/考試時間：120分鐘滿分150分一、單選題（本大題共8小題，共40分）1.已知命題，，則是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】利用含有一個量詞的命題的否定的定義求解.【詳解】解：因為命題，是存在量詞命題，所以其否定為全稱量詞命題，即，，故選：C2.下列圖象中，表示定義域和值域均為的函數(shù)是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義以及定義域和值域的概念分析即可.【詳解】選項A：定義域為，但是值域不是故錯誤；選項B：定義域不是，值域為，故錯誤；選項C：定義域和值域均為，故正確；選項D：不滿足函數(shù)的定義，故錯誤；故選：C.3.單位圓上一點繞坐標原點O逆時針方向轉(zhuǎn)動后，到達點，則點的坐標為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先用三角函數(shù)表示點坐標，然后通過旋轉(zhuǎn)可求出點坐標，利用誘導(dǎo)公式計算即可.【詳解】單位圓上一點，即，其繞坐標原點O逆時針方向轉(zhuǎn)動后，到達點，則，又，，所以.故選：A.4.已知，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】分別從充分性和必要性角度去判斷即可.【詳解】由得，由得，當，時，滿足，但不滿足；當，時，滿足，但不滿足；故“”是“”的既不充分也不必要條件，故選：D5已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將指數(shù)式兩邊同時取常用對數(shù)，然后利用對數(shù)的運算法則計算即可.【詳解】由得，所以，解得，故選：A.6.已知，，則的終邊在（）A.第一、二、三象限 B.第二、三、四象限C.第一、三、四象限 D.第一、二、四象限【答案】D【解析】【分析】先通過條件確定的范圍，再求出的范圍，進而可得角所在象限.【詳解】因為，，所以為第二象限角，即，所以，則的終邊所在象限為所在象限，即的終邊在第一、二、四象限.故選：D.7.已知，，，則，的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由條件結(jié)合數(shù)量積的運算性質(zhì)求，再由向量夾角公式求，的夾角.【詳解】因為，所以，故，又，，所以，所以，又，所以，即，的夾角為，故選：B.8.已知函數(shù)和的圖象與直線交點的橫坐標分別為a、b，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】作出函數(shù)圖像，利用反函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】設(shè)，，，，因為與互為反函數(shù)，圖像關(guān)于對稱，設(shè)它們與的交點坐標分別為，可知交點坐標也關(guān)于直線對稱，所以，即.故選：B二、多選題（本大題共3小題，共18分）9.若非空集合M，N，P滿足：，，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】先根據(jù)交集、并集運算的結(jié)果得到，然后再逐項進行判斷.【詳解】因為，，所以，所以，對于A：因為，所以，故正確；對于B：因，所以不一定成立，故錯誤；對于C：因為，所以，故正確；對于D：因為，，所以，故正確；故選：ACD.10.已知是上的增函數(shù)，那么實數(shù)的值可以是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】先分析各段函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間上單調(diào)遞增，然后結(jié)合分段點處函數(shù)值大小關(guān)系確定出的可取值.【詳解】當時，，若單調(diào)遞增，則，解得，當時，，若單調(diào)遞增，則，解得，又，解得，綜上可知，，可得AC符合.故選：AC.11.已知函數(shù)，若非空集合，，且，則下列說法中正確的是（）A.的取值與有關(guān) B.為定值C. D.【答案】BD【解析】【分析】令，從而化為，不妨設(shè)的解集為，可得，由，從而得，且，化簡，解得或，又是方程的兩個根，利用韋達定理可得，則，進而求得的取值范圍.【詳解】令，則可化為，不妨設(shè)的解集為，即，，即，故，又，且，，且，，且，故，解得，故選項A錯誤，選項B正確；，，有解，，即或，是方程的兩個根，即是方程的兩個根，故，即，解得：，，故選項C錯誤，選項D正確.故答案選：BD.【點睛】本題考查了二次不等式與二次函數(shù)、二次方程間關(guān)系的應(yīng)用，以及集合間相等的應(yīng)用，屬于難題.三、填空題（本大題共3小題，共15分）12.對任意正實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】采用常數(shù)分離法轉(zhuǎn)化為恒成立，只需求的最小值即可.【詳解】對任意正實數(shù)，不等式恒成立，即恒成立，因為，當且僅當即時取“＝”.所以故答案為：13.在中，，，平面外一點滿足，則三棱錐外接球表面積是_________．【答案】【解析】【分析】因為，所以點在平面上的射影是的外心，即為中點，而三棱錐的外接球球心一定在上，由此計算出球半徑后可得表面積．【詳解】因為，所以點在平面上的射影是的外心，又，所以是中點，如圖，由平面，平面，得，三棱錐的外接球球心在上，，，設(shè)，則由得，，所以外接球表面積為．故答案為：．14.已知函數(shù)在區(qū)間恰有2025個零點，則的一個可能取值是__________．【答案】2024．（答案不唯一）【解析】【分析】由題意可得的范圍，進而求出的范圍，求出其中的一個可得值．【詳解】令，可得，要使函數(shù)在區(qū)間恰有2025個零點，即有2025個根，因為,，，所以,，則，可得．故答案為：2024．（答案不唯一）四、解答題（本大題共5小題，共77分）15.設(shè)不等式的解集為，不等式的解集為，集合.（1）求，；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先化簡集合，再結(jié)合集合交集和補集的運算即可；（2）由，得，再結(jié)合包含關(guān)系列出不等式組，即可解.【小問1詳解】由，得，由，得，則，；【小問2詳解】若，則，當時，，此時，解得：；當時，，此時，解得：，則，綜上：16.已知函數(shù)的周期為．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】（1）（2）最大值為，最小值為.【解析】【分析】（1）由周期計算公式求出然后根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間可得答案；（2）由題可得，后由正弦函數(shù)圖象和性質(zhì)可得答案.【小問1詳解】因為函數(shù)的周期為，所以，，即，所以，令，，即，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】因為，所以，所以，即，在區(qū)間上的最大值為，最小值為.17.已知二次函數(shù)的最小值為，且是其一個零點，都有．（1）求的解析式；（2）求在區(qū)間上的最小值；（3）若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上有解，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)對稱性和最小值設(shè)頂點式，代入零點即可得到解析式；（2）分和討論即可；（3）通過分離參數(shù)法和基本不等式即可求出的范圍.【小問1詳解】因為對都有，所以的圖象關(guān)于直線對稱，又因為二次函數(shù)的最小值為，所以可設(shè)二次函數(shù)的解析式為，又因為是其一個零點，所以，解得，所以的解析式為.【小問2詳解】由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當時，，當時，，.【小問3詳解】因為關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，即不等式在上有解，所以，記，因為，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為4，所以，即，故存在實數(shù)符合題意，所求實數(shù)的取值范圍為.18.已知在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足.（1）求B；（2）如圖，若，在外取點D.且，.求四邊形ABCD面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理，結(jié)合兩角和的正弦公式進行求解即可；（2）根據(jù)余弦定理、三角形面積公式，結(jié)合輔助角公式、正弦型函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.【小問1詳解】∵，由正弦定理得，∴，∴.根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得，∵，∴，∴，∵，∴.【小問2詳解】∵，且，∴為等邊三角形.設(shè)，則在中，由余弦定理得.∴，.∴四邊形ABCD的面積，∴當，即時，.∴四邊形ABCD的面積的最大值為.19.已知函數(shù)，，設(shè)．（1）求的值；（2）是否存在這樣的負實數(shù)，使對一切恒成立，若存在，試求出的取值集合；若不存在，說明理由．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接代值計算即可；（2）首先確定函數(shù)為奇函數(shù)，并觀察出函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，然后利用單調(diào)性和奇偶性去掉，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題求