第2章6.3函數(shù)的最值基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)目錄索引

課程標(biāo)準(zhǔn)1.能利用導(dǎo)數(shù)求某些函數(shù)在給定閉區(qū)間上不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的最大值、最小值.2.體會(huì)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值、最大(小)值的關(guān)系.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過知識(shí)點(diǎn)

函數(shù)最值的定義1.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值點(diǎn)x0指的是:函數(shù)f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)所有點(diǎn)處的函數(shù)值都不超過f(x0)(如圖所示).x0∈[a,b]由上圖可以看出,最大值或者在極大值點(diǎn)(也是導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn))取得,或者在區(qū)間的端點(diǎn)取得.因此,要想求函數(shù)的最大值,一般首先求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn),然后將所有導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較,其中最大的值即為函數(shù)的最大值.函數(shù)的最小值點(diǎn)和最小值也是用類似的方法定義.2.函數(shù)的最大值和最小值統(tǒng)稱為

.

最值名師點(diǎn)睛1.給定的區(qū)間必須是閉區(qū)間,如果是開區(qū)間,盡管函數(shù)圖象是連續(xù)的,那么它也不一定有最大值和最小值.例如函數(shù)f(x)=在區(qū)間(0,2)內(nèi)的圖象是連續(xù)不斷的曲線,但在該區(qū)間上,函數(shù)f(x)既沒有最大值,也沒有最小值.2.所給函數(shù)的圖象必須是連續(xù)曲線,否則不一定有最值,例如函數(shù)

在[-1,1]上只有最大值,而沒有最小值.3.函數(shù)的最值是一個(gè)整體性概念,最大值(最小值)必須是整個(gè)定義的區(qū)間內(nèi)所有函數(shù)值中的最大值(最小值).函數(shù)在閉區(qū)間上若存在最大值或最小值,則最大值或最小值只能各有一個(gè),具有唯一性;而極大值和極小值可能有多個(gè),也可能沒有.4.極值只能在函數(shù)區(qū)間的內(nèi)部取得,而最值可以在區(qū)間的端點(diǎn)取得,有極值的不一定有最值,有最值的不一定有極值,極值有可能是最值,最值只要不在端點(diǎn)處則一定是極值.思考辨析你能類比最大值點(diǎn)和最大值的定義方法,給出最小值點(diǎn)和最小值的定義嗎?提示

函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的最小值點(diǎn)x0指的是:函數(shù)f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)所有點(diǎn)處的函數(shù)值都大于或等于f(x0),函數(shù)的最小值可以在區(qū)間的內(nèi)部取得,也可以在區(qū)間的端點(diǎn)處取得,要想求函數(shù)的最小值,一般首先求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn),然后將所有導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較,其中最小的值即為函數(shù)的最小值.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)函數(shù)的最大值不一定是函數(shù)的極大值.(

)(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值一定在區(qū)間端點(diǎn)處取得.(

)(3)有極值的函數(shù)一定有最值,有最值的函數(shù)不一定有極值.(

)√××2.下列結(jié)論正確的是(

)A.若f(x)在[a,b]上有極大值,則極大值一定是[a,b]上的最大值B.若f(x)在[a,b]上有極小值,則極小值一定是[a,b]上的最小值C.若f(x)在[a,b]上有極大值,則極小值一定是在x=a或x=b處取得D.若函數(shù)f(x)的圖象在區(qū)間[a,b]上是一條連續(xù)不斷的曲線,則f(x)在區(qū)間[a,b]上存在最大值和最小值D解析

函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的極值不一定是最值,最值也不一定是極值,極值一定不會(huì)在端點(diǎn)處取得,若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,則它在區(qū)間[a,b]上一定存在最大值和最小值.3.要做一個(gè)圓錐形漏斗,其母線長(zhǎng)為20cm,要使其體積最大,則高應(yīng)為(

)B重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一求函數(shù)的最值角度1.求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值【例1】

求下列函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的最值:(1)f(x)=x3-3x2-10,x∈[-1,1];(2)f(x)=2sin

x-x,x∈解

(1)f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)=0,得x=0(x=2舍去).當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:x-1(-1,0)0(0,1)1f'(x)

+0-

f(x)-14↗極大值-10↘-12所以當(dāng)x=-1時(shí),函數(shù)取最小值f(-1)=-14,當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)取最大值f(0)=-10.當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:規(guī)律方法

求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最值的方法

變式訓(xùn)練1函數(shù)f(x)=cosx+(x+1)sin

x+1在區(qū)間[0,2π]上的最大值為(

)D角度2.求函數(shù)在開區(qū)間或無窮區(qū)間內(nèi)的最值【例2】

求下列函數(shù)的最值:(1)f(x)=;(2)f(x)=(x2-3)ex.解

(1),令f'(x)=0,得x=-1或3,容易驗(yàn)證函數(shù)在x=-1處取得極小值,在x=3處取得極大值,又因?yàn)楫?dāng)x=1時(shí)y=0,當(dāng)x<1時(shí)y<0,當(dāng)x>1時(shí)y>0.據(jù)此可以畫出函數(shù)的大致圖象,如圖所示.(2)函數(shù)的定義域是R,且f'(x)=2x·ex+(x2-3)ex=ex(x2+2x-3),令f'(x)>0,得x>1或x<-3;令f'(x)<0,得-3<x<1,所以函數(shù)f(x)在(-∞,-3)和(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,在(-3,1)內(nèi)單調(diào)遞減,因此函數(shù)f(x)在x=-3處取得極大值,極大值等于f(-3)=6e-3;在x=1處取得極小值,極小值等于f(1)=-2e.規(guī)律方法

求函數(shù)在開區(qū)間或無窮區(qū)間內(nèi)最值的方法求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)內(nèi)的最值,不僅要研究其極值情況,還要研究其單調(diào)性,并通過單調(diào)性和極值情況,畫出函數(shù)的大致圖象,然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值.C令f'(x)>0,解得x>1,令f'(x)<0,解得0<x<1,則f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,故f(x)的最小值是f(1)=,故選C.探究點(diǎn)二含有參數(shù)的函數(shù)最值問題【例3】

已知f(x)=ax-ln

x,a∈R.(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程.(2)是否存在實(shí)數(shù)a,使f(x)在區(qū)間(0,e]上的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,說明理由.規(guī)律方法

對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論,其實(shí)質(zhì)是討論導(dǎo)函數(shù)f'(x)大于0、等于0、小于0三種情況.若導(dǎo)函數(shù)恒大于等于0或小于等于0,且使f'(x)=0成立的值是孤立的,則函數(shù)在已知區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),最值在端點(diǎn)處取得;若導(dǎo)函數(shù)可能等于0,則求出極值點(diǎn)后求極值,再與端點(diǎn)值比較后確定最值.變式訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)=(x-k)ex.(1)求f(x)的極值;(2)求f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值.解

(1)由f(x)=(x-k)ex,可得f'(x)=(x-k+1)ex,令f'(x)=0,解得x=k-1,當(dāng)x變化時(shí),f(x)與f'(x)的變化情況如下表:x(-∞,k-1)k-1(k-1,+∞)f'(x)-0+f(x)↘-ek-1↗所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,k-1);單調(diào)遞增區(qū)間是(k-1,+∞).所以f(x)有極小值f(k-1)=-ek-1,無極大值.(2)當(dāng)k-1≤0,即k≤1時(shí),f'(x)=(x-k+1)ex≥0在x∈[0,1]上恒成立,則函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(0)=-k;當(dāng)0<k-1<1,即1<k<2時(shí),由(1)知f(x)在[0,k-1]上單調(diào)遞減,在(k-1,1]上單調(diào)遞增,所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(k-1)=-ek-1;當(dāng)k-1≥1,即k≥2時(shí),f'(x)=(x-k+1)ex≤0在x∈[0,1]上恒成立,則函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(1)=(1-k)e.綜上,當(dāng)k≤1時(shí),f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為-k;當(dāng)1<k<2時(shí),f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為-ek-1;當(dāng)k≥2時(shí),f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為(1-k)e.探究點(diǎn)三由函數(shù)的最值求參數(shù)【例4】

(1)已知函數(shù)f(x)=ax3-6ax2+b,在x∈[-1,2]上的最大值為3,最小值為-29,求a,b的值.(2)已知h(x)=x3+3x2-9x+1在區(qū)間[k,2]上的最大值是28,求k的取值范圍.解

(1)由題設(shè)知a≠0,否則f(x)=b為常函數(shù),與題設(shè)矛盾.求導(dǎo)得f'(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),令f'(x)=0,得x1=0,x2=4(舍去).①當(dāng)a>0,且當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:x-1(-1,0)0(0,2)2f'(x)

+0-

f(x)-7a+b↗極大值b↘-16a+b由表可知,當(dāng)x=0時(shí),f(x)取得極大值b,也是函數(shù)在[-1,2]上的最大值,∴f(0)=b=3.又f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3<f(-1),∴f(2)=-16a+3=-29,解得a=2.②當(dāng)a<0時(shí),同理可得當(dāng)x=0時(shí),f(x)取得極小值b,也就是函數(shù)在[-1,2]上的最小值,∴f(0)=b=-29.又f(-1)=-7a-29,f(2)=-16a-29>f(-1),∴f(2)=-16a-29=3,解得a=-2.綜上可得a=2,b=3或a=-2,b=-29.(2)h(x)=x3+3x2-9x+1,h'(x)=3x2+6x-9.令h'(x)=0,解得x1=-3,x2=1,當(dāng)x變化時(shí),h'(x)及h(x)的變化情況如下表:x(-∞,-3)-3(-3,1)1(1,+∞)h'(x)+0-0+h(x)↗極大值28↘極小值-4↗當(dāng)x=-3時(shí),h(x)取極大值28;當(dāng)x=1時(shí),h(x)取極小值-4.而h(2)=3<h(-3)=28,∴如果h(x)在區(qū)間[k,2]上的最大值為28,則k≤-3.即k的取值范圍為(-∞,-3].規(guī)律方法

1.已知函數(shù)在某區(qū)間上的最值求參數(shù)的值(范圍)是求函數(shù)最值的逆向思維,一般先求導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值點(diǎn),探索最值點(diǎn),根據(jù)已知最值列方程(不等式)解決問題.其中注意分類討論思想的應(yīng)用.2.理解運(yùn)算對(duì)象,選擇運(yùn)算方法,求得運(yùn)算結(jié)果,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).變式訓(xùn)練4設(shè)函數(shù)f(x)=ln

x+,m>0,求f(x)的最小值為2時(shí)的m的值.解

∵f'(x)=(x>0),∴當(dāng)x∈(0,m)時(shí),f'(x)<0,f(x)在(0,m)內(nèi)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(m,+∞)時(shí),f'(x)>0,f(x)在(m,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,∴當(dāng)x=m時(shí),f(x)取得極小值,也是最小值,又最小值為2,∴f(m)=ln

m+=2,∴m=e.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)求函數(shù)的最值.(2)含有參數(shù)的函數(shù)的最值問題.(3)由函數(shù)的最值求參數(shù).2.方法歸納:分類討論、數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū):(1)忽略函數(shù)的定義域;(2)分類討論的標(biāo)準(zhǔn)分析不清.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)123451.

函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象如圖所示,以下說法錯(cuò)誤的是(

)A.函數(shù)y=f(x)在x=-4處取得最小值B.x=0是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn)C.y=f(x)在區(qū)間(-4,1)內(nèi)單調(diào)遞增D.y=f(x)在x=1處切線的斜率大于零B解析

對(duì)于A,因?yàn)楫?dāng)x<-4時(shí),f'(x)<0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x≥-4時(shí),f'(x)≥0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞增,所以y=f(x)在x=-4處取得最小值,故A正確;對(duì)于B,當(dāng)-4<x<0時(shí),f'(x)>0,當(dāng)x>0時(shí),f'(x)>0,所以x=0不是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn),故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,當(dāng)-4<x<1時(shí),f'(x)≥0,y=f(x)在區(qū)間(-4,1)內(nèi)單調(diào)遞增,故C正確;對(duì)于D,因?yàn)閒'(1)>0,y=f(x)在x=1處切線的斜率大于零,故D正確.故選B.12345123452.[2024四川成都期末]已知函數(shù)f(x)=lnx-ax存在最大值0,則a的值為(

)A.1 B.2 C.e D.D12345123453.(多選題)對(duì)于函數(shù)f(x)=x3-3x,下列結(jié)論中正確的是(

)A.f(x)是奇函數(shù)B.f(x)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞減C.在x=-1處取得極大值-2D.函數(shù)f(x)的值域是[-2,2]AB解析

因?yàn)閷?duì)?x∈R,f(-x)=-x3+3x=-f(