15.3等腰三角形第3課時(shí)等邊三角形的性質(zhì)與判定第十五章軸對(duì)稱01基礎(chǔ)進(jìn)階02素能攀升03思維拓展目錄

1.

（2023·金昌）如圖，BD是等邊三角形ABC的邊AC上的高，以點(diǎn)D

為圓心，DB長(zhǎng)為半徑畫弧，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接DE，則

∠DEC的度數(shù)為（

C

）A.

20°

B.

25°

C.

30°

D.

35°2.如圖，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足為E.

若BE∥AC，則∠C的度數(shù)為

?.C60°

（第1題）（第2題）123456789103.

（2024·濟(jì)南槐蔭期末）如圖，△ABC為等邊三角形，BD平分

∠ABC交AC于點(diǎn)D，DE∥BC交AB于點(diǎn)E.

求證：（第3題）（1）

△ADE是等邊三角形.解：（1）

∵

△ABC為等邊三角形，∴

∠A＝∠ABC＝∠C＝60°.∵

DE∥BC，∴

∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°.∴

∠A＝∠AED＝∠ADE.

∴

△ADE是等邊三角形.12345678910

（第3題）12345678910

4.如圖，在等邊三角形ABC中，D，E分別為AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)，BD

＝2AE，連接DE，以DE為邊在△ABC內(nèi)作等邊三角形DEF，連接

CF.

當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B重合）時(shí)，∠ECF的度數(shù)

的變化情況是（

A

）A.不變B.變小C.變大D.先變大后變小A（第4題）123456789105.如圖，∠ABC＝120°，BD平分∠ABC，∠DAC＝60°.若AB＝

2，BC＝3，則BD的長(zhǎng)為（

A

）A.

5B.

7C.

8D.

9（第5題）A123456789106.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝4，且E

為邊BC的中點(diǎn)，連接AE，以AE為邊向上作等邊三角形ADE，連接

BD，則BD的長(zhǎng)為

?.（第6題）6

123456789107.

如圖①，△ABC

是等邊三角形，點(diǎn)D在△ABC

內(nèi)部，且∠BDC＝120°.（1）設(shè)∠ABD＝α，求∠ACD的度數(shù)（用含α的式子表示）.解：

（1）

∵

△ABC

是等邊三角形，∴

∠ABC＝∠ACB＝60°，即

∠ABD＋∠DBC＝60°，∠ACD＋∠BCD＝60°.∵

∠BDC＝

120°，∴

∠DBC＋∠BCD＝180°－120°＝60°.∴易得∠ABD＋

∠ACD＝60°.∴

∠ACD＝60°－∠ABD＝60°－α.

解：（1）

∵

△ABC

是等邊三角形，∴

∠ABC＝∠ACB＝60°，即

∠ABD＋∠DBC＝60°，∠ACD＋∠BCD＝60°.∵

∠BDC＝

120°，∴

∠DBC＋∠BCD＝180°－120°＝60°.∴易得∠ABD＋

∠ACD＝60°.∴

∠ACD＝60°－∠ABD＝60°－α.12345678910（2）如圖②，E是BC的中點(diǎn)，連接AD，DE，用等式表示線段AD與

DE之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

（第7題）（2）

AD＝2DE.

延長(zhǎng)CD至點(diǎn)F，使DF＝BD，連接BF，AF.

∵

∠BDC＝120°，∴

∠BDF＝180°－∠BDC＝60°.∵

DF＝BD，

∴

△BDF是等邊三角形.∴

BF＝DF＝BD，∠FBD＝∠BFD＝60°.

∴

∠ABF＋∠ABD＝60°.∵

∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝60°，

∴

∠ABF＝∠DBC.

∵

△ABC是等邊三角形，∴

AB＝BC.

12345678910∴

△ABF≌△CBD.

∴

AF＝CD，∠BFA＝∠BDC＝120°.∴

∠AFD＝∠BFA－∠BFD＝60°.延長(zhǎng)DE至點(diǎn)G，使GE＝DE，連接BG.

∵

E是BC的中點(diǎn)，∴

BE＝CE.

又∵

∠BEG＝∠CED，GE＝DE，

∴

△BEG≌△CED.

∴

BG＝CD，∠GBE＝∠DCE.

∴

BG＝AF.

123456789108.如圖，在等邊三角形ABC中，AB＝9cm，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿邊CB向

點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿邊BA向點(diǎn)A以5cm/s的速度

移動(dòng).P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，它們移動(dòng)的時(shí)間為ts.（第8題）（1）試用含t的代數(shù)式表示BP和BQ的長(zhǎng).解：（1）

∵

△ABC是等邊三角形，∴

BC＝AB＝9cm.∵

點(diǎn)P的速度為2cm/s，時(shí)間為ts，∴

CP＝2tcm.∴

BP＝BC－CP＝（9－2t）cm.∵

點(diǎn)Q的速度為5cm/s，時(shí)間為ts，∴

BQ＝5tcm.12345678910（2）移動(dòng)幾秒時(shí)，△PBQ為等邊三角形？

（第8題）12345678910（3）若P，Q兩點(diǎn)分別從C，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，并且都按順時(shí)針?lè)较蜓亍鰽BC的三邊移動(dòng)，則幾秒時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？（3）

設(shè)ts時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P第一次相遇.根據(jù)題意，得5t－2t＝9×2，解得t＝6.∴

6s時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P第一次相遇.當(dāng)t＝6時(shí)，點(diǎn)P移動(dòng)的路程為2×6＝12（cm），而9＜12＜18，即此時(shí)點(diǎn)P在邊AB上.∴

6s時(shí)點(diǎn)P

與點(diǎn)Q第一次在△ABC的邊AB上相遇.（第8題）12345678910

9.

（2024·安陽(yáng)林州期末）如圖，C是線段AB上除點(diǎn)A，B外的任意

一點(diǎn)，分別以AC，BC為邊在線段AB的同側(cè)作等邊三角形ACD和等

邊三角形BCE，連接AE交DC于點(diǎn)M，連接BD交CE于點(diǎn)N，連接

MN.

求證：（第9題）12345678910（1）

AE＝BD.

（第9題）12345678910（2）

MN∥AB.

（第9題）1234567891010.如圖，△ABC，△CDE都是等邊三角形，AD，BE相交于點(diǎn)O，

M，N分別是線段AD，BE的中點(diǎn)，連接MN，CM，CN.

（第10題）（1）求證：AD＝BE.

12345678910（2）求∠DOE的度數(shù).（2）

∵

△ACD≌△BCE，∴

∠ADC＝∠BEC.

∵

△CDE是等邊三角

形，∴

∠CED＝∠CDE＝60°.∴

∠ADE＋∠BED＝∠A