三簡樸曲線的極坐標方程121.圓的極坐標方程(1)曲線C的極坐標方程:普通地,在極坐標系中,如果平面曲線C上任意一點的極坐標中最少有一種滿足方程f(ρ,θ)=0,并且坐標適合方程f(ρ,θ)=0的點都在曲線C上,那么方程f(ρ,θ)=0叫做曲線C的極坐標方程.名師點撥(1)平面上點的極坐標的表達形式不唯一.(2)我們碰到的極坐標方程多是ρ=ρ(θ)的形式,即ρ為θ的一種函數(shù).(3)由極坐標系中點的對稱性能夠得到極坐標方程ρ=ρ(θ)的圖形的對稱性:若ρ(θ)=ρ(-θ),則對應圖形有關極軸對稱;若ρ(θ)=ρ(π-θ),則圖形有關過極點且垂直于極軸的直線對稱;若ρ(θ)=ρ(π+θ),則圖形有關極點O對稱.(2)圓通過極點O,圓心坐標是C(a,0)(a>0),則圓的極坐標方程是ρ=2acosθ.

12做一做1極坐標方程ρ=1表達的曲線是()A.直線 B.射線 C.圓 D.橢圓答案:C122.直線的極坐標方程直線l通過極點,極軸與直線l所成的角是α,則直線l的極坐標方程為θ=α(ρ∈R).名師點撥求平面曲線的極坐標方程,就是要找極徑ρ和極角θ之間的關系,慣用解三角形(正弦定理、余弦定理)的知識、運用三角形的面積相等來建立ρ,θ之間的關系.12

探究一探究二探究三探究四探究一圓的極坐標方程在求曲線的極坐標方程時,核心是找出曲線上的點滿足的幾何條件,將它用坐標表達,然后化簡,最后求出ρ與θ的函數(shù)關系,即為規(guī)定的極坐標方程.探究一探究二探究三探究四

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變式訓練1

從極點O作圓C:ρ=8cosθ的弦ON,求弦ON的中點M的軌跡方程并把它化為直角坐標方程.解:辦法一:如圖,圓C的圓心C(4,0),半徑r=|OC|=4,連接CM.∵M為弦ON的中點,∴CM⊥ON.故點M在以OC為直徑的圓上(除去極點).∴動點M的軌跡方程是ρ=4cosθ(ρ≠0).∵ρ2=4ρcosθ,∴x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=4.故(x-2)2+y2=4(x≠0,且y≠0)為所求的直角坐標方程.探究一探究二探究三探究四

探究一探究二探究三探究四探究二直線的極坐標方程在極坐標系中,求直線的極坐標方程的普通辦法是:在直線上任取一點M(ρ,θ),連接OM,構造出含有OM的三角形,再運用三角形知識求|OM|,即把|OM|用θ表達,這就是我們所規(guī)定的ρ與θ之間的關系,即為直線的極坐標方程,也能夠先求出直角坐標方程,再化為極坐標方程.探究一探究二探究三探究四

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探究一探究二探究三探究四探究三直角坐標方程與極坐標方程的互化將極坐標方程化為直角坐標方程的辦法有:①直接運用公式;②兩邊同乘ρ;③兩邊同時平方等.將直角坐標方程化為極坐標方程時,直接用公式代入化簡即可.探究一探究二探究三探究四典例提高3把下列直角坐標方程與極坐標方程進行互化:(1)x2+(y-3)2=9;(2)ρ=9(sinθ+cosθ);(3)ρ=4;(4)2ρcosθ-3ρsinθ=5.思路分析:運用公式x=ρcosθ,y=ρsinθ,ρ2=x2+y2進行直角坐標方程與極坐標方程的互化.探究一探究二探究三探究四

探究一探究二探究三探究四點評化曲線的直角坐標方程f(x,y)=0為極坐標方程f(ρ,θ)=0,只要將x=ρcosθ,y=ρsinθ代入到方程f(x,y)=0中即可.將直角坐標方程化為極坐標方程時,如果不加特殊闡明,就認為ρ≥0.例如將x2+y2=25化為極坐標方程,有ρ=5和ρ=-5兩種狀況,由于ρ≥0,因此只取ρ=5.事實上,這兩個方程都表達以極點為圓心,5為半徑的圓.探究一探究二探究三探究四

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123451.在極坐標系中,點A(1,π)到直線ρcosθ=2的距離是()A.1 B.2 C.3 D.4解析:點A(1,π)化為直角坐標為(-1,0),直線ρcosθ=2化為直角坐標方程為x=2.由于點A(-1,0)到直線x=2的距離為3,因此點A(1,π)到直線ρcosθ=2的距離為3.答案:C12345

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