專題01絕對值中的八類最值模型最值問題一直都是初中數(shù)學(xué)的最難點之一，但也是高分的必須突破點，而絕對值中的最值模型是初中學(xué)生第一次接觸最值類問題，該類最值模型主要依據(jù)絕對值的幾何意義或代數(shù)意義，考查分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。需要牢記絕對值中的最值情況規(guī)律，解題時能達(dá)到事半功倍的效果。本專題就絕對值中的八類最值模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便大家掌握。TOC\o"14"\h\z\u 1模型來源 2真題現(xiàn)模型 2提煉模型 3模型拓展 4模型運用 4模型4.系數(shù)不為“1”的絕對值（和、差類）最值模型 12模型6.絕對值最值模型的實際應(yīng)用 15模型7.絕對值相關(guān)運算與最值問題 19模型8.絕對值最值中的新定義問題 20 24絕對值最值問題的歷史發(fā)展脈絡(luò)源于幾何直觀與代數(shù)研究的結(jié)合，其核心理論隨數(shù)學(xué)分析的發(fā)展逐步完善。絕對值的概念源于物理學(xué)中的距離概念，表示一個數(shù)到原點的距離。在數(shù)學(xué)中，絕對值用于表示一個數(shù)到數(shù)軸原點的距離，因此絕對值總是非負(fù)的。這一性質(zhì)使得絕對值在數(shù)學(xué)分析中有著廣泛的應(yīng)用，特別是在處理不等式和最值問題時顯得尤為重要。在解決含絕對值的代數(shù)式最值問題時，可以利用絕對值的幾何意義或零點分段法，整體來說絕對值的幾何意義較為簡單適用。我們先看表示的點可能的3種情況，如圖所示：如圖①，在1的左邊，從圖中很明顯可以看出到1和2的距離之和大于1．如圖②，在1，2之間（包括在1，2上），可以看出到1和2的距離之和等于1．【答案】(1)a在數(shù)軸上對應(yīng)的點到4和7兩個點的距離之和；3；(2)2；2；(3)6；(4)。故答案為：a在數(shù)軸上對應(yīng)的點到3和6兩個點的距離之和；3（4）當(dāng)a取中間數(shù)1013時，絕對值最小，【答案】或②絕對值的幾何意義：表示數(shù)軸上的有理數(shù)a所對應(yīng)的點到原點的距離；另解：也可用絕對值的代數(shù)意義（即分類討論思想）完成絕對值的最值問題。規(guī)律可總結(jié)為：“奇中點，偶中段”。5.系數(shù)不為“1”的絕對值（和、差類）最值模型①絕對值系數(shù)不為“1”：如：｜x1｜+2｜x2｜+3｜x3｜+4｜x4｜+5｜x5｜解題步驟：第1步：將x平鋪展開；第2步：找到每個式子的零點，分別為：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15個零點；第3步：根據(jù)“奇中點，偶中段”，在第八個數(shù)時，即x=4時，有最小值，帶入x=4，最小值為15。②x系數(shù)不為“1”：如：求｜2x4｜+｜5x+5｜的最小值。解題步驟：第1步：x的系數(shù)不為1，所以首先?第一步?想辦法把x的系數(shù)化為1，采用提取公因數(shù)的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x4｜+｜5x+5｜=｜2（x2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x2｜+5｜x+1｜。第2步：進(jìn)入①中的三個步驟即可。這時，x的系數(shù)已經(jīng)變成了1，我們就可以展開?，然后?利用“奇中點?，偶中段”來求了?。解?得?當(dāng)x=1時?取得?最小值，最小值?為?6。另解：上述兩類問題也可以采用絕對值的代數(shù)意義（根據(jù)零點分區(qū)討論）求解。【答案】75A．①② B．①②④ C．①④ D．①②③④【答案】CA．或5 B．或9 C．或9 D．5或9【答案】C【答案】或/8或例1（2425七年級上·江蘇宿遷·期中）數(shù)和形是數(shù)學(xué)的兩個主要研究對象，我們經(jīng)常運用數(shù)形結(jié)合、數(shù)形轉(zhuǎn)化的方法解決一些數(shù)學(xué)問題．下面我們來探究“由數(shù)思形，以形助數(shù)”的方法在解決代數(shù)問題中的應(yīng)用．在學(xué)習(xí)絕對值時，我們知道：正數(shù)的絕對值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0．請根據(jù)所學(xué)內(nèi)容并結(jié)合數(shù)軸解答下列問題：(3)改變數(shù)x在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置，結(jié)合數(shù)軸回答下列問題：【答案】25法2：解：當(dāng)x≥2時，|x2||x+3|=x2x3=5；當(dāng)3＜x＜2時，|x2||x+3|=（x2）（x+3）=2x1；當(dāng)x≤3時，|x2||x+3|=（x2）+（x+3）=5．例3（2024·廣西·七年級專題練習(xí)）我們知道，的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離，一般地，點A，B在數(shù)軸上分別表示數(shù)a，b，那么A，B之間的距離可表示為|ab|，請根據(jù)絕對值的幾何意義并結(jié)合數(shù)軸解答下列問題：（1）數(shù)軸上的數(shù)x與1所對應(yīng)的點的距離為____，數(shù)x與1所對應(yīng)的點的距離為____；【答案】（1）|x1|，|x+1|；（2）2；（3）20例1（2324七年級上·安徽合肥·階段練習(xí)）認(rèn)真閱讀下面的材料，完成有關(guān)問題．(1)點，，在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)，，，那么到的距離與到的距離之和可表示為______（用含絕對值的式子表示）；（2）①到數(shù)軸上兩個點距離之和最小的點取在這兩點之間，最小距離即是這兩個點的距離，②到數(shù)軸上三個點距離之和最小的點即是中間那個點，最小值是左右兩邊二點之間的距離，綜上，a的值為6或；(1)數(shù)軸上表示數(shù)的點和表示數(shù)3的點之間的距離是_______；(3)數(shù)軸上點A用數(shù)a表示，探究以下幾個問題：例4（2324七年級上·湖北黃石·階段練習(xí)）在數(shù)學(xué)問題中，我們常用幾何方法解決代數(shù)問題，借助數(shù)形結(jié)合的方法使復(fù)雜問題簡單化．∴其絕對值的幾何意義為：在數(shù)軸上x表示的點到的距離等于5．當(dāng)n是偶數(shù)時，中間的兩個點相同為，模型4.系數(shù)不為“1”的絕對值（和、差類）最值模型【答案】(1)，故答案為：，；A．0 B．5 C．2 D．3【答案】B【答案】1【答案】81模型6.絕對值最值模型的實際應(yīng)用(1)線段的長度是；(2)x表示任意一個有理數(shù)，利用數(shù)軸回答下列問題：【答案】(1)5(2)或3；5；5(3)便民服務(wù)點建在之間（包括點和點，能使到四個村莊、、、總路程最短，最短距離是14．理由見解析（3）便民服務(wù)點建在之間（包括點和點，能使到四個村莊、、、總路程最短，最短距離是14千米，理由如下：記點表示的有理數(shù)為0，則、、、表示的有理數(shù)分別為，，，，設(shè)便民服務(wù)點在數(shù)軸上表示的點處，答：便民服務(wù)點建在之間（包括點和點，能使到四個村莊、、、總路程最短，最短距離是14．例2（2425七年級上·江蘇南通·階段練習(xí)）閱讀下列材料并解決問題：應(yīng)用：某環(huán)形道路上順次排列有四家快遞公司：A、B、C、D，它們順次有快遞車16輛，8輛，4輛，12輛，為使各快遞公司的車輛數(shù)相同，允許一些快遞公司向相鄰公司調(diào)出，問共有多少種調(diào)配方案，使調(diào)動的車輛數(shù)最少？并求出調(diào)出的最少車輛數(shù)．（2）∵線段上的點到線段的兩端點的距離最小，共有5種調(diào)配方案，如下圖所示：∴調(diào)出的最小車輛數(shù)為：輛．例3（2425七年級上·江蘇連云港·階段練習(xí)）【定義新知】【答案】（1）數(shù)軸上表示有理數(shù)x的點與表示有理數(shù)的點之間的距離，或0；（2），，，0，1，2；（3），8；（4）實驗室P建在點B處才能使總運輸和包裝成本最低，最低成本是12元．所以x可以取整數(shù)，，，0，1，2；故答案為，，，0，1，2；最小值為到2的距離為8；故答案為：，8；（4）解：設(shè)市民廣場O原點，建立數(shù)軸，實驗室P所對應(yīng)的數(shù)為x，A、B、C在數(shù)軸上分別表示，，1，3，∵A小區(qū)有居民1000人，B居民區(qū)有居民2000人，C居民區(qū)有居民3000人．核酸樣本的運輸和包裝成本為每千米1元/千份，∴此時最低成本12元，實驗室P建在點B，才能使總運輸和包裝成本最低，最低成本是12元．模型7.絕對值相關(guān)運算與最值問題【答案】8（1）已知數(shù)軸上有A、B兩點，分別表示的數(shù)為，8，那么A、B兩點的距離為；【答案】（1）18；（2）5；（3）5或；（4）、0、1、2；、、、0、1；3∴m的值為：、0、1、2；，n的值為：、、、0、1，∴的最大值為：3，故答案為：、0、1、2；、、、0、1；3．模型8.絕對值最值中的新定義問題A．1 B．3 C．5 D．7【答案】C綜上，全部輸入完畢后顯示的結(jié)果的最大值是5．故選：C．(1)和3關(guān)于1的“相對關(guān)系值”為________；(2)若和2關(guān)于1的“相對關(guān)系值”為，求的值；(3)若和關(guān)于1的“相對關(guān)系值”為1，和關(guān)于2的“相對關(guān)系值”為1，和關(guān)于3的“相對關(guān)系值”為1，…，和關(guān)于的“相對關(guān)系值”為1．∴和3關(guān)于1的“相對關(guān)系值”為，故答案為：

【答案】(1)1(2)或(3)7或或或【詳解】（1）解：設(shè)點C表示的數(shù)是，∴點C表示的數(shù)是1，故答案為：1．綜上所述m的值為7或或或．A．2023 B．4046 C．20 D．0【答案】AA．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值3 D．有最大值3【答案】D3．（2425七年級上·河南鄭州·階段練習(xí)）若、有理數(shù)，下列判斷：A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B故選BA．1 B．2 C．3 D．4【答案】BA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B綜上，正確結(jié)論的個數(shù)是2個，故選：B．【答案】3故答案為：3．【答案】①②④綜上所述：正確的結(jié)論有①②④，故答案為：①②④．【答案】【答案】或故答案為：或，．12．（2425七年級上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：【答案】(1)3；(2)或；(3)14；(4)；(5)2，7．∴數(shù)軸上表示和1兩點之間的距離是3；故答案：；13．（2324七年級上·江蘇連云港·階段練習(xí)）在學(xué)習(xí)了數(shù)軸后，小亮決定對數(shù)軸進(jìn)行變化應(yīng)用：利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示和6的兩點之間的距離表示為__________；數(shù)軸上表示和的兩點之間的距離表示為__________．(4)規(guī)律應(yīng)用工廠加工車間工作流水線上依次間隔2米排著9個工作臺A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件相應(yīng)該放在工作__________處，能使工作臺上的工作人員取配件所走的路程最短，最短路程是__________米．（4）以E點為原點，2米為一個單位長度，A、B、C、D、E、F、G、H、I依次在數(shù)軸上排列，則A點表示的數(shù)為，B點表示的數(shù)為，C點表示的數(shù)為，D點表示的數(shù)為，F(xiàn)點表示的數(shù)為2，G點表示的數(shù)為4，H點表示的數(shù)為6，I點表示數(shù)為8，設(shè)配件箱應(yīng)該放在數(shù)軸上表示x的數(shù)的位置，∴配件箱應(yīng)該放在工作臺E處，最短路程為40米，故答案為：E，40；14．（2324七年級上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）數(shù)學(xué)實驗室：(1)數(shù)軸上表示2和6的兩點之間的距離是____，數(shù)軸上表示1和的兩點之間的距離是_____；(2)若表示數(shù)和的兩點之間的距離是5，那么________；∴x的取值范圍是________；y的取值范圍是________．由（3）可知：當(dāng)x在最大數(shù)右邊（或最大數(shù)上）時有最大值；(1)數(shù)軸上表示4和1的兩點之間的距離為______；17．（2425七年級上·四川成都·階段練習(xí)）小紅和小明在研究絕對值的問題時，碰到了下面的問題：請你根據(jù)他們的解題解決下面的問題：

(1)數(shù)軸上表示與的兩點之間的距離可以表示為．為到之間的整數(shù)，這樣的整數(shù)有、、、，故答案為、、、；(1)請直接寫出a，b的值：，；(3)如果在數(shù)軸連續(xù)的整數(shù)點上依次有n個機器人，且相鄰兩個機器人之間的距離都是1個單位，同時數(shù)軸上有一個快遞包裹分發(fā)點智能機器人，它能根據(jù)機器人的數(shù)量自動決策出快遞包裹分發(fā)點的位置，使得每個機器人去取快遞包裹的距離之和最小，請直接用含n的代數(shù)式表示這個最小值．問題探究：參考閱讀材料，解答下列問題．(1)數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是______；故點P選在