專題12圓內(nèi)接四邊形與正多邊形（5知識點(diǎn)+7大題型+4大拓展訓(xùn)練+過關(guān)測）內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強(qiáng)知識：5大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練+4大拓展訓(xùn)練第二步：記串知識識框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識點(diǎn)1：圓內(nèi)接四邊形如果一個四邊形的各個頂點(diǎn)在同一個圓上，那么這個四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形，這個圓叫做四邊形的外接圓.【即時訓(xùn)練】1．（2425九年級上·浙江衢州·期末）現(xiàn)有一些相同的小卡片，每張卡片上各寫了一個數(shù)學(xué)命題，其中正確的是（

）A．平分弦的直徑垂直于弦 B．相等的圓心角所對的弧相等C．長度相等的兩條弧是等弧 D．圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)知識點(diǎn)2：圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ).圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對角）.要點(diǎn)：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時，要注意與圓周角定理結(jié)合起來．在應(yīng)用時要注意是對角，而不是鄰角互補(bǔ)．【即時訓(xùn)練】知識點(diǎn)3：正多邊形的相關(guān)概念各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形．要點(diǎn)：判斷一個多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個條件：(1)各邊相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形(正方形是正多邊形).1.正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形正多邊形和圓的關(guān)系十分密切，只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以作出這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓．2.正多邊形的有關(guān)要素(1)一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心．(2)正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．(3)正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．(4)正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．3.正多邊形的有關(guān)計算(1)正ｎ邊形每一個內(nèi)角的度數(shù)是；(2)正ｎ邊形每個中心角的度數(shù)是；(3)正ｎ邊形每個外角的度數(shù)是.要點(diǎn)：要熟悉正多邊形的基本概念和基本圖形，將待解決的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形.【即時訓(xùn)練】7．（2425九年級上·浙江紹興·期末）已知正多邊形的中心角是30度，則這個正多邊形的邊數(shù)是（

）A．12 B．10 C．8 D．68．（2324九年級上·浙江麗州·階段練習(xí)）正n邊形的中心角是30°，（

）A．6 B．8 C．10 D．129．（2324九年級上·浙江臺州·階段練習(xí)）若一個圓內(nèi)接正多邊形的中心角是，則這個正多邊形的邊數(shù)是（

）A．10 B．9 C．8 D．6知識點(diǎn)4：正多邊形的性質(zhì)1.正多邊形都只有一個外接圓，圓有無數(shù)個內(nèi)接正多邊形.2.正ｎ邊形的半徑和邊心距把正ｎ邊形分成2ｎ個全等的直角三角形.3.正多邊形都是軸對稱圖形，對稱軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同，每條對稱軸都通過正n邊形的中心；當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時，它也是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.4.邊數(shù)相同的正多邊形相似。它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．5.任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓要點(diǎn)：（1）各邊相等的圓的內(nèi)接多邊形是圓的內(nèi)接正多邊形；（2）各角相等的圓的外切多邊形是圓的外切正多邊形.【即時訓(xùn)練】10．（2324九年級下·浙江扇形·期中）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于，若的周長是，則正六邊形的邊長是（）

A． B．3 C．6 D．12．（2025·浙江杭州·三模）“3世紀(jì)中期，魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)，所謂“割圓術(shù)”，是用圓內(nèi)接正多邊形的面積去無限逼近圓面積并以此求取圓周率的方法”，請計算出半徑為2的圓與其內(nèi)接正十二邊形的面積差為．知識點(diǎn)5：正多邊形的畫法1.用量角器等分圓由于在同圓中相等的圓心角所對的弧也相等，因此作相等的圓心角(即等分頂點(diǎn)在圓心的周角)可以等分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對的弦相等，依次連接各分點(diǎn)就可畫出相應(yīng)的正n邊形.2.用尺規(guī)等分圓對于一些特殊的正ｎ邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.①正四、八邊形.在⊙O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形.再逐次平分各邊所對的弧(即作∠AOB的平分線交于E)就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形.②正六、三、十二邊形的作法.通過簡單計算可知，正六邊形的邊長與其半徑相等，所以，在⊙O中，任畫一條直徑AB，分別以A、B為圓心，以⊙O的半徑為半徑畫弧與⊙O相交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分點(diǎn).顯然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分點(diǎn).同樣，在圖(3)中平分每條邊所對的弧，就可把⊙O12等分…….要點(diǎn)：畫正n邊形的方法：（1）將一個圓n等份，（2）順次連結(jié)各等分點(diǎn).【即時訓(xùn)練】14．（2324九年級上·浙江杭州·期末）作圖題：(1)尺規(guī)作圖：如圖，已知線段．求作線段的垂直平分線l，交于點(diǎn)C；（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）15．（2024·浙江舟山·模擬預(yù)測）如圖，已知AC為的直徑．請用尺規(guī)作圖法，作出的內(nèi)接正方形ABCD．（保留作圖痕跡．不寫作法）【題型1已知圓內(nèi)接四邊形求角度】A． B． C． D．A． B． C． D．【題型2求四邊形外接圓的直徑】A．4 B．5 C．6 D．2(1)求m的取值范圍；【題型3“弦外角”的相關(guān)計算】【題型4求正多邊形的中心角】A． B． C． D．17．我國古代園林連廊常采用八角形的窗戶設(shè)計，如圖所示，其輪廓是一個正八邊形，從窗戶向外觀看，景色宛如鑲嵌于一個畫框之中．若將八角形窗戶進(jìn)行旋轉(zhuǎn)后能與自身重合，旋轉(zhuǎn)角至少為（

）【題型5已知正多邊形的中心角求邊數(shù)】A．15 B．16 C．17 D．1822．一個圓內(nèi)接正多邊形的一條邊所對的圓心角是，則該正多邊形邊數(shù)是（

）A．6 B．9 C．10 D．12A．9 B．10 C．18 D．20A．16 B．12 C．10 D．825．如圖，是的內(nèi)接正六邊形的一邊，點(diǎn)在弧上，且是的內(nèi)接正八邊形的一邊．則是的內(nèi)接正邊形的一邊．【題型6尺規(guī)作圖—正多邊形】27．作圖題：(1)尺規(guī)作圖：如圖，已知線段．求作線段的垂直平分線l，交于點(diǎn)C；（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）28．已知正六邊形ABCDEF，請僅用無刻度直尺，按要求畫圖：(1)在圖1中，畫出CD的中點(diǎn)G；(2)在圖2中，點(diǎn)G為CD中點(diǎn)以G為頂點(diǎn)畫出一個菱形．(1)求證：是正六邊形的一邊；(2)請在圖上繼續(xù)畫出這個正六邊形．【題型7正多邊形與圓結(jié)合的問題】31．我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)》中提出“割圓術(shù)”，即用圓內(nèi)接或外切正多邊形逐步逼近圓來近似計算圓的面積．設(shè)的半徑為1，若用如圖所示的的內(nèi)接正十二邊形的面積來近似估計的面積，則產(chǎn)生的正誤差為（

）A． B． C． D．34．“3世紀(jì)中期，魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)，所謂“割圓術(shù)”，是用圓內(nèi)接正多邊形的面積去無限逼近圓面積并以此求取圓周率的方法”，請計算出半徑為2的圓與其內(nèi)接正十二邊形的面積差為．

(1)求∠E的度數(shù)．【拓展訓(xùn)練一圓內(nèi)接四邊形的綜合】A． B． C． D．【拓展訓(xùn)練二圓內(nèi)接四邊形的新定義問題】41．【定義新知】定義：有一個角是其對角一半的圓內(nèi)接四邊形叫做圓美四邊形，其中這個角叫做美角．【初步應(yīng)用】②點(diǎn)為的中點(diǎn)，的半徑為5，求線段的長；【拓展提升】42．定義：若圓內(nèi)接三角形是等腰三角形，我們就稱這樣的三角形為“圓等三角形”．44．定義：有一個角是其對角一半的圓的內(nèi)接四邊形叫做圓美四邊形，其中這個角叫做美角．(2)在（1）的條件下，若的半徑為4．①求的長；45．定義：有一個角是其對角一半的圓的內(nèi)接四邊形叫做圓美四邊形，其中這個角叫做美角．圖1

圖2

圖3(2)在（1）的條件下，若的半徑為．①則的長是______．(3)在（1）的條件下，如圖，若是的直徑，請用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【拓展訓(xùn)練三圓與正多邊形的綜合】46．我們可以用構(gòu)圖的方法研究一些幾何問題．【基本圖形】【方法遷移】要求：①用直尺和圓規(guī)作圖；②保留作圖的痕跡；【問題解決】【初步感知】【實踐探究】【拓展延伸】48．今年假期，你有沒有和父母或者小伙伴一起走進(jìn)影院去看一下國漫電影《哪吒2》呀？影片中，玉虛宮的鎮(zhèn)宮之寶“天元鼎”大到超乎想象，存放它的建筑是一座“正八邊形”的宮殿，你想知道這座建筑有多大嗎？問題一：要求出“正八邊形”的面積，我們可以把一個“正八邊形”均分成八個頂角為______度的等腰三角形；問題三：若“正八邊形”的邊長為，求：正八邊形的面積．49．綜合與實踐某數(shù)學(xué)小組，在計算當(dāng)周長為固定值時，圍成正三角形、正方形、正六邊形、圓的面積．【探究發(fā)現(xiàn)】（1）正方形的面積為________．【應(yīng)用結(jié)論】50．請用無刻度直尺完成下列作圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡（用虛線表示畫圖過程，實線表示畫圖結(jié)果）【拓展訓(xùn)練四正多邊形的新定義問題】51．定義：如果幾個全等的正邊形依次有一邊重合，排成一圈，中間可以圍成一個正多邊形，那么我們稱作正邊形的環(huán)狀連接．如圖1，我們可以看作正八邊形的環(huán)狀連接，中間圍成一個正方形．（1）若正六邊形作環(huán)狀連接，如圖2，中間可以圍成的正多邊形的邊數(shù)為；（2）若邊長為的正邊形作環(huán)狀連接，中間圍成的是等邊三角形，則這個環(huán)狀連接的外輪廓長為．（用含的代數(shù)式表示）52．閱讀與思考下面是博學(xué)小組研究性學(xué)習(xí)報告的部分內(nèi)容，請認(rèn)真閱讀，并完成相應(yīng)任務(wù)．關(guān)于“等邊半正多邊形”的研究報告博學(xué)小組研究對象：等邊半正多邊形研究思路：類比三角形、四邊形，按“概念﹣性質(zhì)﹣判定”的路徑，由一般到特殊進(jìn)行研究．研究方法：觀察（測量、實驗）﹣猜想﹣推理證明研究內(nèi)容：【一般概念】對于一個凸多邊形（邊數(shù)為偶數(shù)），若其各邊都相等，且相間的角相等、相鄰的角不相等，我們稱這個凸多邊形為等邊半正多邊形．如圖1，我們學(xué)習(xí)過的菱形（正方形除外）就是等邊半正四邊形，類似地，還有等邊半正六邊形、等邊半正八邊形…【特例研究】根據(jù)等邊半正多邊形的定義，對等邊半正六邊形研究如下：性質(zhì)探索：根據(jù)定義，探索等邊半正六邊形的性質(zhì)，得到如下結(jié)論：內(nèi)角：等邊半正六邊形相鄰兩個內(nèi)角的和為▲°．對角線：…任務(wù)：(1)直接寫出研究報告中“▲”處空缺的內(nèi)容：．53．定義：我們將能完全覆蓋某平面圖形的圓稱為該平面圖形的覆蓋面．其中，能完全覆蓋平面圖形的最小圓稱為該平面圖形的最小覆蓋圓．例如：如圖1，線段的最小覆蓋圓就是以線段為直徑的圓；【初步思考】（1）邊長為的正方形的最小覆蓋圓的半徑是______；（2）如圖2，邊長為的兩個正方形并列在一起，則其最小覆蓋圓的半徑是______；【深入研究】（1）請分別作出圖3中兩個三角形的最小覆蓋圓（要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）．【生活應(yīng)用】54．李老師帶領(lǐng)班級同學(xué)進(jìn)行拓廣探索，通過此次探索讓同學(xué)們更深刻的了解的意義．(3)[總結(jié)]隨著n的增大，具有怎樣的規(guī)律，試通過計算，結(jié)合圓周率的誕生，簡要概括．55．如圖，正三角形、正方形、正六邊形等正n邊形與圓的形狀有差異，我們將正n邊形與圓的接近程度稱為“接近度”．③當(dāng)“接近度”等于______．時，正n邊形就成了圓．A． B． C． D．A．80° B．100° C．120° D．140°A．3處 B．5處 C．7處 D．9處6．如圖，小輝用了14個全等的正七邊形排列（圖形不重疊，且每相鄰的兩個正七邊形有一邊重合），形成一個圓環(huán)狀，圖中所示的是其中3個正七邊形的位置．如果我們用個全等的正九邊形也按照同樣的方式排列，形成一個圓環(huán)狀，則的取值可以是（

）A．6，16 B．6，18 C．8，16 D．8，1810．已知一個圓與一個角的兩邊各有兩個公共點(diǎn)，且在兩邊上截得的兩條弦正好是該圓內(nèi)接正五邊形的兩條邊，那么這個角的大小是．12．如圖是一鋪設(shè)在人行道上地板磚的一部分，它是由正六邊形和四邊形鑲嵌而成，，，為各多邊形頂點(diǎn)，則的值為．(2)猜想與之間的關(guān)系，并給予證明．16．【問題提出】我們知道：同弧或等弧所對的圓周角都相等，且等于這條弧所對的圓心角的一半．那么，在一個圓內(nèi)同一條弦所對的圓周角與圓心角之間又有什么關(guān)系？

17．[綜合實踐]問題：我們知道，過任意一個三角形的三個頂點(diǎn)能作一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓，那么任意一個四邊形都有外接圓嗎？探索：給出了如圖所示的四邊形，填