小學(xué)六年級奧數(shù)教案一06工程問題二

本教程共30講

工程問題（二）

上一講我們講述H勺是已知工作效率的較簡樸的工程問題。在較復(fù)雜的

工程問題中，工作效率往往隱臧在題目條件里，這時，只要我們靈活運用

基本H勺分析措施，問題也不難處理。

例1一項工程，假如甲先做5天，那么乙接著做20天可完畢；暇如

甲先做20天，那么乙接著做8天可完畢。假如甲、乙合做，那么多少天

可以完畢？

分析與解：本題沒有直接給出工作效率，為了求出甲、乙的工作效率，我

們先畫出示意圖：

甲5天乙20天

乙一天"~'

I——I--------------1——I

乙20天乙8天

從上圖可直觀地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即

甲5天的工作量等于乙4天的工作量。于是可用“乙工作4天”等量替代

題中“甲工作5天”這一條件，通過此替弋可知乙單獨做這一工程需用

20+4=24（天）

完成，即乙的工作效率為上。又因為乙工作4天的工作量和甲工作5天的工作

24

量相等，所以甲的工作效率是乙的?為

D乙rnV

甲、乙合做這一工程，需用的時間為

L弓*）=4（天）

例2一項工程，甲、乙兩隊合作需6天完畢，目前乙隊先做7天，

然后

甲隊做4天，共完成這項工程的如果把其余的工程交給乙隊單獨做，那

么還要幾天才能完畢？

分析與解：題中沒有告訴甲、乙兩隊單獨的工作效率，只懂得他們合

作

的工作效率是上但甲、乙兩隊一天也沒有合作過。為了解決這個問題，我

6

們把“乙先做7天，甲再做4天”的過程轉(zhuǎn)化為“甲、乙合做4天，乙再

做3天”，這樣，就可以把合作的工作效率2用上了。

單獨6

甲、乙兩隊合作4天完成的工程量是31X4=9J,乙再做3天就可完成工

t5

程量的由此求出乙的工作效率為

得管+（7-4）4

剩下的工程乙隊還需干a書q=2（天）。

例3單獨完畢一件工作，甲按規(guī)定期間可提前2天完畢，乙則要超

過規(guī)定期間3天才能完畢。假如甲、乙二人合做2天后，剩余的繼續(xù)由乙

單獨做，那么剛好在規(guī)定期間完畢。問：甲、乙二人合做需多少天完畢？

分析與解：乙單獨做要超過3天，甲、乙合做2天后乙繼續(xù)做，剛好

準時完畢，闡明甲做2天等于乙做3天，即完畢這件工作，乙需要的時間

之件

是甲的50°

因為單獨做，乙比甲多用3+2=5（天），所以甲需要5+6?1）=（天）

,乙需要10+5=15（大）。甲、乙合作需要

L舄+志=6（天）。

例4放滿一種水池口勺水，若同步打開1,2,3號閥門，則20分鐘可

以完畢；若同步打開2,3,4號閥門，則21分鐘可以完畢；若同步打開

1,3,4號閥門，則28分鐘可以完畢；若同步打開1,2,4號閥門，則

30分鐘可以完些。問：假如同步打開1,2,3,4號閥門，那么多少分鐘

可以完畢？

分析與解：同步打開1,2,3號閥門1分鐘，再同步打開2,3,4

號閥門1分鐘，再同步打開1,3,4號閥門1分鐘，再同步打開1,2,4

號閥門1分鐘，這時，1,2,3,4號閥門各打開了3分鐘，放水量等于

池水的3+1+4+±。所以同時打開1，2,3,4號閥門，放滿一池水需

1+［（—+—+—4-—）-31

“20212830，」

=1+&+3）=1+《=18（分）。

Olo

例5某工程由一、二、三小隊合干，需要8天完畢；由二、三、四

小隊合干，需要10天完畢；由一、四小隊合干，需15天完畢。假如按一、

二、三、四、一、二、三、四、……日勺次序，每個小隊干一天地輪番干，

那么工程由哪個隊最終完畢？

分析與解：與例4類似，可求出一、二、三、四小隊的工作效率之和

是

4+±+之）+2=5，四個小隊各干了6天即24天后，還剩下工程量的

o1U1J4o

71

l.-X6=-o又因為一、二、三小隊合二需8天，即一、二、三小隊各干

488

1天完成工程量的上所以工程由三小隊最后完成。

O

例6甲、乙、丙三人做一件工作，原計劃按甲、乙、丙的次序每人

一天輪番去做，恰好成天做完，并且結(jié)束工作日勺是乙。若按乙、丙、甲的

次序輪番

去做，則比計劃多用（天；若按丙、甲、乙的順序輪流去做，則比原計劃多

用;天。己知甲單獨做完這件工作需要9天，那么甲、乙、丙三人一起做這

件工作，要用多少天才能完畢？

分析與解：把甲、乙、丙三人每人做一天稱為一輪。在一輪中，無論

誰先誰后，完畢H勺總工作量都相似。因此三種次序前面若干輪完畢的工作

量及用向天數(shù)都相似（見下圖虛線左邊），相差的就是最終一輪（見下圖

虛線右邊）。

甲乙丙……丙：甲乙

乙丙甲……甲:乙丙;甲

丙甲乙……乙j丙甲:乙

由最終一輪完畢口勺工作量相似，得到

甲+乙=乙+丙+］甲，①

乙

乙+丙+］甲=丙+甲+:乙。②

乙??

13

由①式得到：丙=9甲；由②式得到：乙=?甲。甲、乙、丙三人合

做一天等于甲做1+J+J=J（天），推知三人合做需用

4I

練習(xí)6

1.甲、乙二人同步開始加工一批零件，每人加工零件總數(shù)的二分之一。

甲完畢

任務(wù)的:1時乙加工了45個零件，甲完成g9時乙完成了一半。問：這批零件共

有多少個?

2.一件工程，甲、乙合做6天能完成單獨做，甲完成;與乙完成（所

o32

需的時間相等。問：甲、乙單獨做各需多少天？

3.加工一批零件，干師傅先做6時李師傅再做12時可完畢，干師傅

先做8時李師傅再做9時也可完畢。目前王師傅先做2時，，剩余日勺兩人合

做，還需要多少小時？

4.甲、乙、丙三人合修一圍墻，甲、乙合修5天修好圍墻的，乙、丙合

修2天修好余下的;，剩下的甲、丙又合修了5天才完成。問：甲、乙、丙單

獨修各需幾天？

5.蓄水池有甲、乙、丙三個進水管，甲、乙、丙管單獨灌滿一池水依

次需要10,12,15時°上午8點三個管同步打開，中間甲管因故關(guān)閉，

成果到下午2點水池被灌滿。問：甲管在何時被關(guān)閉？

6.單獨完畢某項工作，甲需9時，乙需12時。假如按照甲、乙、甲、

乙、……歐J次序輪番工作，每次1時，那么完畢這項工作需要多長時間？

7.一項工程，乙單獨下要17天完畢。假如第一天甲丁，第二天乙丁，

這樣交替輪番干，那么恰好用成天數(shù)完畢；假如第一天乙干，第二天甲干，

這樣交替輪番干，那么比上次輪番的做法多用半天竣工。問：甲單獨干需

要幾天？

答案與提醒練習(xí)6

1.360個。

911

解：由“甲完成孑時乙完成了一半”知，甲完成g時乙完成了"，所以

共有零件（45+；）X2=360（個）。

2.甲18天，乙12天。

提示：甲、乙合干完需6+2=等（天），所以甲、乙的工作效率之和是

0J

〉5又甲的工作效率是乙的9《，所以乙的工作效率是54+（1+2與=白1甲的工

Jo35b512

作效率是1*oL1。

3.7.2時。

解：由下頁圖知，王T2時等于李T3時，因此單獨丁李需123+2

X3=21（時），王需21-3X2=14（時）。所求為

（1.92）+弓+盤）=7.2（時）o

_王人6__李-12_

f7、

李3

19-----------------1

王2

'--v---'、----------v-----------）

王8李9

4.甲24天，乙40天，丙173天。

解：甲、乙的工作效率之和是:+5=乙、丙的工作效率之和是；

（1-3'＜+2=\；甲、丙的工作效率之和是

n11乙

[1---C1--）X—15=--o

L3'3，4」10

甲、乙、丙的工作效率之和是+2=除甲、乙丙的工作效率依次是

1j1210o

1111

----1_111_7

88W=40F8-15=120

12J24

所以甲、乙、丙分別需要24,40,173天。