2024版北師大數(shù)學(xué)八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第一章勾股定理第1課探索勾股定理第1課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過(guò)度量、數(shù)格子等方法，探索直角三角形的三邊關(guān)系，發(fā)現(xiàn)勾股定理.2.在有理數(shù)范圍內(nèi)，能借助勾股定理計(jì)算直角三角形中未知邊的長(zhǎng)度.3.通過(guò)閱讀勾股定理的相關(guān)文本，了解勾股定理的歷史，感受古代中國(guó)在數(shù)學(xué)上的發(fā)展，增強(qiáng)文化自信.教學(xué)設(shè)計(jì)的基本環(huán)節(jié)：協(xié)作破冰問(wèn)題構(gòu)建情境啟航教師示范鞏固拓展當(dāng)堂檢測(cè)反思總結(jié)作業(yè)設(shè)計(jì)情境啟航從電線桿離地面8m處向地面拉一條鋼索，如果這條鋼索在地面的固定點(diǎn)距離電線桿底部6m，那么需要多長(zhǎng)的鋼索？數(shù)學(xué)抽象在Rt△ABC中，AC=8,BC=6，那么AB=？問(wèn)題構(gòu)建問(wèn)題1：請(qǐng)大家在紙上畫出上面的三角形，畫完后，和小伙伴進(jìn)行對(duì)比，你有什么發(fā)現(xiàn)？大家畫出來(lái)的三角形都全等.追問(wèn)1：全等的理由什么？你有怎樣的猜想?SAS,當(dāng)直角三角形有兩邊確定了以后，第三條邊也隨之確定.追問(wèn)2：確定的兩邊可以分為幾種情況，都能確定第三條邊嗎?分兩種情況.已知兩條直角邊，一條直角邊和斜邊.不妨選取已知兩條直角邊的情況開(kāi)始研究在Rt△ABC中，AC=8,BC=6，那么AB=？問(wèn)題構(gòu)建問(wèn)題2：度量你畫的△ABC中AB邊的長(zhǎng)你有什么發(fā)現(xiàn)？再換幾個(gè)直角三角形度量下試一試？直角邊直角邊斜邊關(guān)系猜想681036+64=1003459+16=255121325+144=169在Rt△ABC中，AC=8,BC=6，那么AB=？協(xié)作破冰36+64=100問(wèn)題3：觀察你所列的幾個(gè)算式？它們和原三角形的邊長(zhǎng)有什么關(guān)系？都是原三角形邊長(zhǎng)的平方追問(wèn)1：對(duì)于某一條邊的平方，你能聯(lián)想到哪些知識(shí)？正方形的面積追問(wèn)2：如果三條邊都是正方形的平方，你能畫出對(duì)應(yīng)的圖形嗎？動(dòng)手試一試.協(xié)作破冰36+64=100問(wèn)題4：觀察你所畫的正方形？哪些面積比較易于計(jì)算？哪些不容易計(jì)算？原因是什么？以AC,BC為邊長(zhǎng)的好算，以AB

為邊長(zhǎng)的不好算，因?yàn)椴恢肋呴L(zhǎng)等于多少.追問(wèn)1：如果把圖形放置到方格紙中，你能嘗試計(jì)算面積嗎？協(xié)作破冰追問(wèn)1：你怎樣計(jì)算正方形ABCD的面積？動(dòng)手試一試.

協(xié)作破冰追問(wèn)1：你怎樣計(jì)算正方形ABCD的面積？動(dòng)手試一試.

協(xié)作破冰追問(wèn)2：對(duì)比兩種不同的方法，對(duì)于方格中圖形的面積計(jì)算問(wèn)題，你有哪些思考？.1、都對(duì)圖形的形狀進(jìn)行了割補(bǔ)法的操作.問(wèn)題5：為什么要進(jìn)行割補(bǔ)？把方格中不好算的面積轉(zhuǎn)化好算的問(wèn)題6：方格中怎樣的面積是好算的？從三角形面積計(jì)算的角度觀察，底和高都是水平的或豎直的且兩個(gè)端點(diǎn)都在格點(diǎn)上協(xié)作破冰追問(wèn)2：對(duì)比兩種不同的方法，對(duì)于方格中圖形的面積計(jì)算問(wèn)題，你有哪些思考？.2、都借助了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.問(wèn)題7：方法一和方法二在面積轉(zhuǎn)化上有什么相同點(diǎn)？四個(gè)直角三角形和一個(gè)正方形兩次轉(zhuǎn)化產(chǎn)生的新正方形大小不同追問(wèn)1：方法一和方法二在面積轉(zhuǎn)化上有什么不同點(diǎn)？協(xié)作破冰問(wèn)題8：觀察你所畫的正方形，對(duì)于直角三角形的三邊之間的關(guān)系，你有怎樣的發(fā)現(xiàn)？

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.追問(wèn)1：換一些其他類似的圖形，驗(yàn)證你的結(jié)論是否仍然成立？協(xié)作破冰

發(fā)現(xiàn)：前面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論依然成立.思考：這種結(jié)論只在方格中的正方形才成立嗎？教師示范

思考：勾股定理借助圖形的面積轉(zhuǎn)化得到了三角形三邊之間的關(guān)系，這種將代數(shù)與幾何結(jié)合在一起的思想，稱之為數(shù)形結(jié)合思想，今后將得到廣泛使用.教師示范

在Rt△ABC中，AC=8,BC=6，那么AB等于多少？鞏固拓展數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史早期發(fā)現(xiàn)古巴比倫：勾股定理最早的記錄可追溯到約公元前2000年的古巴比倫文明時(shí)期.當(dāng)時(shí)巴比倫人使用了與勾股定理等價(jià)的數(shù)值關(guān)系，比如發(fā)現(xiàn)直角三角形兩條短邊為3和4時(shí)，斜邊為5，并將其應(yīng)用于土地測(cè)量和建筑工程，但沒(méi)有給出幾何證明.中國(guó)：中國(guó)是發(fā)現(xiàn)和研究勾股定理最古老的國(guó)家之一.約公元前1120年，商高答周公時(shí)提出“故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五”，記載于《周髀算經(jīng)》，這是勾股定理的一個(gè)特例，因此勾股定理在中國(guó)也被稱為商高定理.公元前7-6世紀(jì)，中國(guó)學(xué)者陳子給出了任意直角三角形三邊關(guān)系，即“以日下為勾，日高為股，勾、股各乘并開(kāi)方除之得邪至日”.鞏固拓展數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史定理證明的發(fā)展古希臘：公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派開(kāi)始研究勾股定理，創(chuàng)始人畢達(dá)哥拉斯被認(rèn)為是勾股定理的發(fā)現(xiàn)者，該學(xué)派提出了基于直角三角形的幾何證明.公元前4世紀(jì)，歐幾里得在其著作《幾何原本》中詳細(xì)討論了勾股定理，給出多個(gè)證明方法，包括基于面積、相似三角形的證明等，對(duì)勾股定理研究起到重要推動(dòng)作用.中國(guó)：三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制“勾股圓方圖”（即趙爽弦圖），用數(shù)形結(jié)合方法詳細(xì)證明了勾股定理；魏晉時(shí)期劉徽在《九章算術(shù)注》中，利用割補(bǔ)法，提出青朱出入圖證明勾股定理；清朝末期數(shù)學(xué)家華蘅芳更是提出了二十多種證明方法.其他地區(qū)：公元7世紀(jì)，印度數(shù)學(xué)家布拉馬古普塔在著作《布拉馬法典》中提出勾股定理的特殊情況——勾股數(shù)，推動(dòng)了勾股定理的應(yīng)用和推廣.公元11世紀(jì)，波斯數(shù)學(xué)家尼什布爾發(fā)現(xiàn)了更一般的勾股定理，使勾股定理的應(yīng)用范圍從直角三角形擴(kuò)展到任意三角形，推動(dòng)了三角學(xué)的發(fā)展.鞏固拓展數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史影響：數(shù)學(xué)思想層面：勾股定理是聯(lián)系數(shù)與形的第一定理，體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”思想，使人們能用代數(shù)思想解決幾何問(wèn)題.數(shù)學(xué)發(fā)展推動(dòng)：其證明方法多達(dá)數(shù)百種，是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一，推動(dòng)了人類對(duì)數(shù)學(xué)幾何更深的探索，由它還可推導(dǎo)出許多定理.此外，希帕索斯根據(jù)勾股定理發(fā)現(xiàn)了第一個(gè)無(wú)理數(shù)，導(dǎo)致第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，深刻揭示了數(shù)與量的區(qū)別，即無(wú)理數(shù)與有理數(shù)的差別.實(shí)際應(yīng)用方面：在建筑與工程、物理學(xué)以及數(shù)據(jù)分析與應(yīng)用技術(shù)等眾多領(lǐng)域均有廣泛運(yùn)用.鞏固拓展已知一個(gè)直角三角形中的兩邊長(zhǎng)為3和4，如果以另一邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)作正方形，這個(gè)正方形面積是多少？方法導(dǎo)引：本題易錯(cuò)點(diǎn)在于，只提供了直角三角形，無(wú)法確定所給邊中是否有斜邊的存在.需要借助分類談?wù)撍枷脒M(jìn)行計(jì)算.答案等于：7或25.在運(yùn)用勾股定理解決問(wèn)題時(shí)，需要特別注意：1.研究對(duì)象是直角三角形.2.使用前要確認(rèn)斜邊，保證定理使用準(zhǔn)確.3.結(jié)果的形式與題目要求有關(guān).當(dāng)堂檢測(cè)

B當(dāng)堂檢測(cè)

2.如圖，某自動(dòng)感應(yīng)門的正上方A處裝著一個(gè)感應(yīng)器，當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)器的感應(yīng)范圍內(nèi)時(shí)，感應(yīng)門就會(huì)自動(dòng)打開(kāi)．一名學(xué)生正對(duì)門，緩慢走到離門1.2米的C處時(shí)，感應(yīng)門自動(dòng)打開(kāi)．已知感應(yīng)器離地面的高度AB為2.5米，這名學(xué)生身高CD為1.6米，則人頭頂離感應(yīng)器的距離AD等于

米．解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，∵AB=2.5米，BE=CD=1.6米，ED=BC=1.2米，∴AE=AB-BE=2.5-1.6=0.9

(米），在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD=1.5（米）．故答案為：1.5米．1.5當(dāng)堂檢測(cè)

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.4，BC=1.8．(1)求AB的長(zhǎng)；(2)求AB邊上高線h的長(zhǎng)

當(dāng)堂檢測(cè)

反思：直角三角形斜邊上的高等于兩直角邊的乘積除以斜邊.數(shù)學(xué)·美育數(shù)學(xué)·美育反思總結(jié)1.本節(jié)