1r2|<d<r1+r2d=|r1r2|d<|r1r2|公切線條數(shù)43210知識點(diǎn)02兩圓位置關(guān)系的判斷1.幾何法：將兩圓的圓心距d與兩圓的半徑之差的絕對值、半徑之和進(jìn)行比較，進(jìn)而判斷出兩圓的位置關(guān)系，這是在解析幾何中常用的方法.2.代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，得到方程組，解方程組，根據(jù)方程組解的組數(shù)判斷兩圓的位置關(guān)系.知識點(diǎn)03兩圓相切問題?1.兩圓相切包括內(nèi)切和外切，若只知道相切，則需分內(nèi)切、外切兩種情況討論，再根據(jù)兩圓的圓心距與半徑的關(guān)系列方程解決問題.2.求兩圓外公切線問題的關(guān)鍵(1)判斷兩圓的位置關(guān)系；(2)設(shè)公切線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑得參數(shù)所滿足的方程，求出參數(shù)值得切線方程.(3)可通過作圖解決，畫圖要標(biāo)準(zhǔn)，做到“草圖不草”.知識點(diǎn)04兩圓的公共弦問題1.兩圓的公共弦所在直線方程的求法設(shè)圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0(D12+E124F1>0)，圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0(D2由x2+y2+D1x+E1y+F1=0，①x2+設(shè)兩圓交點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B的坐標(biāo)適合方程①②，也適合方程③，因此方程③就是經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線方程.故當(dāng)兩圓相交時，(D1D2)x+(E1E2)y+F1F2=0是經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線方程，即公共弦所在直線的方程.當(dāng)兩圓外離時，(D1D2)x+(E1E2)y+F1F2=0是垂直于兩圓圓心連線的一條直線的方程.當(dāng)兩圓相切時，(D1D2)x+(E1E2)y+F1F2=0是兩圓的一條公切線的方程若兩圓是等圓，則(D1D2)x+(E1E2)y+F1F2=0是以兩圓圓心為端點(diǎn)的線段的垂直平分線的方程.2.兩圓公共弦長的求法(1)代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長.(2)幾何法：用幾何法解兩圓的公共弦問題的步驟①將兩圓的方程作差，求出公共弦所在直線的方程；②求出其中一個圓的圓心到公共弦的距離；③利用勾股定理求出公共弦長.3.求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的圓的方程的方法一般地，過圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0(D12+E124F1>0)與圓C2：x2+y2+D2x+E(D22+E224F2>0)交點(diǎn)的圓的方程可設(shè)為x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E(λ∈R，λ≠1)，再由其他條件求出λ即得圓的方程.知識點(diǎn)05解決直線與圓的實(shí)際應(yīng)用題的步驟(1)審題：從題目中抽象出幾何模型，明確已知和未知.(2)建系：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示幾何模型中的基本元素.(3)求解：利用直線與圓的有關(guān)知識求出未知.(4)還原：將運(yùn)算結(jié)果還原到實(shí)際問題中去.易錯分析易錯分析【易錯點(diǎn)一】兩圓相切問題中考慮不全面漏解致錯A．6 B．3或6 C．9 D．3或9【答案】D【分析】分類討論，兩圓外切和內(nèi)切兩種情況，分別根據(jù)圓心距與半徑的關(guān)系即可求解．故選：D．【答案】0或【分析】兩個圓相切，則兩個圓內(nèi)切或外切，分別求出a，即可得出結(jié)論.因?yàn)閮蓚€圓相切所以兩個圓內(nèi)切或外切，所以實(shí)數(shù)a的值為0或．故答案為：0或．(1)求圓C的方程：【分析】（1）設(shè)出圓心坐標(biāo)，根據(jù)半徑相等列出方程，求出圓C的方程；題型方法題型方法【題型一】圓與圓位置關(guān)系的判斷A．相交 B．外切 C．內(nèi)切 D．內(nèi)含【答案】A【分析】求出兩圓半徑及圓心距，再判斷兩圓的位置.故選：A解題技巧判斷兩圓的位置關(guān)系或利用兩圓的位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍有以下幾個步驟(1)化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，寫出圓心和半徑．(2)計(jì)算兩圓圓心的距離d.(3)通過d，r1＋r2，|r1－r2|的關(guān)系來判斷兩圓的位置關(guān)系或求參數(shù)的范圍，必要時可借助于圖形，數(shù)形結(jié)合．A．若圓心在直線上，則直線與圓相切B．若圓心在圓內(nèi)，則直線與圓相離C．若直線與圓相切，則圓與圓相切D．若直線與圓相交，則圓心在圓外【答案】ABD【分析】根據(jù)兩圓標(biāo)準(zhǔn)方程可得兩圓圓心以及兩圓的半徑，根據(jù)點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系由點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算對選項(xiàng)逐一進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論.故選：ABD【答案】相交【分析】首先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得兩圓的圓心坐標(biāo)、半徑，由兩點(diǎn)間的距離公式算出圓心距，比較圓心距與半徑之和、半徑之差的大小關(guān)系即可求解.所以圓與圓的位置關(guān)系是相交.故答案為：相交.【答案】圓與圓的位置關(guān)系是相交【分析】利用圓心距與兩圓半徑之間的關(guān)系判斷可得結(jié)果.【題型二】與兩圓相切有關(guān)的問題A． B． C． D．【答案】B【分析】判斷兩圓的位置關(guān)系，即可得出結(jié)論.所以，兩圓相交，故兩圓的公切線條數(shù)為.故選：B.解題技巧通過圓與圓的位置關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，利用方程思想，解決求圓的方程問題A．2 B．5 C．6 D．9【答案】B故選：B【答案】ABC【分析】先明確兩圓位置關(guān)系，從而根據(jù)兩圓位置關(guān)系明確公切線的情況，再根據(jù)公切線特征情況分情況直接計(jì)算求解即可.故選：ABC．(1)求圓的方程；【分析】（1）求得圓的圓心和半徑，從而求得圓的方程.（2）根據(jù)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，由弦長來求得直線的方程.【題型三】與兩圓相交的有關(guān)問題【答案】C【分析】根據(jù)兩圓相交建立不等式求解.故選：C解題技巧(1)求兩圓的公共弦所在直線的方程的方法：將兩圓方程相減即得兩圓公共弦所在直線的方程，但必須注意只有當(dāng)兩圓方程中二次項(xiàng)系數(shù)相同時，才能如此求解，否則應(yīng)先調(diào)整系數(shù)．(2)求兩圓公共弦長的方法：一是聯(lián)立兩圓方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再用距離公式求解；二是先求出兩圓公共弦所在的直線方程，再利用半徑長、弦心距和弦長的一半構(gòu)成的直角三角形求解．(3)已知圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則過兩圓交點(diǎn)的圓的方程可設(shè)為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．【答案】D【分析】求出已知兩圓的交點(diǎn)，求線段的中垂線，聯(lián)立待求圓圓心所在直線，即可得出圓心坐標(biāo).故選：D．【答案】【分析】兩圓方程相減可得公共弦的方程，再利用直線的傾斜角求出斜率即可求解.因?yàn)橹本€的傾斜角為，故答案為：(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；【題型四】與兩圓位置關(guān)系有關(guān)的綜合問題【答案】D故選：D.A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)幾何的思路得到當(dāng)以為直徑的圓與圓外切，且圓心連線與垂直時，線段長度最小，然后求即可.則以為直徑的圓與圓有交點(diǎn)，當(dāng)長度最小時，兩圓外切，且兩圓圓心所在直線與垂直，如圖，

故選：A【答案】7故答案為：7(2)若圓過點(diǎn)及點(diǎn)，且與圓外切，求圓的方程.【分析】（1）求出點(diǎn)的位置，即可得出直線的斜率；（2）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，利用圓與圓外切和圓到原點(diǎn)的距離即可得出圓的方程.（2）由題意及（1）得，圓過點(diǎn)及點(diǎn)，因?yàn)閳A與圓外切，好題必刷好題必刷一、單選題A．外離 B．相交 C．外切 D．內(nèi)含【答案】C【分析】根據(jù)圓的方程寫出圓心和半徑，由圓心距與半徑和差關(guān)系判斷兩圓的位置關(guān)系.即兩圓的圓心距等于半徑和，所以兩圓外切.故選：C.A．6 B．4 C．6或 D．4或【答案】C【詳解】由圓與圓有且只有三條公切線，故兩圓外切，故選：C.A．4 B．6 C．16 D．36【答案】C因?yàn)閮蓤A的公切線恰有3條，所以兩圓外切，故選：C.【答案】A故選：A．【答案】D故選：D.A． B．2 C． D．3【答案】D故選：D二、多選題A．1 B．3 C．8 D．9【答案】AD【分析】判斷點(diǎn)O與圓C的位置，再利用兩圓相離列出不等式求解即得.由于圓O與圓C無公共點(diǎn)，則圓O與圓C可以外離，也可以內(nèi)含，且圓C在圓O內(nèi)，故選：AD【答案】BC結(jié)合選項(xiàng)可知BC滿足條件，故選：BC．A．動圓必過定點(diǎn)【答案】ABD故選：ABD.三、填空題【分析】求出公共弦所在的直線方程，再利用圓的弦長公式計(jì)算得解.【答案】2【分析】先判斷兩圓的位置關(guān)系，得到公切線的條數(shù)即可．故兩圓相交，則兩圓的公切線的條數(shù)是2條.故答案為：2四、解答題【分析】（1）確定圓方程，考慮切線斜率不存在和存在兩種情況，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑計(jì)算得到答案.(2)對于線段上的任意一點(diǎn)，若在圓上都存在不同的兩點(diǎn)，，使得點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求的取值范圍.（2）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到，，再將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓方程，建立方程組，根據(jù)方程組有解轉(zhuǎn)化為圓與圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解．因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，又因?yàn)?，都在以點(diǎn)為圓心的圓上，【分