專題2.4（1）有理數(shù)的乘方（知識梳理與題型分類講解）第一部分【知識儲備梳理歸納與題型目錄】一、【目標(biāo)要點(diǎn)】（1）識記有理數(shù)乘方的定義及相關(guān)概念；（2）掌握有理數(shù)乘方的符號規(guī)律；（3）掌握科學(xué)記數(shù)法；（4）難點(diǎn)與易錯點(diǎn)：底數(shù)是負(fù)數(shù)和分?jǐn)?shù)，底數(shù)要加括號；對于有理數(shù)乘方的逆運(yùn)算，不能靈活運(yùn)用.二、【知識儲備與題型展示】【知識儲備1】有理數(shù)的乘方定義：求n個相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪（power）．【題型一】有理數(shù)冪的概念理解（題型：底數(shù)、指數(shù)、冪的識識；冪的書寫規(guī)則）【例題1】（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）（2）在中，底數(shù)是，指數(shù)是，意義是．【答案】3525的平方的相反數(shù)【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方，熟練掌握乘方的意義是解本題的關(guān)鍵．在中，a是底數(shù)，n是指數(shù)．利用乘方的意義即可得到結(jié)果．（2）在中，底數(shù)是，指數(shù)是2，意義是5的平方的相反數(shù)；故答案為：，3；，2，5的平方的相反數(shù)．A．底數(shù)相同，運(yùn)算結(jié)果相同 B．底數(shù)相同，運(yùn)算結(jié)果不同C．底數(shù)不同，運(yùn)算結(jié)果相同 D．底數(shù)不同，運(yùn)算結(jié)果不同【答案】C【分析】本題主要考查了冪的認(rèn)識和運(yùn)算，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵．根據(jù)冪的性質(zhì)判斷即可．故選：C．A．與4的積 B．4個的積 C．4個的和 D．3個的積【答案】B【分析】根據(jù)有理數(shù)冪的概念理解逐項(xiàng)判斷即可．解：根據(jù)有理數(shù)冪的概念可得，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了有理數(shù)冪的概念理解，解決此題的關(guān)鍵是熟悉有理數(shù)冪的概念．【題型二】有理數(shù)的乘方運(yùn)算（易錯點(diǎn)：乘方中的符號問題與乘方意義的理解）【分析】本題主要考查了有理數(shù)乘方運(yùn)算，相反數(shù)定義，用數(shù)軸上的點(diǎn)表示相反數(shù)，先求出各個數(shù)，然后寫出相反數(shù)，再把各個數(shù)表示在數(shù)軸上即可．把各個數(shù)表示在數(shù)軸上，如圖所示：A． B．6 C． D．9【答案】D【分析】本題主要考查的是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，先依據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得a、b的值，然后再代入求解即可．故選：D．【答案】3【分析】本題主要考查了正負(fù)的定義，有理數(shù)的乘方運(yùn)算，化簡絕對值等知識，先計(jì)算有理數(shù)的乘方運(yùn)算，化簡絕對值，然后再根據(jù)正負(fù)數(shù)的定義判定即可．故答案為：3．【題型三】有理數(shù)乘方逆運(yùn)算（易錯點(diǎn)：忽視分類討論）【答案】D故選：D．【答案】D【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方，乘方的逆運(yùn)算，等式的性質(zhì)等知識儲備，根據(jù)有理數(shù)乘方的運(yùn)算法則即可得解，熟練掌握有理數(shù)的乘方的意義是解題關(guān)鍵．故選：D．【答案】4【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方的定義及法則．熟練掌握有理數(shù)的乘方的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)有理數(shù)乘方的定義，已知等式中的相當(dāng)于的5次方，由此可以求出x的值為．已知等式中的8相當(dāng)于2的3次方，由此可以求出y的值為2．進(jìn)而可求出的值．故答案為：4．【知識儲備2】有理數(shù)乘方運(yùn)算的符號法則（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；（2）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；（3）0的任何正整數(shù)次冪都是0；（4）任何一個數(shù)的偶次冪都是非負(fù)數(shù)，即a【題型四】乘方運(yùn)算的符號規(guī)律（符號規(guī)律問題+探究循環(huán)規(guī)律問題）【答案】奇數(shù)0【分析】的奇次方為，的偶次方為；再分類討論即可得到答案．當(dāng)整數(shù)為奇數(shù)時，則為偶數(shù)，當(dāng)整數(shù)為偶數(shù)時，則為奇數(shù)，故答案為：奇數(shù)，0【點(diǎn)撥】本題考查的是負(fù)1的奇次方與偶次方，熟記乘方的含義與乘方的符號確定方法是解本題的關(guān)鍵．A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】A【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，偶次冪是正數(shù)即可解答．是負(fù)數(shù)，故①正確；綜上所述，①②③正確．故選：A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了有理數(shù)乘方的符號規(guī)律，掌握有理數(shù)乘方的符號規(guī)律：一個負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，一個負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)．（3）猜想與的關(guān)系．【答案】（1）；（2）0；（3）互為相反數(shù)【分析】（1）根據(jù)已知算式即可求解；（2）觀察已知算式發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可求值；（3）分兩種情況討論，當(dāng)為奇數(shù)和偶數(shù)時，為偶數(shù)和奇數(shù)，進(jìn)而可以說明．，；（3）與的關(guān)系：互為相反數(shù)的關(guān)系．理由如下：當(dāng)為奇數(shù)時，為偶數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時，為奇數(shù)，所以與的關(guān)系：互為相反數(shù)的關(guān)系．【點(diǎn)撥】本題考查了規(guī)律型數(shù)字的變化類，解決本題的關(guān)鍵是觀察已知條件尋找規(guī)律并運(yùn)用規(guī)律．【題型五】乘方的應(yīng)用（探究我國古代數(shù)學(xué)問題）【例題5】（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）《孫子算經(jīng)》中載有“今有出門望見九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢…”大意為：今天出門看見9座堤壩，每座堤壩上有9棵樹，每棵樹上有9根樹枝，每根樹枝上有9個鳥巢，…，文中的鳥巢共有（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方．由題意得出算式，求解即可．答：文中的鳥巢共有個．故選：C．【變式1】（2425七年級上·四川綿陽·階段練習(xí)）《莊子》中記載：“一尺之捶，日取其半，萬世不竭?！边@句話的意思是一尺長的木棍，每天截取它的一半，永遠(yuǎn)也截不完．若按此方式截一根長為1的木棍，第10天截取后木棍剩余的長度是（

）【答案】C【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘方，先分別求出第一、二、三天截取后木棍剩余的長度，從而找出規(guī)律，按照此規(guī)律進(jìn)行解答即可．…，n天截取后木棍剩余長度為：，∴第10天截取后木棍剩余長度為：，故選：C．卦名乾巽離艮兌坎震坤符號對應(yīng)二進(jìn)制數(shù)表中“坎”用十進(jìn)制表示的數(shù)是．【答案】2【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)的方法是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)的方法，可以將表中“坎”用十進(jìn)制數(shù)表示．故答案為：2．【題型六】用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)【例題6】（2425七年級上·吉林長春·期中）釣魚島是中國的固有領(lǐng)土，位于中國東海，面積約平方米，數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）【答案】C故選C．【答案】D故選：．【題型七】將用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)變回原數(shù)【答案】792根據(jù)科學(xué)記數(shù)法表示形式解答即可．故答案為：792．【答案】【分析】此題考查了科學(xué)記數(shù)法，關(guān)鍵是理解運(yùn)用科學(xué)記數(shù)法．∴原數(shù)的后面有個，故答案為：A．7位 B．6位 C．3位 D．1位【答案】B故選：B．【考點(diǎn)三】直通中考與拓展延伸【題型八】直通中考【例題1】（2024·江蘇南京·中考真題）下列四個數(shù)中，是負(fù)數(shù)的是（

）【答案】A【分析】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，掌握在正數(shù)前面加負(fù)號叫做負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．先利用絕對值，相反數(shù)的定義及有理數(shù)乘方的運(yùn)算法則，計(jì)算各數(shù)，再根據(jù)正負(fù)數(shù)的定義判斷即可．解：A.是負(fù)數(shù)，故選項(xiàng)A符合題意；故選：A．【題型九】拓展延伸（有理數(shù)加減運(yùn)算中的新定義、規(guī)律問題、絕對值幾何意義）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【答案】C【分析