第六章§5正態(tài)分布基礎落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學以致用·隨堂檢測促達標目錄索引

課程標準1.通過誤差模型,了解服從正態(tài)分布的隨機變量.借助頻率分布直方圖,了解正態(tài)分布的特征及均值、方差.2.掌握正態(tài)分布的定義,會利用正態(tài)分布解決實際問題.3.借助正態(tài)分布中的“3σ原則”計算正態(tài)分布X~N(μ,σ2)在某一區(qū)間內取值的概率.基礎落實·必備知識一遍過知識點1

正態(tài)分布的概念及特點1.概念

與之前學過的離散型隨機變量區(qū)分由誤差引起的連續(xù)型隨機變量其分布密度函數圖象如圖所示,對應的分布密度函數解析式為φμ,,x∈(-∞,+∞),其中實數μ,σ(σ>0)為參數,這一類隨機變量X的分布密度(函數)稱為正態(tài)分布密度(函數),簡稱

,對應的圖象為正態(tài)分布密度曲線,簡稱

.

正態(tài)分布

正態(tài)曲線

正態(tài)分布是最常見、最重要的連續(xù)型隨機變量的分布,是刻畫誤差分布的重要模型,因此也稱為

.

如果隨機變量X服從正態(tài)分布,記為

,其中EX=

,DX=

.

誤差模型X~N(μ,σ2)

μσ22.特點如果一個隨機變量X服從正態(tài)分布,那么對于任何實數a,b(a<b),隨機變量X在區(qū)間(a,b]的概率可以用P(a<X≤b)來表示.它的幾何意義就是隨機變量X的分布密度曲線在區(qū)間(a,b]對應的曲邊梯形面積的值,如圖.思考辨析1.正態(tài)分布函數中的μ,σ的含義是什么?2.頻率分布直方圖隨著組距的增多其形狀會越來越像一條鐘形曲線,那么這條曲線是否存在函數解析式呢?提示

若X~N(μ,σ2),則EX=μ,DX=σ2,其中μ反映隨機變量取值的平均水平,σ衡量隨機變量總體波動大小.提示

存在.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)正態(tài)分布是對連續(xù)型隨機變量而言的.(

)(2)正態(tài)分布密度函數中的參數μ和σ的意義分別是樣本的均值和方差.(

)√×2.[人教A版教材習題]舉出兩個服從正態(tài)分布的隨機變量的例子.解

答案不唯一.(1)某地區(qū)16歲男孩的身高分布可以近似看成服從正態(tài)分布;(2)某年某地區(qū)考生的高考成績的分布近似看成服從正態(tài)分布.知識點2

正態(tài)曲線的性質正態(tài)曲線有如下性質:(1)曲線在x軸的上方,與x軸不相交.(2)曲線是單峰的,關于直線x=μ對稱.(3)曲線的最高點位于x=μ處.(4)當x<μ時,曲線上升;當x>μ時,曲線下降;并且當曲線向左、右兩邊無限延伸時,以x軸為漸近線(如圖).因為正態(tài)分布完全由μ和σ確定,所以正態(tài)曲線還具有下列特點:(1)當σ一定時,曲線的位置由μ確定,曲線隨著μ的變化而沿x軸平移.(2)當μ一定時,曲線的形狀由σ確定.σ越大,曲線越“矮胖”,表示總體的分布越分散;σ越小,曲線越“高瘦”,表示總體的分布越集中.思考辨析[人教A版教材習題]設隨機變量X~N(0,22),隨機變量Y~N(0,32),畫出正態(tài)分布密度曲線草圖,你能指出P(X≤-2)與P(X≤2)的關系,以及P(|X|≤1)與P(|Y|≤1)之間的大小關系嗎?提示

正態(tài)分布密度曲線草圖如圖所示.∵X~N(0,22),∴P(X≤-2)=P(X≥2),∴P(X≤2)=1-P(X≥2)=1-P(X≤-2),∴P(X≤-2)+P(X≤2)=1.由圖易知P(|X|>1)<P(|Y|>1),且P(|X|≤1)=1-P(|X|>1),P(|Y|≤1)=1-P(|Y|>1),故1-P(|X|>1)>1-P(|Y|>1),即P(|X|≤1)>P(|Y|≤1).自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)正態(tài)曲線是一條鐘形曲線.(

)(2)正態(tài)曲線是單峰的,其與x軸圍成的面積是隨參數μ,σ的變化而變化的.(

)(3)正態(tài)曲線可以關于y軸對稱.(

)√×√D知識點3

正態(tài)分布的隨機變量在三個特殊區(qū)間內取值的概率值及3σ原則1.三個常用概率值如圖,正態(tài)分布隨機變量X在區(qū)間(μ-σ,μ+σ](σ>0)上取值的概率為陰影部分的面積.特別地,P(μ-σ<X≤μ+σ)≈

,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈

,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈

.

0.68260.95440.99742.3σ原則隨機變量X在區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ]外取值的概率只有0.3%,通常認為這種情況在一次試驗中幾乎是不可能發(fā)生的,認為是小概率事件.因此,在實際應用中,通常認為服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機變量X只取區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ]之間的值,并稱之為3σ原則.名師點睛對小概率事件的正確理解(1)小概率事件是針對“一次試驗”來說的,如果試驗次數多了,該事件當然是很有可能發(fā)生的;(2)當我們運用“小概率事件幾乎不可能發(fā)生”的原理進行推斷時,也有0.3%犯錯的可能.思考辨析

如圖,若服從正態(tài)分布的隨機變量X在區(qū)間(μ+σ,+∞)內的概率為0.1,則在區(qū)間(μ-σ,μ+σ](σ>0)上的概率是多少?提示

0.8.自主診斷1.(多選題)已知在某市的一次學情檢測中,學生的數學成績X服從正態(tài)分布N(105,100),其中90分為及格線,120分為優(yōu)秀線,下列說法正確的是(

)(若隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.6826,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9544,P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9974)A.該市學生數學成績的期望為105B.該市學生數學成績的標準差為100C.該市學生數學成績及格率超過0.99D.該市學生數學成績不及格的人數和優(yōu)秀的人數大致相等AD2.[人教A版教材習題]某市高二年級男生的身高X(單位:cm)近似服從正態(tài)分布N(170,52),隨機選擇一名本市高二年級的男生,求下列事件的概率:(1)165<X≤175;(2)X≤165;(3)X>175.解

∵X~N(170,52),∴μ=170,σ=5.∴(1)P(165<X≤175)=

P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682

6.(3)P(X>175)=P(X≤165)≈0.158

7.3.[人教A版教材習題]袋裝食鹽標準質量為400g,規(guī)定誤差的絕對值不超過4g就認為合格.假設誤差服從正態(tài)分布,隨機抽取100袋食鹽,誤差的樣本均值為0,樣本方差為4.請你估計這批袋裝食鹽的合格率.解

設誤差為X,由題意得X~N(0,4),∴μ=0,σ=2,∴P(-4≤X≤4)≈0.954

4.因此估計這批袋裝食鹽的合格率為95.44%

.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一正態(tài)分布的概念及正態(tài)曲線的性質A.-2 B.0 C.1 D.2D★(2)如圖所示是一個正態(tài)曲線,試根據該圖象寫出其正態(tài)分布的密度函數的解析式,求出隨機變量的期望和方差.規(guī)律方法

利用正態(tài)曲線的性質可以求參數μ,σ,具體方法如下:(1)正態(tài)曲線是單峰的,它關于直線x=μ對稱,由此性質結合圖象求μ.(2)正態(tài)曲線在x=μ處達到峰值

,由此性質結合圖象可求σ.變式訓練1(1)下列函數是正態(tài)分布密度函數的是(

)BA.σ1>σ2>σ3

B.σ3>σ2>σ1C.σ1>σ3>σ2

D.σ2>σ1>σ3A解析

由σ的意義可知,圖象越“高瘦”,數據越集中,σ2越小,故有σ1>σ2>σ3.探究點二服從正態(tài)分布的變量的概率問題【例2】

(1)已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,則P(0<ξ≤2)=(

)A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2C解析

∵隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2),∴μ=2,圖象的對稱軸是直線x=2.∵P(ξ<4)=0.8,∴P(ξ≥4)=P(ξ≤0)=0.2,∴P(0<ξ≤4)=0.6,∴P(0<ξ≤2)=0.3.故選C.★(2)在某項測量中,測量結果服從正態(tài)分布N(1,4),求正態(tài)總體X在(-1,1]上取值的概率.解

由題意得μ=1,σ=2,所以P(-1<X≤3)=P(1-2<X≤1+2)≈0.682

6.又因為正態(tài)曲線關于x=1對稱,所以P(-1<X≤1)=P(1<X<3)=P(-1<X≤3)≈0.341

3.規(guī)律方法

利用正態(tài)分布求概率的兩個方法

變式訓練2(1)若隨機變量ξ~N(10,σ2),P(9<ξ≤11)=0.4,則P(ξ>11)=

.

0.3解析

由P(9<ξ≤11)=0.4且正態(tài)曲線以ξ=10為對稱軸知,P(9<ξ≤11)=2P(10<ξ≤11)=0.4,∴P(10<ξ≤11)=0.2.∵P(ξ≥10)=0.5,∴P(ξ>11)=0.5-0.2=0.3.★(2)設隨機變量X~N(2,9),若P(X>c+1)=P(X<c-1).①求c的值;②求P(-4<X≤8).解

①由X~N(2,9)可知,正態(tài)分布密度函數圖象關于直線x=2對稱(如圖所示),又P(X>c+1)=P(X<c-1),故有2-(c-1)=(c+1)-2,所以c=2.②P(-4<X≤8)=P(2-2×3<X≤2+2×3)≈0.954

4.探究點三正態(tài)分布的實際應用【例3】

在某次大型考試中,某班同學的成績服從正態(tài)分布N(80,52),已知該班同學中成績在80~85分的有17人,該班成績在90分以上的同學有多少人?解

∵成績服從正態(tài)分布N(80,52),∴μ=80,σ=5,則μ-σ=75,μ+σ=85.∴成績在(75,85]上的同學占全班同學的68.26%,成績在[80,85]上的同學占全班同學的34.13%.設該班有x名同學,則x·34.13%=17,解得x≈50.∵μ-2σ=80-10=70,μ+2σ=80+10=90,∴成績在(70,90]上的同學占全班同學的95.44%,成績在90分以上的同學占全班同學的2.28%.即有50×2.28%≈1(人),即成績在90分以上的僅有1人.規(guī)律方法

1.本題利用轉化的思想方法,把普通的區(qū)間轉化為3σ區(qū)間,由特殊區(qū)間的概率值求出.2.解答正態(tài)分布的實際應用題,其關鍵是如何轉化,同時應熟練掌握正態(tài)分布在(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ],(μ-3σ,μ+3σ]三個區(qū)間內的概率.在此過程中用到歸納思想和數形結合思想.變式訓練3某地高三學生有15000名,在一次調研測試中,數學成績ξ服從正態(tài)分布N(100,σ2),已知P(80<ξ<120)=0.70,若以按成績分層隨機抽樣的方式取100份試卷進行分析,則應從120分以上的試卷中抽取

份.

15解析

根據正態(tài)分布N(100,σ2),μ=100,P(80<ξ<120)=0.7,所以根據分層隨機抽樣,可得120分以上抽取份數為100×0.15=15.學以致用·隨堂檢測促達標12345C12345A.μ1<μ2,σ1<σ2

B.μ1<μ2,σ1>σ2C.μ1>μ2,σ1<σ2

D.μ1>μ2,σ1>σ2A123453.(多選題)[2024廣東廣州模擬]已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(0,1),定義函數f(x)為X取值不超過x的概率,即f(x)=P(X≤x).若x>0,則(

)A.f(-x)=1-f(x)B.f(2x)=2f(x)C.f(x)在(0,+∞)內是減函數D.P(|X|≤x)=2f(x)-1AD解析

因為隨機變量X服從正態(tài)分布N(0,1),所以f(-x)=P(X≤-x)=P(X>x)=1-P(X≤x)=1-f(x),故A正確;f(2x)=P(X≤2x),2f(x)=2P(X≤x),因為x>0,所以f(x)=P(X≤x)>,所以f(2x)=2f(x)不成立,故B不正確;因為x>0,所以當x增大時,f(x)=P(X≤x)增大,故