專題二：解三角形的最值與范圍問題一.正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理余弦定理正弦定理公式a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC常見變形（1）a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；（3）a∶b∶c＝sin_A∶sinB∶sinC；（4）asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA二.三角形常用面積公式（1）S＝a·ha(ha表示a邊上的高).（2）S＝absinC＝acsinB＝bcsinA＝.（3）S＝r(a＋b＋c)(r為內(nèi)切圓半徑).三.三角形中的三角函數(shù)關(guān)系（1）sin(A＋B)＝sinC；（2）cos(A＋B)＝－cosC；（5）在△ABC中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，A>B?a>b?sinA>sinB?cosA<cosB.四.三角形中的最值范圍問題處理方法1.利用基本不等式或常用不等式求最值：化角為邊余弦定理公式里有“平方和”和“積”這樣的整體，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范圍，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的條件.2、轉(zhuǎn)為三角函數(shù)求最值：化邊為角如果所求整體結(jié)構(gòu)不對稱，或者角度有更細致的要求，用余弦定理和基本不等式難以解決，這時候可以轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，消元后使得式子里只有一個角，變?yōu)槿呛瘮?shù)最值問題進行解決.要注意三角形隱含角的范圍、三角形兩邊之和大于第三邊.五.邊化角與角化邊的變換原則在解三角形的問題中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：（1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；（2）若式子中含有a、b、c的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；（3）若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；（4）代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；（6）同時出現(xiàn)兩個自由角（或三三個自由角）時，要用到三角形的內(nèi)角和定理.考向一：與三角形邊長相關(guān)的最值與范圍問題【典例解讀】故選：C.【題后反思】式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”，利用正余弦定理得到所求邊的表達式，再根據(jù)題中條件得到三角函數(shù)關(guān)系式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值和范圍.【再練一個】（陜西西安2024模擬預測）所以的最小值為，考向二：三角形內(nèi)角的三角函數(shù)值的最值與范圍問題【典例解讀】故答案為：.【題后反思】解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長、角度、面積有關(guān)的范圍問題，常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；③巧妙利用三角換元，實現(xiàn)邊化角，進而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.【再練一個】（河南周口2024高一聯(lián)考）【答案】B故選：B考向三：與三角形中的特殊線相關(guān)最值范圍問題A.B.C.2D.【典例解讀】故選：D.【題后反思】利用函數(shù)性質(zhì)解決最值問題，關(guān)鍵在于設(shè)出唯一變量，找出函數(shù)關(guān)系以及自變量的取值范圍，利用函數(shù)的單調(diào)性、對稱性求解.【再練一個】（陜西西安2024高一期中）【答案】B故選：B.考向四：與三角形的面積有關(guān)的最值范圍問題【典例解讀】【詳解】連接，故選：A.【題后反思】三角形常用面積公式（1）S＝a·ha(ha表示a邊上的高).（2）S＝absinC＝acsinB＝bcsinA＝.（3）S＝r(a＋b＋c)(r為內(nèi)切圓半徑).【再練一個】（遼寧省名校聯(lián)盟2025高三5月聯(lián)合考試）【答案】故答案為：．考向五：與三角形周長有關(guān)的最值范圍問題【典例解讀】【題后反思】三角形的周長等于三邊之和.三角形的周長的最值或范圍問題一是轉(zhuǎn)化內(nèi)角的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解；二是轉(zhuǎn)化為兩邊或一邊的代數(shù)式，用函數(shù)的性質(zhì)或不等式求解.【再練一個】（湖北省鄂南高級中學等三校聯(lián)考2025高三4月模擬）【答案】故答案為：考向六：復雜邊角關(guān)系式的最值和范圍問題【典例解讀】故選：C.【題后反思】復雜邊角關(guān)系問題要理清邊角之間的關(guān)系，通過邊化角、角化邊等手段將變量統(tǒng)一，再利用基本不等式、三角函數(shù)、二次函數(shù)等求解.【再練一個】（內(nèi)蒙古呼和浩特2024二模）A． B． C． D．【答案】B故選：B（湖北荊州高一2024聯(lián)考）【答案】C

故選：C.（安徽合肥2024模擬預測）A． B． C． D．【