第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年北京市昌平區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x||x|<2}，B={?2,?1,0,1,2,3}，則A∩B=(

)A.{0,1} B.{0,1,2} C.{?1,0,1} D.{?2,?1,0,1,2}2.已知a>b>0，d<c<0，則下列大小關(guān)系正確的是(

)A.ac>bd B.ac<3.從3名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，則所選3人中恰有2名男生的概率是(

)A.18125 B.310 C.9254.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在(0,+∞)上為增函數(shù)的是(

)A.y=?1x B.y=cosx C.y=e5.已知函數(shù)f(x)=sin(2x?π6A.函數(shù)f(x)的圖象可由y=sin2x的圖象向右平移π6個(gè)單位得到

B.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=π12對(duì)稱(chēng)

C.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(?π6,0)對(duì)稱(chēng)

D.函數(shù)6.若“?x∈[1,3],x+2x≤m”是真命題，則實(shí)數(shù)m的最小值為A.2 B.22 C.37.某城市甲區(qū)域的人口總數(shù)A約為221，乙區(qū)域的人口總數(shù)B約為312，則下列各數(shù)中與AB最接近的是(????)(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.30A.0.5 B.1 C.10 D.8.設(shè)無(wú)窮等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)積為T(mén)n，則“Tn有最大值”是“A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9.在△ABC中，若cos2A+cos2B?cos2C>1，則△ABC的形狀是(

)A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.不能確定10.已知函數(shù)f(x)=2x，g(x)=x2+2，若存在xi∈[0,3]，(i=1,2,3,?,n)，使得f(xA.6 B.7 C.8 D.9二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.函數(shù)f(x)=1x?1+12.已知{an}為等差數(shù)列，Sn為前n項(xiàng)和.若10為a3與a813.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).若sinα=12，則cosβ=______．14.已知函數(shù)f(x)=a(x?2a)(x+a+3),x≤a2x?2,x>a．

①當(dāng)a=?1時(shí)，若函數(shù)g(x)=f(x)?k有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的一個(gè)取值為_(kāi)_____；

②若函數(shù)f(x)在(?∞,a)，(a,+∞)上都是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)15.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=a，且an+1=an2?2an+4(n=1,2,?)，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①{an}可能為等比數(shù)列；

②若a=3三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。16.(本小題13分)

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列{bn}的公比為q.若a1=1，S5=25，b2=2，q=d．17.(本小題13分)

某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ),ω>0,|φ|<π2ωx+φ0ππ3π2πxπ7πAsin(ωx+φ)00?0(1)請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，填寫(xiě)在答題卡上相應(yīng)位置，并直接寫(xiě)出函數(shù)f(x)的解析式和單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)若函數(shù)g(x)=f(x)?2sin2x+2cos2x18.(本小題14分)

近年來(lái)，中國(guó)機(jī)器人科技水平在政策支持、技術(shù)創(chuàng)新及市場(chǎng)需求的多重驅(qū)動(dòng)下實(shí)現(xiàn)了顯著提升，尤其在工業(yè)機(jī)器人、服務(wù)機(jī)器人及特種機(jī)器人領(lǐng)域表現(xiàn)突出.國(guó)內(nèi)某科技公司致力于服務(wù)機(jī)器人的發(fā)展與創(chuàng)新，近期公司生產(chǎn)了甲、乙、丙三款不同的智能送餐機(jī)器人，并對(duì)這三款機(jī)器人的送餐成功率進(jìn)行了測(cè)試，獲得數(shù)據(jù)如下表：甲款機(jī)器人乙款機(jī)器人丙款機(jī)器人測(cè)試次數(shù)50100100成功次數(shù)105080假設(shè)每款機(jī)器人的測(cè)試結(jié)果相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率．

(1)估計(jì)甲款機(jī)器人單次送餐成功的概率；

(2)若讓這三款機(jī)器人分別執(zhí)行1次送餐任務(wù)，設(shè)成功的總次數(shù)為X，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E(X)；

(3)若讓這三款機(jī)器人分別執(zhí)行10次送餐任務(wù)，設(shè)成功的次數(shù)分別為ξ1，ξ2，ξ3，直接寫(xiě)出方差Dξ1，19.(本小題15分)

在△ABC中，(bcosC+ccosB)cosA=12a．

(1)求A；

(2)若a=7，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的面積．

條件①：b=8；

條件②：c=5；

條件③：cosC=1114．

注：如果選擇的條件不符合要求，第20.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=(2?x)e1?x?ax3+bx2．

(1)當(dāng)a=0，b=0時(shí)，

(i)求曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)方程；

(ii)當(dāng)x≥0時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值；

(2)21.(本小題15分)

已知集合S={s1,s2,s3,?,st}(t≥2)，其中si∈Z(i=1,2,?,t)，由S中的元素構(gòu)成兩個(gè)相應(yīng)的集合：M={(a,b)|a∈S，b∈S，a+b∈S}，N={(a,b)|a∈S，b∈S，a?b∈S}，其中(a,b)是有序?qū)崒?duì)數(shù)，集合M和N中的元素個(gè)數(shù)分別為m和n，若對(duì)于任意的a∈S，總有?a?S，則稱(chēng)集合S具有性質(zhì)P．

(I)檢驗(yàn)集合{?1,0,2,3}與{?2,1,3}是否具有性質(zhì)P并對(duì)其中具有性質(zhì)P的集合，寫(xiě)出相應(yīng)的集合M和N；

(Ⅱ)對(duì)任意具有性質(zhì)P的集合S答案解析1.【答案】C

【解析】解：A={x|?2<x<2}；

∴A∩B={?1,0,1}．

故選：C．

可以解出集合A，然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．

考查描述法、列舉法的定義，絕對(duì)值不等式的解法，以及交集的運(yùn)算．2.【答案】B

【解析】解：因?yàn)閐<c<0，所以1c<1d，

因?yàn)閍>0，所以ac<ad，

因?yàn)閍>b>0，所以ad<bd，

綜上，ac<bd，因此選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確；

因?yàn)閐<c<0，所以ad>ac，

因?yàn)閍>b>0，所以3.【答案】D

【解析】解：從3名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，

令事件A表示：所選3人中恰有2名男生，所以P(A)=C32C21C53=35．

故選：4.【答案】C

【解析】解：對(duì)于A：由y=?1x為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：y=cosx在R上不單調(diào)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：令f(x)=e|x|，f(?x)=e|?x|=e|x|=f(x)，所以y=e|x|為偶函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，y=ex為增函數(shù)，故C正確；

對(duì)于D：令g(x)=log12|x|，g(?x)=log125.【答案】D

【解析】解：對(duì)于A：y=sin2x的圖象向右平移π6個(gè)單位得y=sin(2x?π3)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：由f(π12)=sin(2×π12?π6)=0，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：由f(?π6)=sin(?π2)=?1，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：令2x?π6=kπ,k∈Z，解得x=kπ2+π12,k∈Z，當(dāng)k=0時(shí)，x=π12，當(dāng)k=1時(shí)，x=7π12，

當(dāng)6.【答案】B

【解析】解：“?x∈[1,3],x+2x≤m”是真命題，

由題意有m≥(x+2x)min，由x+2x≥2x?2x=22，

7.【答案】C

【解析】解：A約為221，乙區(qū)域的人口總數(shù)B約為312，

則AB=221312，

所以lgAB=lg221312=21lg2?12lg3≈21×0.30?12×0.48=0.54，

8.【答案】B

【解析】解：無(wú)窮等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)積為T(mén)n，

則Tn=a1a2?an=a1?a1q???a1an?1=a1nq1+2+?+(n?1)=a1nqn(n?1)2，

例如a1=1,q=12，則Tn=(12)n(n?1)2，在n=1時(shí)，Tn取最大值，因此是不充分的；

當(dāng)?1<q<0時(shí)，對(duì)任意的無(wú)窮等比數(shù)列{an}，

若|a9.【答案】C

【解析】解：因?yàn)閏os2A=1?2sin2A，cos2B=1?2sin2B，cos2C=1?2sin2C，

所以cos2A+cos2B?cos2C>1轉(zhuǎn)化為sin2A+sin2B<sin2C，

則a2+b2<c10.【答案】A

【解析】解：因?yàn)閒(x)=2x，g(x)=x2+2，

所以f(x1)+f(x2)+…+f(xn?1)+g(xn)=2(x1+x2+…+xn?1)+xn2+2，

g(x1)+g(x2)+…+g(xn?1)+f(xn)=x12+x22+…+xn?1211.【答案】(?1,1)∪(1,+∞)

【解析】解：由題意x+1>0x?1≠0，解得x>?1且x≠1．

故答案為：(?1,1)∪(1,+∞)．

求出使函數(shù)式有意義的自變量范圍即可．

12.【答案】100

【解析】解：{an}為等差數(shù)列，10為a3與a8的等差中項(xiàng)，

由題意有a3+a8=2×10=20，

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，a1+a10=a313.【答案】±【解析】解：根據(jù)sinα=12，可得cosα=±1?sin2α=±32，

因?yàn)棣?、β的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

所以β=π+α+2kπ(k∈Z)，cosβ=?cosα，可得cosβ=±32，14.【答案】?1(答案不唯一)

(?∞,?3]

【解析】解：①a=?1時(shí)，f(x)=?(x+2)2,x≤?12x?2,x>?1，

g(x)=f(x)?k有三個(gè)不同的零點(diǎn)，

即f(x)=k有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

即直線(xiàn)y=f(x)的圖象與直線(xiàn)y=k有三個(gè)不同交點(diǎn)，

同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出f(x)與y=k的圖象，如下：

需滿(mǎn)足?1≤k<0，

故實(shí)數(shù)k的一個(gè)取值為?1；

②由于y=2x?2在(a,+∞)上單調(diào)遞增，

所以只需y=a(x?2a)(x+a+3)在(?∞,a)上單調(diào)遞增，

當(dāng)a=0時(shí)，y=a(x?2a)(x+a+3)=0為常數(shù)函數(shù)，不合要求，舍去；

顯然a<0，y=a(x?2a)(x+a+3)=a[(x?a?32)2?9a2+18a+94]，

對(duì)稱(chēng)軸為x=a?32，需滿(mǎn)足a?32≥a，解得a≤?3，

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(?∞,?3]．

故答案為：?1(答案不唯一)；(?∞,?3]．

①f(x)=k15.【答案】①②④

【解析】解：構(gòu)建f(x)=x2?2x+4，

可得f(x)=(x?1)2+3≥3，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，等號(hào)成立；

令f(x)=4，解得x=0或x=2；令f(x)>4，解得x<0或x>2；令f(x)<4，解得0<x<2．

因?yàn)閍n+1=an2?2an+4(n=1,2,?)，

則an+1=f(an)≥3>0，且an+12?an2=?2an+4，

(1)若a<0，則a2=f(a1)>2，即a2>2>a1；

可得a32?a22=?2a2+4<0，且a3=f(a2)>2，可得a1<2<a3<a2，

依次類(lèi)推可得a1<2<?<a3<a2；

(2)若a=0，則a2=f(a)=2，a3=f(a2)=2,?；

依次類(lèi)推可得an=0,n=12,n≥2；

(3)若0<a<2，則a22?a12=?2a1+4>0，且a2=f(a1)∈[3,2)，可得a1<a2<2，

可得a32?a22=?2a2+4>0，且a3=f(a2)∈[3,2)16.【答案】an=2n?1；bn=2n?1【解析】(1)等比數(shù)列{bn}的公比為q.若a1=1，S5=25，b2=2，q=d．

若

a1=1，則S5=5×1+5×42d=25，解得d=2，

所以an=1+2(n?1)=2n?1；

q=d=2，b2=2b1=2，所以b1=1，則bn=2n?1；

(2)17.【答案】填表見(jiàn)解析，f(x)=2sin(2x?π4)，單調(diào)遞減區(qū)間為【解析】(1)填表如下：ωx+φ0

ππ

3π2πx

π

3π

5π

7π

9π

Asin(ωx+φ)0

0

?0根據(jù)題意，可得A=2，

函數(shù)的周期T滿(mǎn)足34T=7π8?π8，解得T=π，由2πω=π，解得ω=2，

由f(7π8)為函數(shù)的最小值，可得2×7π8+φ=3π2+2kπ(k∈Z)，

結(jié)合|φ|<π2，可得φ=?π4，所以函數(shù)的解析式為f(x)=2sin(2x?π4)，

由表格，可知f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[3π8+kπ,7π8+kπ](k∈Z)；18.【答案】15；

32；

D【解析】(1)設(shè)甲款機(jī)器人單次送餐成功的概率為p1，則p1=1050=15；

(2)設(shè)乙款機(jī)器人單次送餐成功的概率為p2，丙款機(jī)器人單次送餐成功的概率為p3，

所以p2=50100=12,p3=80100=45，

X的可能取值為0，1，2，3，

所以P(X=0)=(1?p1)(1?p2)(1?p3)=45×12×15=225，

P(X=1)=p1(1?19.【答案】π3；

答案見(jiàn)解析．【解析】(1)根據(jù)邊角轉(zhuǎn)換，原式可以化簡(jiǎn)為：(sinBcosC+sinCcosB)cosA=12sinA，

因?yàn)閟inBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA，

所以sinAcosA=12sinA，

又因?yàn)锳為三角形內(nèi)角，所以cosA=12，

進(jìn)而求得A=π3；

(2)因?yàn)锳=π3，a=7，

所以根據(jù)余弦定理有：a2=b2+c2?2bccosA=b2+c2?bc=49，

對(duì)于條件①：

因?yàn)閎=8，所以sinB=bsinAa=8×327=437<1，

又因?yàn)閟inB=437>32，所以△ABC有兩個(gè)解，不滿(mǎn)足△ABC存在且唯一；

對(duì)于條件②：

因?yàn)閏=5，所以根據(jù)正弦定理有：sinC=csinAa=520.【答案】(i)y=?2x+3；

(ii)在

x=0處函數(shù)f(x)取得最大值為2e．

(19【解析】(1)(i)當(dāng)a=0，b=0時(shí)，函數(shù)f(x)=(2?x)e1?x，f(1)=(2?1)e1?1=1，

導(dǎo)函數(shù)f′(x)=(?1)e1?x+(2?x)(?1)e1?x=(x?3)e1?x，f′(1)=(1?3)e1?1=?2?e0=?2，

切線(xiàn)方程為：y?1=?2(x?1)，

整理得：y=?2x+3．

(ii)導(dǎo)函數(shù)f′(x)=(x?3)e1?x，因?yàn)閑1?x>0，對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立

所以導(dǎo)函數(shù)f′(x)的符號(hào)由x?3決定：

當(dāng)x>3時(shí)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)x<3時(shí)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減，

所以x=3是極小值點(diǎn)，x=0時(shí)，f(0)=(2?0)e1?0=2e，

x→+∞時(shí)，e1?x→0，因此f(x)→0，

因此當(dāng)x≥0時(shí)，在

x=0處f(x)取得最大值為2e．

(2)函數(shù)f(x)=(2?x)e1?x?ax3+bx2，

導(dǎo)函數(shù)f′(x)=?e1?x+(2?x)(?1)e1?x?3ax2+2bx=(x?3)e1?x?3ax2+2bx，

因?yàn)閤=3是f(x)的極大值點(diǎn)，所以f′(3)=0，

f′(3)=(3?3)e1?3?3a?321.【答案】集合{?1,0,2,3}不具有性質(zhì)P；

集合{?2,1,3}具有性質(zhì)P，

其相應(yīng)的集合M和N是M={(?2,3)，(3,?2)}，N={(1,?2)，(1,3)}；

證明詳見(jiàn)解析；

m=n，證明詳見(jiàn)解析．

【解析】(1)因?yàn)閍=0時(shí)，a∈{?1,0,2,3}且?a∈{?1,