/江蘇省徐州市2024-2025學年高二數(shù)學上學期期中考試試卷注意事項1．答卷前，考生務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、學校、班級、考生號填寫在答題卡上．將條形碼橫貼在答題卡上“條形碼粘貼處”．2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按要求作答的答案無效．4．考生必須保持答題卡的整潔．一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.圓的圓心坐標與半徑分別為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】配方后可得圓心坐標和半徑．【詳解】由圓，可得圓，所以圓心坐標為，半徑為．故選：D．2.已知直線l上的一點向右平移4個單位長度，再向下平移2個單位長度后，仍在該直線上，則直線l的斜率為（）A. B.- C.2 D.-2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線的斜率公式，即可求解．【詳解】設(shè)點是直線上的一點，將點右平移4個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到點仍在該直線上，則直線的斜率．故選：B．3.雙曲線的一個焦點坐標為，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由該雙曲線焦點坐標在軸上可得，再利用焦點坐標與方程的關(guān)系計算即可得解.【詳解】由該雙曲線的一個焦點坐標為，則，由可得，即有，解得.故選：B.4.若圓與圓有且只有三條公切線，則實數(shù)的值為（）A.6 B.4 C.6或 D.4或【答案】C【解析】【分析】由題意可得兩圓外切，即可得，計算即可得.【詳解】由圓與圓有且只有三條公切線，故兩圓外切，故，即，解得.故選：C.5.以橢圓長軸的兩個端點為焦點，以橢圓的焦點為頂點的雙曲線的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓方程寫出長軸端點和焦點坐標，從而得雙曲線的實半軸長和半焦距，再代入雙曲線標準方程即可.【詳解】橢圓長軸的兩個端點為，，焦點為，，所以雙曲線的焦點坐標為，，頂點為，，則雙曲線的焦點在軸上，且，，所以，所以雙曲線的方程為.故選：C.6.拋物線的焦點到圓上點的距離的最小值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】求出拋物線焦點坐標后，計算焦點到圓上點的距離最小值，需要求出焦點到圓心的距離，再減去圓的半徑就是最小值.【詳解】對于拋物線，則，根據(jù)焦點坐標公式，可得焦點坐標為.則焦點到圓心的距離.因為圓的半徑，焦點到圓上點的距離的最小值為焦點到圓心的距離減去圓的半徑，即.故選：B.7.已知橢圓C：上有一點A，它關(guān)于原點的對稱點為B，點F為橢圓的右焦點，且，，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)橢圓的左焦點為，則由已知條件結(jié)合橢圓的性質(zhì)可得四邊形為矩形，得，然后在中，表示出，再利用橢圓的定義列方程化簡可求出離心率.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點為，因為，所以根據(jù)橢圓的對稱性可知：四邊形為矩形，所以，在中，，根據(jù)橢圓定義可知：，所以，所以，，所以，所以離心率為故選：B．8.已知拋物線的頂點為坐標原點，焦點在軸上，過點的直線交于兩點，且，線段的中點為，則直線的斜率的最大值為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)出拋物線C及直線PQ的方程，借助垂直關(guān)系求出拋物線方程及點M的坐標，再用斜率坐標公式建立函數(shù)，利用均值不等式求解作答.【詳解】依題意，拋物線的焦點在x軸的正半軸上，設(shè)的方程為：，顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線PQ的方程為：，點，由消去x得：，則有，由得：，解得，于是拋物線：的焦點，弦的中點的縱坐標為，則點，顯然直線的斜率最大，必有，則直線的斜率，當且僅當，即時取等號，所以直線的斜率的最大值為.故選：A二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．9.已知直線與，則下列說法正確的是（）A.直線恒過第二象限 B.坐標原點到直線的最大距離為C.若，則 D.若，則與之間的距離為【答案】ABD【解析】【分析】利用分離參數(shù)法判斷A，利用點到直線距離和兩點距離知識判斷B，利用兩直線垂直充要條件判斷C，利用兩直線平行的充要條件及兩平行直線間距離公式判斷D.【詳解】對于A選項，將直線變形.令，解得，即直線恒過定點，該點在第二象限，所以直線恒過第二象限，A選項正確.對于B選項，因為直線恒過定點，坐標原點到直線的最大距離就是原點到定點的距離.根據(jù)兩點間距離公式，則，B選項正確.對于C選項，若，對于直線和.根據(jù)兩直線垂直的條件，可得，解得，C選項錯誤.對于D選項，若，則.由，可得，解得或.當時，，，滿足.當兩直線重合，兩平行直線，，根據(jù)兩平行直線間的距離公式，則，D選項正確.故選：ABD.10.拋物線的準線為l，P為上的動點，過作圓的一條切線，切點為，過作的垂線，垂足為，則下列結(jié)論正確的是（）A.與圓相切 B.當時，C.的最小值為 D.滿足的點有且僅有2個【答案】AD【解析】【分析】A選項，拋物線準線為，根據(jù)圓心到準線的距離來判斷；B選項，根據(jù)先算出的坐標，再借助切線的性質(zhì)計算即可得；C選項，結(jié)合拋物線定義可得三點共線時，最小，計算即可得；D選項，直接設(shè)點坐標進行求解即可得.【詳解】A選項，拋物線的準線為，圓的圓心到直線的距離顯然是，等于圓的半徑，故準線和圓相切，A選項正確；B選項，當時，，此時，故或，當時，，則；當時，，；故或，B選項錯誤；C選項，，當且僅當三點共線時，等號成立，故的最小值為，C選項錯誤；D選項，設(shè)，由可得，又，又，根據(jù)兩點間的距離公式，，整理得，，則關(guān)于的方程有兩個解，即存在兩個這樣的點，D選項正確.故選：AD.11.造型為“”的曲線稱為雙紐線，在平面直角坐標系xOy中，與定點距離之積等于的動點的軌跡為雙紐線．記時的雙紐線為曲線，點是曲線上的一個動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小值為4 B.點的橫坐標的取值范圍是C.面積的最大值為2 D.若點的坐標為，則【答案】ACD【解析】【分析】對A：借助基本不等式計算即可得；對B：整理可得，即有，即可得，解出即可得；對C：借助換元法可得的最大值，即可得面積最大值；對D：借助反證法，假設(shè)后代入原式計算即可得.【詳解】設(shè)是曲線上任意一點，根據(jù)雙紐線的定義可得：，當時，曲線的方程為，對于A：，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為，故A正確；對于B：整理可得：，則，可得，解得，故B錯誤；對于C：，令，則，所以，所以當時，，所以面積的最大值為，故C正確；對于D：若，則，其與矛盾，故不成立，故，故D正確.故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：D選項中關(guān)鍵點在于使用反證法，假設(shè)，代入原方程中得到與題設(shè)矛盾.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.直線分別交x軸和軸于A、兩點，若是線段的中點，則直線的方程為______.【答案】【解析】【分析】由是線段的中點，可得A、兩點坐標，后可得直線方程.【詳解】因A、兩點x軸和軸上，設(shè)，因是線段的中點，則，故直線的截距式方程為：.故答案為：.13.直線與圓相交于兩點，若，則____________．【答案】【解析】【分析】先求圓心到直線的距離，進而利用圓的幾何性質(zhì)，即用即可求解.【詳解】圓的圓心，，圓心到直線的距離，由圓的幾何性質(zhì)可得，即，整理得，即.故答案為:14.已知雙曲線上存在兩點M，N關(guān)于直線對稱，且MN的中點在拋物線上，則實數(shù)的值為_________．【答案】0或3【解析】【分析】我們先求出MN中點的坐標（設(shè)為），因為M，N關(guān)于直線對稱，所以MN與直線垂直，可得到MN的斜率，再結(jié)合雙曲線方程求出中點坐標，最后將中點坐標代入拋物線方程求出的值.【詳解】因為M，N關(guān)于直線對稱，直線的斜率為，兩條垂直直線的斜率乘積為，所以直線MN的斜率.設(shè)直線MN的方程為，將其代入雙曲線可得.展開得到，即.設(shè)，，根據(jù)韋達定理，所以，則中點橫坐標.因為中點在直線上，所以.因為MN的中點在拋物線上，所以，解得或.當時，中點為，因為中點在直線上，所以；當時，中點為，在直線上，所以，解得.故實數(shù)的值為或.故答案為：或.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在下列所給的三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并加以解答．①與直線平行；②過點；③點到的距離為5．問題：已知直線過點，且_________．（1）求直線的一般式方程；（2）求圓關(guān)于直線對稱的圓的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）若選①，法一：利用兩直線平行關(guān)系求得斜率，利用點斜式可求直線方程；法二：利用平行直線系方程的方法可求解；若選②，法一：利用兩點式可求直線方程；法二，先求得直線的斜率，再用點斜式求得直線的方程；若選③，法一：設(shè)直線方程為，利用點到直線的距離公可求；法二：由于與之間距離恰為5，進而可利用兩直線的垂直關(guān)系求得斜率，利用點斜式可求直線方程；（2）求得圓圓心關(guān)于直線的稱點坐標，進而可求圓的方程.【小問1詳解】若選①，法一：因為直線的斜率為，直線與直線平行，所以直線的斜率為，直線的方程為，即．法二：因為直線與直線平行，故的方程可設(shè)為．又直線過點，則，即：．所以的方程．若選②，法一：因為直線過點及，所以直線的方程為，即；法二：因為直線過點及，所以直線的斜率．直線的方程為，即．若選③，法一：若直線斜率不存在，點到的距離為3，不合題意，斜率存在．設(shè)斜率為，其方程為，即，由得：．直線方程為．即：．法二：由于與之間距離恰為5，兩點連線的斜率為，故直線的斜率，直線方程為，即：；【小問2詳解】圓心為，半徑為2；只要求圓心關(guān)于直線的對稱圓心，則，解得，即，所以圓的方程為：.16.已知的三個頂點分別為．（1）求的外接圓的方程；（2）設(shè)，若點是圓上任意一點，試問：在平面上是否存在點，使得．若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在；【解析】【分析】（1）法一：設(shè)圓的方程為，代入點的坐標，進而解方程組可求圓的方程；法二：求得，可得的圓心是的中點，可求圓的方程；（2）假設(shè)存在，對任意的都有，計算利用恒成立可得，求解即可.【小問1詳解】法一：設(shè)圓的方程為，則，解得：，所以圓的方程為，即，法二：因為，所以，所以，所以，又因為，所以是等腰直角三角形，所以的圓心是的中點，即圓心，半徑，所以的方程為；【小問2詳解】假設(shè)存在，對任意的都有，即：，化簡得：，又滿足，即，即：，所以，解得：，即存在滿足條件．17.已知點是拋物線上的動點，過向軸作垂線段，垂足為，記垂線段PM的中點為．（1）求點的軌跡方程；（2）過點作直線與點的軌跡交于A，B兩點，且的面積為（為坐標原點），求直線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)的坐標為，則的坐標為，代入拋物線方程計算即可；（2）直曲聯(lián)立，借助韋達定理和面積公式計算即可.【小問1詳解】設(shè)的坐標為，則的坐標為又點在拋物線上，故即【小問2詳解】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組得：，有，則，S解得：所以直線的方程為，即：18.已知圓和定點為圓上的任意一點，線段PA的垂直平分線與直線PC交于點，設(shè)點的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）若是曲線上的一點，過的直線與直線分別交于S，T兩點，且為線段ST的中點．①求證：直線l與曲線有且只有一個公共點；②求的最小值（為坐標原點）．【答案】（1）（2）①證明見解析；②【解析】【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，即可得到，結(jié)合雙曲線的定義計算可得；（2）（i）設(shè)，不妨令，，即可得到，從而表示出直線的方程，再聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元、由，即可證明；（ii）由（i）求出，，再計算可得為定值，即可結(jié)合基本不等式求解.【小問1詳解】為PA的垂直平分線上一點，則，則，點的軌跡為以A，C為焦點的雙曲線，且，故點的軌跡方程為；【小問2詳解】（i）設(shè)，直線是雙曲線的漸近線，如圖所示：則：①．②，①+②得，，①-②得，，則，得，由題可知，則，得，即，直線ST的方程為，即，又點在曲線上，則，得，將方程聯(lián)立，得，得，由，可知方程有且僅有一個解，故直線與曲線有且僅有一個交點；（ii）由（i）聯(lián)立，可得，同理可得，，則，同理，所以，故，當且僅當，即時取等號，故的最小值為．【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為x1,y（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達定理求解.19.定義：一般地，當且時