17.1.1用提取公因式法分解簡(jiǎn)單的因式第十七章

因式分解【2025新教材】人教版數(shù)學(xué)

八年級(jí)上冊(cè)

授課教師：********班級(jí)：********時(shí)間：********17.1.1用提取公因式法分解簡(jiǎn)單的因式一、知識(shí)導(dǎo)入在整式乘法的學(xué)習(xí)中，我們掌握了如單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式\(m(a+b+c)=ma+mb+mc\)這樣的運(yùn)算規(guī)則?，F(xiàn)在，讓我們從一個(gè)實(shí)際問(wèn)題來(lái)引出新的知識(shí)內(nèi)容。某單人跳水選手完成一個(gè)難度系數(shù)為\(p\)的動(dòng)作，7名裁判評(píng)分，去掉兩個(gè)最高分和兩個(gè)最低分后，剩下3個(gè)分?jǐn)?shù)\(a\)，\(b\)，\(c\)，選手得分計(jì)算為\(pa+pb+pc\)，而通過(guò)觀察我們發(fā)現(xiàn)\(pa+pb+pc=p(a+b+c)\)，從\(pa+pb+pc\)到\(p(a+b+c)\)，這其實(shí)就是一種把多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式乘積形式的過(guò)程，這就是我們接下來(lái)要學(xué)習(xí)的因式分解，而提取公因式法是因式分解中最基礎(chǔ)且常用的方法。二、公因式的確定系數(shù)方面：公因式的系數(shù)應(yīng)取多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)。例如，對(duì)于多項(xiàng)式\(6x^2+9x\)，系數(shù)\(6\)和\(9\)的最大公約數(shù)是\(3\)。字母方面：取各項(xiàng)都含有的相同字母，且相同字母的指數(shù)取次數(shù)最低的。在\(6x^2+9x\)中，兩項(xiàng)都含有字母\(x\)，\(x\)的最低次冪是\(1\)，所以公因式中字母部分為\(x\)。綜合系數(shù)與字母兩方面，\(6x^2+9x\)的公因式就是\(3x\)。特殊情況：當(dāng)多項(xiàng)式的第一項(xiàng)是負(fù)的，一般要提出“-”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)成為正數(shù)。比如\(-2x^2+4x\)，提出“-”號(hào)后，原多項(xiàng)式變?yōu)閈(-(2x^2-4x)\)，此時(shí)公因式為\(2x\)。三、提取公因式法的步驟第一步：確定公因式：如上述確定公因式的方法，找出多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。第二步：確定余項(xiàng)：用原多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以公因式，得到的商作為括號(hào)內(nèi)的余項(xiàng)。例如，對(duì)于\(6x^2+9x\)，公因式為\(3x\)，\(6x^2\div3x=2x\)，\(9x\div3x=3\)，所以余項(xiàng)為\(2x+3\)。第三步：提取公因式：將公因式與余項(xiàng)寫成乘積的形式，即\(6x^2+9x=3x(2x+3)\)。四、典型例題講解例1：分解因式\(4m^2-2mn\)。分析：先確定公因式，系數(shù)\(4\)和\(2\)的最大公約數(shù)是\(2\)，兩項(xiàng)都含有字母\(m\)，\(m\)的最低次冪是\(1\)，所以公因式為\(2m\)。解答：\(4m^2-2mn=2m\cdot2m-2m\cdotn=2m(2m-n)\)。例2：分解因式\(3ax^2-6axy+3a\)。分析：系數(shù)\(3\)，\(-6\)，\(3\)的最大公約數(shù)是\(3\)，各項(xiàng)都含有字母\(a\)，\(a\)的最低次冪是\(1\)，所以公因式為\(3a\)。解答：\(3ax^2-6axy+3a=3a\cdotx^2-3a\cdot2xy+3a\cdot1=3a(x^2-2xy+1)\)。例3：分解因式\((x-y)^2+2(y-x)^3\)。分析：先對(duì)式子進(jìn)行變形，因?yàn)閈(y-x=-(x-y)\)，所以\((x-y)^2+2(y-x)^3=(x-y)^2-2(x-y)^3\)。此時(shí)公因式為\((x-y)^2\)。解答：\((x-y)^2-2(x-y)^3=(x-y)^2[1-2(x-y)]=(x-y)^2(1-2x+2y)\)。五、專項(xiàng)練習(xí)鞏固冪的運(yùn)算練習(xí)：計(jì)算\(x^5\cdotx^3\)，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則，底數(shù)不變，指數(shù)相加，結(jié)果為\(x^{5+3}=x^8\)。計(jì)算\((-2a^2b)^4\)，根據(jù)積的乘方，先把積中的每一個(gè)因數(shù)分別乘方，再把所得的冪相乘，\((-2)^4\times(a^2)^4\timesb^4=16a^8b^4\)。計(jì)算\((y^3)^2\divy^5\)，先算冪的乘方\((y^3)^2=y^{3\times2}=y^6\)，再算同底數(shù)冪的除法\(y^6\divy^5=y^{6-5}=y\)。整式乘法運(yùn)算練習(xí)：計(jì)算\(3xy^2\cdot(-2x^2y)\)，系數(shù)相乘\(3\times(-2)=-6\)，同底數(shù)冪分別相乘\(x\cdotx^2=x^{1+2}=x^3\)，\(y^2\cdoty=y^{2+1}=y^3\)，結(jié)果為\(-6x^3y^3\)。計(jì)算\(-2x(3x^2-4x+1)\)，根據(jù)乘法分配律，\(-2x\times3x^2-(-2x)\times4x+(-2x)\times1=-6x^3+8x^2-2x\)。計(jì)算\((x-2)(2x+3)\)，用多項(xiàng)式乘法法則，\(x\times2x+x\times3-2\times2x-2\times3=2x^2+3x-4x-6=2x^2-x-6\)。乘法公式應(yīng)用練習(xí)：計(jì)算\(99??101\)，可變形為\((100-1)(100+1)\)，利用平方差公式\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)，這里\(a=100\)，\(b=1\)，則\(100^2-1^2=10000-1=9999\)。計(jì)算\((3a+2b)^2\)，利用完全平方公式\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)，這里\(a=3a\)，\(b=2b\)，則\((3a)^2+2\times3a\times2b+(2b)^2=9a^2+12ab+4b^2\)。計(jì)算\((x-y+2)(x-y-2)\)，將\((x-y)\)看作一個(gè)整體，變形為\([(x-y)+2][(x-y)-2]\)，利用平方差公式得\((x-y)^2-2^2\)，再展開(kāi)\((x-y)^2\)，即\(x^2-2xy+y^2-4\)。綜合提升練習(xí)：化簡(jiǎn)求值：當(dāng)\(x=-1\)，\(y=2\)時(shí)，求\((2x-y)^2-(2x+y)(2x-y)\)的值。先利用完全平方公式和平方差公式展開(kāi)式子：\((2x-y)^2=4x^2-4xy+y^2\)，\((2x+y)(2x-y)=4x^2-y^2\)。式子變?yōu)閈(4x^2-4xy+y^2-(4x^2-y^2)=4x^2-4xy+y^2-4x^2+y^2=2y^2-4xy\)。把\(x=-1\)，\(y=2\)代入\(2y^2-4xy\)，得\(2\times2^2-4\times(-1)\times2=2\times4+8=8+8=16\)。已知\(m-n=4\)，\(mn=-1\)，求\((m+n)^2\)和\(m^2+n^2\)的值。對(duì)于\((m+n)^2\)，根據(jù)完全平方公式變形\((m+n)^2=(m-n)^2+4mn\)，把\(m-n=4\)，\(mn=-1\)代入，得\(4^2+4\times(-1)=16-4=12\)。對(duì)于\(m^2+n^2\)，根據(jù)完全平方公式變形\(m^2+n^2=(m-n)^2+2mn\)，把\(m-n=4\)，\(mn=-1\)代入，得\(4^2+2\times(-1)=16-2=14\)。六、易錯(cuò)點(diǎn)總結(jié)公因式提取不徹底：在確定公因式時(shí)，一定要按照系數(shù)取最大公約數(shù)、字母取相同且最低次冪的規(guī)則，確保公因式提取完全。例如\(4x^3y-6x^2y^2\)，公因式是\(2x^2y\)，而不是\(2xy\)。提取公因式后余項(xiàng)錯(cuò)誤：提取公因式后，要用原多項(xiàng)式每一項(xiàng)除以公因式來(lái)確定余項(xiàng)，注意不要漏項(xiàng)，特別是當(dāng)某一項(xiàng)與公因式相同時(shí)，余項(xiàng)為\(1\)。如\(3x^2+3x\)提取公因式\(3x\)后，余項(xiàng)是\(x+1\)，而不是\(x\)。符號(hào)問(wèn)題：當(dāng)多項(xiàng)式首項(xiàng)為負(fù)提取“-”號(hào)時(shí)，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)要變號(hào)。如\(-2x^2-4x\)提取“-”號(hào)和公因式\(2x\)后，應(yīng)變?yōu)閈(-2x(x+2)\)，而不是\(-2x(x-2)\)。通過(guò)對(duì)提取公因式法分解簡(jiǎn)單因式的學(xué)習(xí)，結(jié)合整式乘法及乘法公式等知識(shí)的綜合練習(xí)，同學(xué)們要熟練掌握這一重要的因式分解方法，為后續(xù)更復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算和代數(shù)式化簡(jiǎn)奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。在課后，同學(xué)們要針對(duì)自己在練習(xí)中出現(xiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)，進(jìn)行有針對(duì)性的強(qiáng)化訓(xùn)練，不斷提升解題的準(zhǔn)確性和速度。5課堂檢測(cè)4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解學(xué)習(xí)目標(biāo)了解因式分解的意義.會(huì)用提取公因式法將多項(xiàng)式分解因式.會(huì)利用因式分解進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算.情境導(dǎo)入跳水比賽打分規(guī)則某單人跳水選手完成了一個(gè)難度系數(shù)為p

的動(dòng)作，如果有7名裁判進(jìn)行評(píng)分，按照評(píng)分規(guī)則，去掉兩個(gè)最高分和兩個(gè)最低分后，會(huì)剩下3個(gè)分?jǐn)?shù)a，b，c，選手的得分可以怎樣計(jì)算？pa+pb+pcp(a+b+c)=一個(gè)多項(xiàng)式兩個(gè)整式的乘積探究新知在小學(xué)，我們學(xué)過(guò)整數(shù)的素因數(shù)分解.12=___________.6=___________.8=___________.30=___________.2×32×2×22×2×32×3×5類似地，有時(shí)也需要將整式分解成幾個(gè)因式乘積的形式.知識(shí)點(diǎn)1因式分解（1）x2

+x=__________；（2）x2

–1

=_____________；（3）x2+2x+1

=__________.請(qǐng)把下列多項(xiàng)式寫成整式的乘積的形式：探究想：整式的乘法x(x+1)(x+1)(x–1)(x+1)2像這樣，把一個(gè)多項(xiàng)式化成了幾個(gè)整式的乘積的形式，叫作這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫作把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.下列整式乘法與因式分解之間有什么關(guān)系？（1）m(a+b+c)=ma+mb+mc，ma+mb+mc=m(a+b+c)；（2）(a－7)2=a2

－14a+49，a2－14a+49=(a－7)2；（3）(x+

3)(x－3)=x2

－9，x2－9=(x+3)(x－3).整式乘法因數(shù)分解m(a+b+c)=ma+mb+mc(a－7)2=a2

－14a+49(x+

3)(x－3)=x2

－9ma+mb+mc=m(a+b+c)a2－14a+49=(a－7)2x2－9=(x+3)(x－3)互為逆變形觀察在下列等式中，從左到右的變形是因式分解的有

.①am+bm+c=m(a+b)+c②12x2y2=3x

·4xy2③x2–4=(x+2)(x

–2)④(x+1)2=x2+2x+1⑥2x+4y+6z=2(x+2y+3z)⑤a2–b2–1=(a

+b)(a–b)–1×√×××√③⑥練習(xí)下列多項(xiàng)式有什么共同特點(diǎn)？相同因式p相同因式x它們的各項(xiàng)都有一個(gè)公共的因式(p

或x)，我們把它叫作這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.觀察pa+pb+pcpx2+xxppx知識(shí)點(diǎn)2公因式找出下列多項(xiàng)式的公因式.①3x+6y②ab–2ac③a2–a3④

ma2–6mb⑤

3xy2–4y23aa2my2練習(xí)試一試，將它們寫成幾個(gè)因式的乘積.pa+pb+pcx2+x=p(a+b+c)=x(x+1)怎么得到的？(pa+pb+pc)÷p(x2+x)÷x

一般地，如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提取出來(lái)，將多項(xiàng)式寫成公因式與另一個(gè)因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫作提公因式法.知識(shí)點(diǎn)3提公因式法

例1分解因式：(1)mx2+my2；(2)3x2–4xy2+x

.解：(1)mx2+my2=m(x2+y2)分析：(1)公因式為_(kāi)___(2)公因式為_(kāi)___mx將x

提出后，括號(hào)內(nèi)的第三項(xiàng)為1(2)3x2–4xy2+x

=x·3x–x·4y2+x·1=x(3x–4y2+1)運(yùn)用提公因式法時(shí)，如何確定各項(xiàng)的公因式？=2x2·1+2x2·3x=2x2

(1+3x)①定系數(shù)：各項(xiàng)系數(shù)的最大公因數(shù)；②定字母：各項(xiàng)的相同字母；③定指數(shù)：相同字母最低次冪.思考2x22x2+6x3注意：某項(xiàng)作為整體提出后，余項(xiàng)用1補(bǔ)充.練習(xí)把下列各式分解因式：（1）4m2–2mn；（2）3ax2–6axy+3a.解：4m2–2mn=2m·2m

–2m·n=2m(2m

–n)3ax2–6axy+3a=3a·x2–3a·2xy+3a·1=3a(x2–2xy+1)隨堂練習(xí)1.下列整式中，沒(méi)有公因式的是（）A.ab

與bB.a+b

與

a2+b2C.a–b

與(b–a)2D.x

與6x2Bb×a–bx2.下列由左邊到右邊的式子變形，哪些是因式分解？哪些不是？為什么？（1）4a(a+2b)=4a2+8ab；

（2）a2–4=(a+2)(a–2)；（3）x2–3x+2=x(x–3)+2.【教材P125練習(xí)第1題】是整式的乘法仍為多項(xiàng)式的和的形式，沒(méi)有分解成兩個(gè)因數(shù)的積3.分解因式：（1）ax

–

ay；

（2）a2–2a；解：(1)

ax–ay=a(x–y)(2)a2–2a=a·a–a·2=a(a

–2)【教材P125練習(xí)第2題】（3）a2+ab；

（4）xy–y2+yz.(3)a2+ab=a·a+a·b=a(a

+b)(4)xy–y2+yz=y·x–y·y+y·z=y(x–y+z)