全國1卷數(shù)學(xué)試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.若集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB\)等于（）A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,4\}\)D.\(\varnothing\)2.已知\(i\)是虛數(shù)單位，若\(z=1+2i\)，則\(z\cdot\overline{z}\)（\(\overline{z}\)為\(z\)的共軛復(fù)數(shù)）等于（）A.\(-3\)B.\(5\)C.\(3\)D.\(-5\)3.函數(shù)\(y=\log_2(x+1)\)的定義域為（）A.\((-1,+\infty)\)B.\((0,+\infty)\)C.\((-\infty,-1)\)D.\((-1,0)\)4.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)5.直線\(y=2x+1\)的斜率為（）A.\(-2\)B.\(2\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)6.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則\(a_5\)等于（）A.\(9\)B.\(8\)C.\(7\)D.\(6\)7.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(-1,1)\)，則\(\vec{a}+\vec\)等于（）A.\((0,3)\)B.\((2,1)\)C.\((0,-1)\)D.\((2,3)\)8.若\(x\)，\(y\)滿足約束條件\(\begin{cases}x+y\geq1\\x-y\leq1\\y\leq1\end{cases}\)，則\(z=3x-y\)的最大值為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)9.已知函數(shù)\(f(x)\)是奇函數(shù)，當(dāng)\(x\gt0\)時，\(f(x)=x^2-2x\)，則\(f(-1)\)等于（）A.\(-1\)B.\(1\)C.\(3\)D.\(-3\)10.從\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)這\(5\)個數(shù)中任取\(2\)個數(shù)，則這\(2\)個數(shù)之和為偶數(shù)的概率為（）A.\(\frac{1}{5}\)B.\(\frac{2}{5}\)C.\(\frac{3}{5}\)D.\(\frac{4}{5}\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是基本初等函數(shù)（）A.冪函數(shù)B.指數(shù)函數(shù)C.對數(shù)函數(shù)D.三角函數(shù)2.下列關(guān)于直線方程的說法正確的是（）A.點斜式方程\(y-y_0=k(x-x_0)\)適用于任何直線B.斜截式方程\(y=kx+b\)不能表示垂直于\(x\)軸的直線C.兩點式方程\(\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\)不能表示平行于坐標(biāo)軸的直線D.截距式方程\(\frac{x}{a}+\frac{y}=1\)中\(zhòng)(a\)，\(b\)分別為直線在\(x\)軸，\(y\)軸上的截距3.已知\(\alpha\)，\(\beta\)是兩個不同平面，\(m\)，\(n\)是兩條不同直線，則下列說法正確的是（）A.若\(m\parallel\alpha\)，\(n\parallel\alpha\)，則\(m\paralleln\)B.若\(m\perp\alpha\)，\(m\parallel\beta\)，則\(\alpha\perp\beta\)C.若\(m\subset\alpha\)，\(n\subset\beta\)，\(\alpha\parallel\beta\)，則\(m\paralleln\)D.若\(m\perp\alpha\)，\(n\perp\beta\)，\(\alpha\perp\beta\)，則\(m\perpn\)4.關(guān)于函數(shù)\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)，下列說法正確的是（）A.最小正周期為\(\pi\)B.圖象關(guān)于直線\(x=\frac{\pi}{12}\)對稱C.圖象關(guān)于點\((\frac{\pi}{3},0)\)對稱D.在區(qū)間\((-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6})\)上單調(diào)遞增5.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2+1\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\ln|x|\)D.\(y=2^x\)6.已知\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，且\(a+b=1\)，則（）A.\(ab\leq\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{a}+\frac{1}\geq4\)C.\(a^2+b^2\geq\frac{1}{2}\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt\leq\sqrt{2}\)7.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的性質(zhì)有（）A.長軸長為\(2a\)B.短軸長為\(2b\)C.離心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(c\)為半焦距）D.焦點在\(x\)軸上8.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=n^2\)，則（）A.\(a_1=1\)B.\(a_2=3\)C.\(a_n=2n-1\)D.\(\{a_n\}\)是等差數(shù)列9.下列不等式成立的是（）A.\(x^2+1\geq2x\)B.\(x+\frac{1}{x}\geq2(x\gt0)\)C.\(a^2+b^2\geq2ab\)D.\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}(a\gt0,b\gt0)\)10.對于函數(shù)\(y=f(x)\)，以下說法正確的是（）A.若\(f(x+T)=f(x)\)（\(T\neq0\)），則\(T\)是函數(shù)\(f(x)\)的一個周期B.若\(f(a+x)=f(a-x)\)，則函數(shù)\(y=f(x)\)的圖象關(guān)于直線\(x=a\)對稱C.若\(f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)上單調(diào)遞增，則\(f^\prime(x)\gt0\)在\((a,b)\)上恒成立D.函數(shù)\(y=f(x)\)的極值點處導(dǎo)數(shù)一定為\(0\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的真子集。（）2.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)。（）3.函數(shù)\(y=x^3\)是奇函數(shù)。（）4.直線\(Ax+By+C=0\)（\(A\)，\(B\)不同時為\(0\)）的斜率為\(-\frac{A}{B}\)。（）5.兩個向量的數(shù)量積等于它們模的乘積乘以它們夾角的余弦值。（）6.若\(a\)，\(b\)，\(c\)成等比數(shù)列，則\(b^2=ac\)。（）7.函數(shù)\(y=\cosx\)的最小正周期是\(2\pi\)。（）8.拋物線\(y^2=2px(p\gt0)\)的焦點坐標(biāo)是\((\frac{p}{2},0)\)。（）9.若\(f(x)\)在\(x=x_0\)處可導(dǎo)，則\(f(x)\)在\(x=x_0\)處連續(xù)。（）10.三角形的內(nèi)角和為\(180^{\circ}\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^2-4x+3\)的對稱軸和頂點坐標(biāo)。-答案：對于二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)，對稱軸公式為\(x=-\frac{2a}\)，此函數(shù)\(a=1\)，\(b=-4\)，則對稱軸\(x=2\)。把\(x=2\)代入函數(shù)得\(y=4-8+3=-1\)，頂點坐標(biāo)為\((2,-1)\)。2.已知\(\tan\alpha=2\)，求\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\)的值。-答案：將\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\)分子分母同時除以\(\cos\alpha\)得\(\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}\)，把\(\tan\alpha=2\)代入，得\(\frac{2+1}{2-1}=3\)。3.求過點\((1,2)\)且與直線\(2x-y+1=0\)平行的直線方程。-答案：已知直線斜率\(k=2\)，所求直線與之平行斜率也為\(2\)，由點斜式\(y-y_0=k(x-x_0)\)，\((x_0,y_0)=(1,2)\)，可得直線方程為\(y-2=2(x-1)\)，即\(2x-y=0\)。4.求等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和公式\(S_n\)（已知首項\(a_1\)，公差\(d\)）。-答案：\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)。推導(dǎo)：\(S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\cdots+[a_1+(n-1)d]\)，倒序相加可得此公式。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上的單調(diào)性。-答案：設(shè)\(0\ltx_1\ltx_2\)，則\(f(x_1)-f(x_2)=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}\)。因為\(0\ltx_1\ltx_2\)，所以\(x_2-x_1\gt0\)，\(x_1x_2\gt0\)，即\(f(x_1)-f(x_2)\gt0\)，\(f(x_1)\gtf(x_2)\)，所以\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞減。2.討論直線與圓的位置關(guān)系有哪些判定方法。-答案：一是幾何法，通過圓心到直線的距離\(d\)與圓半徑\(r\)比較，\(d\gtr\)時相離，\(d=r\)時相切，\(d\ltr\)時相交；二是代數(shù)法，聯(lián)立直線與圓的方程得方程組，消元后得一元二次方程，根據(jù)判別式\(\Delta\)判斷，\(\Delta\gt0\)相交，\(\Delta=0\)相切，\(\Delta\lt0\)相離。3.討論如何根據(jù)函數(shù)圖象判斷函數(shù)的奇偶性。-答案：若函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，則函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)圖象關(guān)于\(y\)軸對稱，則函數(shù)為偶函數(shù)。例如\(y=x^3\)圖象關(guān)于原點對稱是奇函數(shù)，\(y=x^2\)圖象關(guān)于\(y\)軸對稱是偶函數(shù)。4.討論在實際生活中，哪些問題可以用等差數(shù)列或等比數(shù)列來解決。-答案：等差數(shù)列如按一定規(guī)律依次增加或減少的問題，像每月固定漲幅的工資增長；等比數(shù)