/安徽省2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次月考試題一、單選題:本大題共8小題，每個(gè)小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知函數(shù)的圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對(duì)稱性，先求出當(dāng)時(shí)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)解析式，然后將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)與的圖象有公共點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為方程有解問題，最后結(jié)合圖象即可得解.【詳解】由函數(shù)定義域可知，，當(dāng)時(shí)，設(shè)，要題目條件成立，只需的圖象與的圖象有公共點(diǎn)，即方程在時(shí)有解，所以，即在時(shí)有解，作出函數(shù)的圖象如圖，由圖象可知，，得，綜上所述，，故選：D.2.已知，，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的最小值是（）A.4 B. C.8 D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，由不等式可得兩函數(shù)有共同零點(diǎn)，由此得是方程的根，可得的關(guān)系，消b再利用基本不等式求解最值可得.【詳解】設(shè)，又，所以在0,+∞單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，由圖象開口向上，，可知方程gx=0有一正根一負(fù)根，即函數(shù)在0,+∞有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且為異號(hào)零點(diǎn)；由題意知，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以是方程的根，則，即，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，則的最小值是8，故選：C3.已知函數(shù)若方程有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】方程有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；【詳解】作出圖像，令，則方程有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，且，則，解得，故選：.4.已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】條件化為與的兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，數(shù)形結(jié)合得到，應(yīng)用對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)求目標(biāo)式的范圍.【詳解】由函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，所以與的兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，結(jié)合圖象知，，且，則，令，則，又在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減，，故選：B5.函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】由已知可得分段函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】由已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，函數(shù)先減后增，排除，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹褪菧p函數(shù)，所以函數(shù)是減函數(shù)，所以排除.故選：.6.定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，若函數(shù)的最小值為，則（）A.1 B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)奇偶性得到，，從而得到，換元得到在上的最小值為，根據(jù)對(duì)稱軸，分和兩種情況，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到最小值，從而得到方程，求出答案.【詳解】①，故，因?yàn)闉樯系呐己瘮?shù)，為上的奇函數(shù)，故，所以②，式子①和②聯(lián)立得，，，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以在上的最小值為，由于的對(duì)稱軸為，故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故，解得，不合要求，舍去；當(dāng)時(shí)，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，解得，負(fù)值舍去；故選：C7.若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可求解.【詳解】若，則當(dāng)時(shí)，，則恒成立，不符合題意.若，函數(shù)和函數(shù)都是偶函數(shù)，且都在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要使在上存在零點(diǎn)，只需，即，所以.故選：.8.已知，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A. B.是奇函數(shù)C.關(guān)于直線對(duì)稱 D.的值域?yàn)椤敬鸢浮緾【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，結(jié)合函數(shù)的周期性，奇偶性，對(duì)稱性以及值域的求解方法，逐項(xiàng)求解即可.【詳解】對(duì)A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：的定義域?yàn)椋?，故為偶函?shù)，B錯(cuò)誤；對(duì)C：，故關(guān)于直線對(duì)稱，C正確；對(duì)D：，令，故，又在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又，故，也即y=f(x)的值域?yàn)?，故D錯(cuò)誤.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的對(duì)稱中心為B.的值域?yàn)镃.區(qū)間上單調(diào)遞增D.的值為【答案】ACD【解析】【分析】選項(xiàng)A，利用函數(shù)的對(duì)稱性定義驗(yàn)證即可；選項(xiàng)B，計(jì)算值域即可；選項(xiàng)C，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性運(yùn)算判斷單調(diào)性即可；選項(xiàng)D：找到，計(jì)算即可.【詳解】由題可知選項(xiàng)A：由題可知，所以得，故的對(duì)稱中心為-1,1，選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B：因?yàn)?，顯然，所以的值域?yàn)?，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞增，選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D：，所以，所以有，選項(xiàng)D正確.故選：ACD10.已知函數(shù)，則（）A.是上的減函數(shù)B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.若是奇函數(shù)，則D.不等式的解集為【答案】ACD【解析】【分析】利用函數(shù)單調(diào)性的定義可判斷A選項(xiàng)；利用函數(shù)的對(duì)稱性可判斷BC選項(xiàng)；將所求不等式變形為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得出關(guān)于的不等式，即可得出原不等式的解集，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，任取、，且，則，則，所以，，所以，函數(shù)是R上的減函數(shù)，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，則，所以，，所以，函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)y=fx是奇函數(shù)，即函數(shù)y=f由B選項(xiàng)可知，函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，解得，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，由，可得，因?yàn)楹瘮?shù)是R上的減函數(shù)，則，解得，故不等式的解集為，D對(duì).故選：ACD.11.已知、均為正實(shí)數(shù)，且，則（）A.的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)A，利用基本不等式即可解得；對(duì)B，將2換成，進(jìn)而利用基本不等式得到答案；對(duì)C，將原式化簡(jiǎn)為，進(jìn)而根據(jù)代換，然后得到答案；對(duì)D，將原式變化為，進(jìn)而化簡(jiǎn)，然后設(shè),，而后用進(jìn)行代換，最后用基本不等式得到答案.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，的最大值為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，的最小值為，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)或時(shí)，等號(hào)成立，所以，的最小值為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，設(shè)，，可得，則上式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，的最小值為，D對(duì).故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，，且，則的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】結(jié)合，，可將，可視為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且滿足，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可得，即可得解.【詳解】由已知，，則，所以，可視為方程的兩個(gè)解，且滿足，即，可視為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且滿足，則，解得，即，則，故答案為：.13.已知關(guān)于x的方程有解，則的最小值為__________.【答案】##【解析】【分析】利用三角函數(shù)的輔助角公式，結(jié)合三角函數(shù)的值域，可得不等式，整理不等式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.【詳解】由，其中，則，可得，即，兩邊平方化簡(jiǎn)可得，因此，由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：.14.已知是定義在上的奇函數(shù)，且是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則______.【答案】【解析】【分析】由奇偶性推導(dǎo)出是周期為的周期函數(shù)，再求出f1，，，，利用周期性及等差數(shù)列求和公式計(jì)算可得.【詳解】是偶函數(shù)，，即f1+x=f從而，又是奇函數(shù)，則f-x，進(jìn)而fx+4=-f所以是周期為的周期函數(shù).由當(dāng)時(shí)，，得，，，，，即，，，，.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.記的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，已知，且.（1）若，求的面積；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用切化弦以及三角恒等變換化簡(jiǎn)得出，求出這兩個(gè)角的值，利用正弦定理求出的值，然后利用三角形的面積公式求解即可；（2）分析可得，利用正弦定理化簡(jiǎn)可得，根據(jù)角的取值范圍可求出的取值范圍，由此可得出的取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)?，可得，所以，，因?yàn)椤?，且余弦函?shù)在上單調(diào)遞減，則，當(dāng)時(shí)，則，由正弦定理可得，則，因此，的面積為.【小問2詳解】由（1）可得，則，由正弦定理可得，則，因?yàn)?，則，可得，所以，，即的取值范圍是.16.在四棱錐中，平面ABCD，．（1）證明：平面PAC；（2）若Q為線段PC的中點(diǎn)，求平面PAD與平面QAD的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由線面垂直的性質(zhì)得，根據(jù)已知可得，再應(yīng)用線面垂直的判定證結(jié)論；（2）構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求面面角的余弦值.【小問1詳解】由平面ABCD，平面ABCD，則，由，則，又，可得，若為中點(diǎn)，連接，而，則，即為正方形，所以，且，則，綜上，，即，由都在面PAC內(nèi)，所以平面PAC；【小問2詳解】由題設(shè)，可構(gòu)建如圖示的空間直角坐標(biāo)系，，所以，則，令是面QAD的一個(gè)法向量，則m?AQ令，則，又是面PAD一個(gè)法向量，所以面PAD與面QAD的夾角的余弦值|cos17.已知數(shù)列是公差大于1等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列，若數(shù)列前項(xiàng)和為，并滿足，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式.（2）若，求數(shù)列前項(xiàng)的和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的基本量可求出；利用和的關(guān)系，構(gòu)造出即可求出；（2）利用錯(cuò)位相減法求解即可.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，且，，成等比數(shù)列知：，整理得：，即或者，因?yàn)楣畲笥?，故.且，故.數(shù)列前項(xiàng)和為，并滿足①，且，解得，故當(dāng)時(shí)，②，①式減②式得：，即，故是公比為2的等邊數(shù)列，則，故【小問2詳解】，故則故故則18.已知函數(shù)，其中，（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)可以作3條直線與曲線相切，求m的取值范圍．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)直接求解單調(diào)區(qū)間即可；（2）設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，設(shè)，結(jié)合題意可將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與y=gx的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)而結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析y=gx的單調(diào)性，再結(jié)合圖象求解即可.【小問1詳解】由，，則，令f'x>0，得；令f'所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，則，設(shè)切點(diǎn)為，則，化簡(jiǎn)得，因?yàn)檫^點(diǎn)可以作3條直線與曲線y=fx相切，所以方程有三個(gè)不同的實(shí)根，設(shè)，即函數(shù)與y=gx的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，而，令，得；令，得或，所以函數(shù)在和1,+∞上單調(diào)遞減，在-1,1上單調(diào)遞增，又，，且時(shí)，gx>0，畫出函數(shù)與y=gx大致圖象，要使函數(shù)與y=gx的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，則，即m的取值范圍為．19.已知函數(shù).（1）若，求在處的切線方程.（2）討論的單調(diào)性.（3）求證：若，有且僅有一個(gè)零點(diǎn).【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）把代入，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.（2）根據(jù)給定條件，按，，，分類，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間.（3）利用（2）的結(jié)論，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理推理證明即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，則，而，所以函數(shù)的圖象在處的切線方程為，即.【小問2詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，①當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減；③當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；④當(dāng)時(shí)，由，得，由