專題14有理數的乘方與有理數的混合運算TOC\o"13"\h\z\u預習目標 1新課輕松學 2新知速通 2題型探究 4題型1、有理數乘方的概念 4題型2、有理數乘方的運算 7題型3、乘方運算的符號規(guī)律 13題型4、有理數乘方的逆運算及簡算 17題型5、偶次冪的非負性 22題型6、有理數乘方的實際應用 27題型7、有理數乘方的新定義問題 34題型8、含乘方的有理數混合運算 42題型9、有理數混合運算——程序框圖 49題型10、有理數混合運算——24點游戲 55基礎通關 58拓展提優(yōu) 761.理解并掌握有理數的乘方，冪，底數，指數的概念及意義；2.會求有理數的正整數指數冪；3.

熟練掌握有理數混合運算（含乘方）順序和法則；4.感受發(fā)現(xiàn)問題的過程中體會到從特殊到一般的思考方法，從而增進學好數學的自信心?！舅伎?】手工拉面是我國的傳統(tǒng)面食，制作時，拉面師傅將一團和好的面，揉搓成1根長條后，手握兩端用力拉長，然后將長條對折，再拉長，再對折（每次對折稱為一扣），如此反復操作，連續(xù)拉扣若干次后，便成了許多細細|的面條。你能算出拉扣7次后共有多少根面條嗎？【思考2】(1)邊長為a的正方形的面積為___________；(2)棱長為a的正方體的體積為___________；(3)這兩個過程有什么簡單的寫法嗎？（類比單位的寫法）(4)這種寫法讀作什么呢？【乘方的趣事】關于國際象棋的起源，有一個傳說：在古時候，在某個王國里有一位聰明的大臣，他發(fā)明了國際象棋，獻給了國王，國王從此迷上了下棋。為了對聰明的大臣表示感謝，國王答應滿足這個大臣的一個要求。大臣說：“第1格放1粒小麥，第2格放2粒小麥，第3格放4粒小麥，然后是8粒、16粒、32粒…，一直到第64格……即每一個次序在后的格子中放的小麥都必須是前一個格子麥粒數目的兩倍，直到最后一個格子放滿為止”。國王哈哈大笑，慷慨地答應了大臣的要求。然而，國王最終發(fā)現(xiàn)，按照與大臣的約定，全印度的麥子竟然連棋盤一小半格子數目都不夠。大臣索要的麥粒數目實際上是天文數字，總數將是一個十九位數，折算重量約為2000多億噸，即使現(xiàn)代，全球小麥的年產量也不過是數億噸。1.有理數的乘方乘方的概念：求相同因數的積的運算叫作乘方，相同因數叫作底數，相同因數的個數叫作指數，乘方運算的結果叫作冪。乘方運算本質上是乘法運算，它是同一個因數連乘的簡便形式。一般地，個相同的乘數相乘，即，記作，讀作“的次方”；其中叫做底數，叫做指數，叫做冪。2．整數指數冪的符號規(guī)律1）正數的任何次冪都是正數；2）負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數，即“奇負偶正”；3）0的任何正整數次冪都是0。注意：①除0以外的任何數的“0次冪”結果為1；②乘方運算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表沒有，一個數可以看作是這個數本身的1次方；③指數是2時讀作平方(或二次方)，指數是3時讀作立方(或三次方)．例如，n2讀作“n的平方”(或“n的二次方”)，n3讀作“n的立方”(或“n的三次方”④指數n是正整數，底數a可以是任意有理數．⑤書寫冪時，當負數或分數作為底數時，要先用括號將底數擴上，再在其右上角寫指數，指數要寫得小一些．如：(-3)5⑥在運算時要看清楚底數和指數到底是誰；⑦帶分數的乘方運算，一定要先化成假分數后再運算；⑧乘方運算，代表的是多個相同乘數相乘，要與乘法運算區(qū)分開來。3．偶次冪具有非負性任何一個數的偶數次冪都是非負數．4．有理數的混合運算1）有理數混合運算定義：含有有理數的加，減，乘，除，乘方五種基本運算中的多種運算叫做有理數的混合運算．2）有理數混合運算的順序①先乘方，再乘除，最后加減；②同級運算，從左到右進行；③如有括號，先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行。題型1、有理數乘方的概念【解題技巧】個相同的乘數相乘，記作，讀作“的次方”；其中：叫做底數，叫做指數，叫做冪。（2）在中，底數是，指數是，意義是．【答案】3525的平方的相反數【分析】本題考查了有理數的乘方，熟練掌握乘方的意義是解本題的關鍵．在中，a是底數，n是指數．利用乘方的意義即可得到結果．（2）在中，底數是，指數是2，意義是5的平方的相反數；故答案為：，3；，2，5的平方的相反數．A．底數相同，運算結果相同 B．底數相同，運算結果不同C．底數不同，運算結果相同 D．底數不同，運算結果不同【答案】C【分析】本題主要考查了冪的認識和運算，準確分析判斷是解題的關鍵．根據冪的性質判斷即可．故選：C．例3．（2025·吉林長春·模擬預測）可表示（

）A．五個2相加 B．兩個5相加 C．五個2相乘 D．兩個5相乘【答案】C【分析】本題主要考查有理數的乘方，牢記有理數乘方的定義是解題的關鍵．根據有理數乘方的定義（個相同的因數相乘，記作），即可求得答案．【詳解】解：表示個2相乘．故選：C．【答案】A【分析】本題考查了冪的定義，冪的乘方的運算，根據冪的定義化簡即可，熟練計算是解題的關鍵．故選：A．A．7個相加 B．12個k相加 C．4個相乘 D．7個相乘【答案】C【分析】本題考查了冪的乘方，根據冪的乘方的含義即可確定．熟練掌握冪的乘方的含義是解題的關鍵．故選：C．變式1．（2425七年級上·黑龍江·課后作業(yè)）（1）的底數是，指數是；（3）的底數是，指數是．【分析】此題主要考查冪的含義，解題的關鍵是熟知的含義：a為底數，n為指數，讀作a的n次方，含義是n個a相乘．（1）根據冪的形式特點得出的指數和底數即可；（3）根據冪的形式特點得出的指數和底數即可．【詳解】解：（1）的底數是4，指數是4；故答案為：4；4；故答案為：；3；（3）的底數是，指數是2．故答案為：6；2．【答案】B【分析】本題主要考查了有理數的乘方，熟練掌握乘方的意義是解決本題的關鍵．求n個相同因數的積的運算叫作乘方，根據乘方的定義可解決此題．故選：B．A．乘以6的積 B．6個相乘的積C．5個相乘的積 D．6個相加的和【答案】B故選B．A．3個相乘 B．2個相加 C．3個相加 D．5個相乘【答案】A故選：A．A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了乘法以及乘方的意義，理解乘方的意義是解題的關鍵．根據m個5相乘可表示為，n個9相加可以表示為，即可得解．故選：C．題型2、有理數乘方的運算【解題技巧】有理數乘方的運算：（1）正數的任何次冪都是正數；（2）負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數；（3）0的任何正整數次冪都是0；（4）有理數的乘方運算與有理數的加減乘除運算一樣，首先應確定冪的符號，然后再計算冪的絕對值。例1．（2024七年級上·全國·專題練習）計算(1)；(4)；【答案】(1)49(2)－216(3)(4)－9(5)(6)【分析】本題考查了有理數的乘方運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．（1）根據有理數的乘方運算法則求解即可；（2）根據有理數的乘方運算法則求解即可；（3）根據有理數的乘方運算法則求解即可；（4）根據有理數的乘方運算法則求解即可；（5）根據有理數的乘方運算法則求解即可；（6）根據有理數的乘方運算法則求解即可．例2．（2425六年級上·上?！て谥校┫铝懈鲾抵校瑪抵迪嗟鹊氖牵?/p>

）【答案】D【分析】本題主要考查了有理數的乘法和有理數的乘方．根據有理數的乘方法則和有理數的乘法法則逐項計算排查即可解答．故選：D．例3．（2324七年級上·河北邢臺·期中）若是的倍，則的值是（）A．2 B．8 C． D．【答案】D又∵是的倍，故選：D．【點睛】此題考查了乘方的意義，掌握乘方的意義是解題的關鍵．A．1 B．3 C．7 D．9【答案】A【分析】本題考查了數字的變化類，找到變化規(guī)律是解題的關鍵．先找出7的冪的個位數字的排列規(guī)律，再計算求解．故選：A．(1)請你仿照材料，分析求出的個位數字及的個位數字；【答案】(1)3，2(2)7【分析】此題主要是考查乘方的尾數特征，解題關鍵是發(fā)現(xiàn)個位數字的循環(huán)規(guī)律，根據規(guī)律進行計算．∴7的正整數冪的個位數字以7，9，3，1為一個周期循環(huán)出現(xiàn)，∴的個位數字與的個位數字相同，應為3；∴的個位數字與的個位數字相同，應為2；∴2的正整數冪的個位數字以2，4，8，6為一個周期循環(huán)出現(xiàn)，變式1．（2324六年級下·上海靜安·期中）下列各式中，正確的是

）【答案】D【分析】根據有理數的乘方法則逐項判斷即可得．故選：D．【點睛】本題考查了有理數的乘方，熟練掌握運算法則是解題關鍵．變式2．（2324七年級上·江蘇揚州·階段練習）下列各組的兩個數中，運算后結果相等的是（）【答案】C【分析】根據有理數的乘方的定義對各選項分析判斷利用排除法求解．故選：C．【點睛】此題考查有理數的乘方，解題的關鍵在于掌握運算法則．【答案】【詳解】解：∵以為底的冪的末位數字是以，，，依次循環(huán)的，∴的個位數字是，故答案為：．【答案】8【詳解】∵的尾數恒為6，則最后的結果的末尾數為2023個6相加的尾數，故答案為：8．變式5．（2425七年級上·河南開封·期中）閱讀材料，解決問題：我們學習了乘方的定義和意義，根據乘方和乘法兩種運算之間的轉化了解到：23類比上述式子，你能夠得到：【答案】(1)，(2)(4)【分析】本題主要考查了乘方的定義和意義，得到同底數冪的運算法則：同底數冪相乘，底數不變，指數相加，是解題的關鍵．（1）根據題目中給出的信息進行運算即可；（2）總結題目信息得出同底數冪的運算法則；（3）根據同底數冪的運算法則進行運算即可；（4）逆用同底數的乘法公式進行運算即可．故答案為，；故答案為；題型3、乘方運算的符號規(guī)律【解題技巧】1）負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數，即“奇負偶正”；2）正數的任何次冪都是正數；3）0的任何正整數次冪都是0。例1．（2024七年級上·江蘇·專題練習）如果一個有理數的奇次冪是正數，那么這個有理數（）A．一定是正數 B．是正數或負數C．一定是負數 D．可以是任意有理數【答案】A【分析】根據有理數的乘方法則進行判斷即可．此題考查了有理數的乘方，熟練掌握乘方運算法則是解本題的關鍵．【詳解】解：∵正數的任何次冪是正數，負數的奇次冪數負數，0正整數次冪是0∴一個有理數的奇次冪是正數，這個數一定是正數．故選：A．A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④【答案】A【分析】本題考查乘方的運算，掌握乘方的運算法則是解題的關鍵．根據乘方的意義進行判斷即可．故選：A．A．① B．② C．①、②都正確 D．①、②都不正確【答案】B【分析】根據三組數的運算的規(guī)律逐個判斷即可得．故選：B．【點睛】本題考查了有理數乘方的應用，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關鍵．例4．（2425六年級上·上?！るA段練習）若互為相反數，為正整數，則（

）A．與互為相反數 B．與互為相反數【答案】D【分析】本題考查了有理數的乘方，以及相反數概念，掌握有理數的乘方法則是解題關鍵；有理數的乘方法則：正數的任何次冪都是正數；負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數；0的任何正整數次冪都是0；然后根據相反數的定義結合有理數的乘方法則分別對每一項進行分析，即可得出正確答案．和不是相反數，選項結論錯誤，不符合題意；B、a，b互為相反數，當n為奇數時，和不是相反數，選項結論錯誤，不符合題意；C、a，b互為相反數，當n為偶數時，和不是相反數，選項結論錯誤，不符合題意；故選：D．變式1．（2024六年級下·上?！ｎ}練習）任何一個有理數的偶次冪必是（）A．負數 B．正數 C．非正數 D．非負數【答案】D【分析】根據乘方的性質：正數的任何次冪都是正數；負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數，0的任何次冪都是0，從而可判斷．【詳解】解：正數的任何次冪都是正數；負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數；0的任何次冪都是0，故任何一個有理數的偶數次冪必是非負數．故選：D．【點睛】本題主要考查有理數的乘方，正數與負數，有理數，解答的關鍵是對有理數的乘方的性質的掌握．A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】根據相反數的意義，化簡絕對值以及乘方的運算化簡各數即可求解．①③⑥為正數．故選C．【點睛】本題考查了相反數的意義，化簡絕對值以及乘方的運算，正確的化簡各數是解題的關鍵．A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】A【分析】根據負數的奇次冪是負數，偶次冪是正數即可解答．是負數，故①正確；綜上所述，①②③正確．故選：A．【點睛】本題主要考查了有理數乘方的符號規(guī)律，掌握有理數乘方的符號規(guī)律：一個負數的奇次冪是負數，一個負數的偶次冪是正數．A．1 B．1 C．0 D．2【答案】D【分析】根據有理數乘方運算法則進行計算即可．故選：D．【點睛】本題考查了有理數的乘方，熟練掌握有理數的乘方運算法則以及乘方的符號規(guī)律是解本題的關鍵．題型4、有理數乘方的逆運算及簡算【答案】故答案為：．【答案】3或3/3或3【分析】根據絕對值與平方的性質求出a、b，故可求解．故答案為：3或3．【點睛】此題主要考查乘方與絕對值的求解及有理數乘法，解題的關鍵是熟知乘方與絕對值的性質．例3．（2425七年級上·內蒙古包頭·期中）觀察下列兩組算式：(1)每組兩個算式的結果是否相等？(2)根據（1）的結果猜想等于什么？【答案】(1)相等；(3)1【分析】本題考查有理數的混合運算：（1）根據運算法則進行計算后，判斷即可；（2）利用（1）中規(guī)律即可得出結論；【詳解】（1）解：相等：【答案】A故選：A．解答下列問題：(2)【分析】本題考查的是新定義運算的含義，乘方的運算，理解題意，總結規(guī)律再運用規(guī)律解題是關鍵．（1）由題干閱讀部分信息，再總結可得答案；．變式1．（2425七年級上·吉林長春·階段練習）立方等于64的數是．【答案】4∴立方等于64的數是4，故答案為：4．A．8或 B．或2 C．或 D．2或8【答案】D【分析】根據絕對值和乘方的性質，求得，，即可求解．故選：D．【點睛】此題考查了絕對值，乘方的性質，解題的關鍵是根據題意，正確求得，．A． B． C．0 D．2【答案】B故選B．A． B．1 C．0 D．2023【答案】B【分析】根據有理數乘方的逆運算法則計算即可得．．故選：B．【點睛】本題考查了有理數乘方的逆運算，熟練掌握有理數乘方的逆運算法則是解題關鍵．A．6 B．8 C． D．十分麻煩【答案】B＝1×8＝8故選：B．【點睛】本題主要考查了有理數乘方運算，掌握有理數乘方的意義是解題的關鍵．題型5、偶次冪的非負性【解題技巧】1）常見非負數：a≥0；a2≥0；2）根據非負性“若幾個非負數的和為0，則每一個非負數必為0”A． B．6 C． D．9【答案】D【分析】本題主要考查的是非負數的性質，先依據非負數的性質求得a、b的值，然后再代入求解即可．故選：D．A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．不等邊三角形【答案】A此三角形是等腰三角形．故選：A．例3．（2024七年級上·全國·專題練習）下列說法正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】本題考查有理數的乘方，以及正負數的概念，對于①，根據一個數的平方是非負數進行判斷；對于②、③，根據零的平方是零，零既不是正數也不是負數，據此分析；對于④，根據負數的平方是正數，負數小于正數，即可舉例作出判斷.【詳解】解：沒有平方得的數，①正確；綜上所述，正確的有1個，故選：A．【分析】本題考查乘方的非負性．熟練乘方的非負性是解題的關鍵．根據乘方的非負性，確定最大值即可．A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【答案】C【分析】本題主要考查絕對值和平方式的非負性，解題的關鍵是根據絕對值和平方式的非負性得出和的值，然后計算即可．故選：C．A． B． C． D．【答案】B故選：．【答案】1【分析】本題考查了絕對值和偶次方的非負性，根據絕對值和偶次方的非負性求得、的值，再代入計算即可．故答案為：1．變式3．（2425七年級上·全國·假期作業(yè)）若，為有理數，下列判斷正確的個數是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查絕對值的性質，偶次方的性質，最大值及最小值的確定．根據絕對值，偶次方的非負性進行判斷即可．故選：B．【答案】【分析】本題考查了非負數的性質：幾個非負數的和為零，則這幾個非負數全為零；根據此性質求得a的值與b的值，最后可求得結果．故答案為：．【答案】2【分析】本題考查的是有理數的乘方及絕對值的性質，能根據有理數的乘方及絕對值的性質得出、、之間的關系式解答此題的關鍵．故答案為：2．題型6、有理數乘方的實際應用【解題技巧】此類題型的難點在于分析問題，建立乘方的數學模型?；静襟E為：首先從特殊情形入手，逐步分析、歸納，找出變化規(guī)律；然后根據規(guī)律寫出乘方數學模型；最后根據題干要求計算結果。例1．（2324七年級上·甘肅蘭州·期中）《莊子·天下篇》講到：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”意思是說一尺長的木棍，每天截取它的一半，千秋萬代也截不完．一天之后“一尺之棰”剩尺，兩天之后剩尺，那么五天之后，這個“一尺之棰”還剩（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【答案】D【分析】本題主要考查了有理數的乘方，弄懂題意并掌握乘方的運算法則是解答的關鍵．【詳解】解：根據題意，第一天后剩尺，…故選：D．例2．（2425七年級上·云南臨滄·期末）《孫子算經》中記載：“今有出門望見九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，……”其大意是：出門看見有9座堤壩，每座堤壩上有9棵樹，每棵樹有9根樹枝，每根樹枝上有9個鳥巢，……，文中的鳥巢共有（

）A．36個 B．27個 C．個 D．個【答案】C【分析】本題考查了有理數的乘方．根據乘方的意義得出算式，求解即可．答：文中的鳥巢共有個．故選：C．【答案】800故答案為：800．例4．（2324七年級上·廣東廣州·期中）今年“十一”期間，廣州部分公園舉行游園活動，據統(tǒng)計，天河公園早晨時分有人進入公園，接下來的第一個分鐘內有人進去人出來，第二個分鐘內有人進去人出來，第三個分鐘內有人進去人出來，第四個分鐘內有人進去人出來．按照這種規(guī)律進行下去，到上午時分公園內的人數是（

）【答案】B【分析】本題考查有理數的乘方，掌握題目中人數的進出規(guī)律，列出算式是正確解答的關鍵．【詳解】解：從早晨時分，到上午時分共經歷了個小時，即個“半小時”，因此進行次人員的進出，由進出人數的規(guī)律可得，故選：B．例5．（2025·廣西柳州·三模）“結繩計數”是遠古時代人類智慧的結晶，即人們通過在繩子上打結來記錄數量，類似我們現(xiàn)在熟悉的“進位制”，如圖所示是一位古人記錄的當天采摘果實的個數，在從右向左依次排列的不同繩子上打結，滿四進一，根據圖示可知，這位古人當天采摘果實的個數是（

）A．186 B．185 C．184 D．183【答案】D【分析】本題考查有理數的運算，讀懂題意，理解古代記數規(guī)則，再轉化為現(xiàn)代的十進制數是解決問題的關鍵．故選：D．【分析】本題考查了有理數的混合運算，理解二進制和十進制的互換規(guī)則是解題關鍵．根據二進制和十進制的互換規(guī)則即可解答．變式1．（2024七年級上·云南·專題練習）某種細胞每分鐘分裂成3個，一個細胞經過3分鐘分裂成27個，再繼續(xù)分裂分鐘后共分裂成（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【分析】本題考查了乘方的意義．熟練掌握乘方的意義是解決本題的關鍵．∴再過分鐘后共分裂成了．故選C．【答案】C……，故答案為：C．【答案】B【分析】本題考查了數字的變化知識，乘方運算，熟練掌握有理數的混合運算是解題的關鍵；故選：BA．32 B．1044 C．253 D．16192【答案】B【分析】本題考查有理數的乘方的運算，理解八進制數換算為十進制數的方法是解題的關鍵；根據題目中八進制數3745換算成十進制數的方法計算即可．【詳解】解：八進制數2024換算成十進制數：故選：B變式5．（2024七年級上·全國·專題練習）趣味題阿凡提給地主打工，地主開價每月200元工錢，阿凡提卻說：“不要，不要，你只要第一天付給我1角，第二天付給我2角，第三天付給我4角，第四天付給我8角，以此類推到月底即可"．地主聽了暗暗高興，趕快簽下協(xié)議，其實阿凡提掙到200元工錢不必做到一個月．設最多只要n天，估算n的值是（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】B【分析】本題考查了有理數的乘方在實際生活中的應用，理解題意找到工錢增長的規(guī)律是解題的關鍵．通過分析每天工錢的增長規(guī)律，利用乘方計算總工錢，再估算找到滿足條件的天數．【詳解】解：∵第一天1角，即角；第二天2角，即角；第三天4角，即角；……以此類推，第天就是角，……故選：B．【分析】本題考查了含乘方的有理數的混合運算，讀懂題意，分別找出每行的代表二進制的數字，逐個轉化成10進制，即可作答．則第二行代表二進制的數字1010，轉化成10進制為：則第三行代表二進制的數字11011，轉化成10進制為：則第四行代表二進制的數字10101，轉化成10進制為：則第五行代表二進制的數字1000，轉化成10進制為：題型7、有理數乘方的新定義問題【解題技巧】“新定義”型問題是指在問題中定義了初中數學中沒有學過的一些概念、新運算、新符號，要求學生讀懂題意并結合已有知識進行理解，而后根據新定義進行運算、推理、遷移的一種題型.它一般分為三種類型：（1）定義新運算；（2）定義初、高中知識銜接“新知識”;（3）定義新概念.這類試題考查考生對“新定義”的理解和認識，以及靈活運用知識的能力，解題時需要將“新定義”的知識與已學知識聯(lián)系起來，利用已有的知識經驗來解決問題.(2)定義一種運算，就要研究它的運算律：②這個計算結果說明了這個運算滿足律．【答案】(1)【分析】本題考查新定義運算，讀懂題意，理解新定義運算法則，代值求解是解決問題的關鍵．這個計算結果說明了這個運算滿足乘法交換律，故答案為：②乘法交換．【答案】【分析】本題主要考查了有理數的乘方運算，熟記有理數乘方運算法則是解題的關鍵．（）結合有理數的乘方，根據新定義運算即可；（）結合有理數的乘方，根據新定義運算先求出，的值然后解題即可．故答案為：故答案為：．【答案】D【分析】本題考查了有理數的乘方，有理數的減法運算，熟練掌握有理數的乘方，有理數的減法運算是解題的關鍵．故選：．A．任意非零數的圈3次方都等于它的倒數．B．圈n次方等于它本身的數是1或（n為任意正整數）．C．互為相反數的兩個數的圈n次方不一定互為相反數．D．互為倒數的兩個數的圈n次方互為倒數．【答案】B【分析】本題是新定義運算，出現(xiàn)在乘方一節(jié)，能夠類比乘方的運算，理解并運用除方的運算規(guī)則，準確的計算和推理是本題的關鍵．根據新運算‘除方’的定義，即為個相除，進行計算．運算時注意指數運算、相反數的性質、倒數的概念的應用即可．故選項符合題意．C.設這兩個互為相反數的數為與．D.設互為倒數的兩個數為與．故選：B．【答案】(1)8(2)【分析】本題主要考查新定義運算，含乘方有理數的混合運算，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．（1）根據題意列出新定義運算的式子，再根據含乘方有理數的混合運算，計算即可．（2）根據題意列出新定義運算的式子，再根據含乘方有理數的混合運算，計算即可．．A．①② B．①③ C．①④ D．②④【答案】C【分析】把2，24，27，n分解為兩個正整數的積的形式，找到相差最少的兩個數，讓較小的數除以較大的數，看結果是否與所給結果相同即可．（2）；故①是正確的；故②是錯誤的；故③是錯誤的；④是一個整數的平方，∴設n＝a2（a為整數），∵a和a的差為絕對值最小的數0，故④是正確的．正確的有①④．故選：C．【點睛】此題主要考查了新定義“最佳分解”，讀懂題目信息，理解“最佳分解”的定義是解題的關鍵．變式4．（2324七年級上·四川巴中·期中）一般地，n個相同的因數．相乘a×a×a……a×a記作an，如2×2×2=23=8，此時，3叫做以2為底的8的“勞格數”記為L2(8)，則L2(8)=3，一般地，若an=b(a＞0且a≠1)，則n叫做以a為底的b的“勞格數”，記為La(b)=n，如34=81，則4叫做以3為底的81的“勞格數”，記為L3(81)=4．（1）下列各“勞格數”的值：L2（4）=______，L2(16)=______，L2(64)=______．（2）觀察（1）中的數據易4×16=64此時L2（4），L2(16)，L2(64)滿足關系式________．（3）由（2）的結果，你能歸納出一般性的結果嗎？La(M)+La(N)=______．(a＞0且a≠1，M＞0，N＞0)．（4）據上述結論解決下列問：已知，La（3）=0.5，求La(9)的值和La(81)的值．（a＞0且a≠1）【分析】（1）根據定義寫出各“勞格數”的值；（2）由（1）的結論直接得出結果；（3）根據定義歸納出一般性的結果；（4）根據（3）的結論進行計算即可．L2（4）=2，L2(16)=4，L2(64)=6L2（4）+L2(16)=L2(64)故答案為：L2（4）+L2(16)=L2(64)即La(M)+La(N)=La(MN)（4）La（3）=0.5【點睛】本題考查了有理數乘方的概念，新定義概念，理解題意是解題的關鍵．(2)關于“有理數的除方”下列說法正確的是．（填序號）②f(2,a)=1(a≠【答案】(1)(2)②【分析】本題考查了新定義，有理數的乘除運算及乘方運算，理解新定義并掌握相關運算法則是關鍵．（1）根據“除方”的定義，直接計算即可；（3）根據“除方”的定義，把除法轉化為乘法運算，即可得到乘方的運算結果；故答案為：；故①錯誤；故②正確；故③錯誤；故④錯誤；故答案為：②題型8、含乘方的有理數混合運算【解題技巧】含乘方的有理數混合運算的順序：(1)先乘方，再乘除，最后加減；(2)同級運算，從左到右進行；(3)如有括號，先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行。例1．（2425七年級上·湖南永州·期中）計算．【答案】(1)(2)(3)2(4)15【分析】本題考查了有理數的四則混合運算和含乘方的有理數的混合運算，熟練掌握運算法則和順序是解題的關鍵．（1）先計算絕對值和有理數的乘除，再計算有理數的加減，即得答案；（2）先計算有理數的乘方，然后計算兩個括號中的加減，再計算有理數的乘法，最后計算有理數的加減，即得答案．（3）先算括號，再算除法即可；（4）先算乘方，再算乘除，最后算加減即可．；；．例2．（2425七年級上·四川綿陽·期中）計算：【答案】(1)(2)【分析】本題考查了有理數的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．（1）先乘方、化簡絕對值、括號內計算，再計算乘法，再計算減法即可；（2）先進行括號內計算，再計算乘除即可．．例3．（2324七年級上·天津和平·期中）計算：【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先算同分母分數，再計算加減法；（2）先算乘法，再去括號，再算同分母分數，再計算加減法；（3）先算乘方，再算乘除，最后算加減；如果有括號，要先做括號內的運算；（4）根據乘法分配律簡便計算．＝＝＝【點睛】本題考查了有理數的混合運算，有理數混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內的運算．進行有理數的混合運算時，注意各個運算律的運用，簡化運算過程．變式1．（2425七年級上·內蒙古包頭·期中）計算：【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查了有理數的混合運算，掌握各種運算的法則及運算順序是關鍵，注意符號不要出錯．（1）先計算乘方，然后根據有理數的加減進行計算即可求解；（2）將除法轉化為乘法進行計算即可求解；（3）先計算乘方，再計算乘除，最后計算加減，即可求解；（4）根據有理數的混合運算進行計算即可求解．；；變式2．（2425七年級上·遼寧盤錦·階段練習）計算：(2)(3)(4)【分析】本題考查了有理數的混合運算，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．（1）利用有理數的加減法則計算即可；（2）利用有理數的乘除法則計算即可；（3）利用有理數的運算順序，先算乘方，再算括號里面的，然后算乘除，最后算加減即可；（4）利用有理數的運算順序，先算乘方和絕對值，再算括號里面的，然后算乘除，最后算加減即可．．．．【答案】【分析】本題主要考查了含乘方的有理數混合計算，按照先計算乘方，再計算乘除法，最后計算加減法，有括號先計算括號的運算順序求解即可．．【分析】利用拆項法將分數拆成整數和分數的和差形式，把整數與整數部分、分數與分數部分分別加在一起，然后把每個分數分別拆成兩個分數相減的形式，通過分數的加減，相互抵消，求出結果．【點睛】此題主要考查了有理數的混合運算，正確利用分數的性質化簡是解題關鍵．題型9、有理數混合運算——程序框圖【解題技巧】程序框圖解題通用步驟：（1）?明確運算結構?：①識別流程圖中運算模塊的先后順序（如加減、乘除、乘方的位置）；②特別注意條件判斷模塊的閾值。（2）?分步代入計算（3）?循環(huán)終止判斷?：①每次計算結果作為新輸入值；②結果滿足閾值條件時終止循環(huán)。注意：建議優(yōu)先掌握運算順序可視化方法與循環(huán)終止條件的快速判定技巧，配合至少3種不同類型的流程圖案例進行專項訓練。例1．（2425七年級上·遼寧盤錦·期中）如圖，是一個有理數運算程序的流程圖，請根據這個程序回答問題：當輸入的x為2時，求最后輸出的結果y是（

）A． B． C． D．1【答案】A，∴輸出的結果為，故選；A．A．3次 B．4次 C．5次 D．6次【答案】B故選：B．A． B． C． D．【答案】A第1次結果為：3，第2次結果是：10，第3次結果為：5，第4次結果為：16，第5次結果為：1，第6次結果為：4，第7次結果為：1，第8次結果為：4，…可以看出，從第5次開始，結果就只是1，4兩個數輪流出現(xiàn)，且當次數為奇數時，結果是1；次數是偶數時，結果是4，而2025次是奇數，因此最后結果是1．故選：A．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查了有理數與程序圖的運算，根據程序圖的運算順序，分別算出第一個數、第二個數、第三個數，第四個數，再結合輸入x的值是正整數，進行作答即可．故滿足條件所有x的值是104、35或12．故選：C．A．123 B．321 C．231 D．無法輸出結果【答案】C【分析】本題考查有理數的混合運算，熟練掌握運算法則和運算程序是解答本題的關鍵．故選：C．【答案】【分析】本題考查了代數式求值，有理數的混合運算，通過計算發(fā)現(xiàn)，從第二次開始，運算結果，，循環(huán)出現(xiàn)，由此可得出答案，掌握相關知識是解題的關鍵．由此可知，從第二次輸入，輸入三次一個循環(huán)，故答案為：．【答案】2或7或37【分析】本題主要考查有理數的混合運算，代數式求值，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．根據題意列式計算求出符合題意的答案即可．【詳解】解：如果輸入的原始數據是正整數，加密后的數據是217，故答案為：2或7或37．變式4．（2425七年級上·陜西西安·階段練習）如圖，是一個“有理數轉換器”（箭頭是指數進入轉換器的路徑，方框是對進入的數進行轉換的轉換器）(2)你認為當輸入什么數時，其輸出結果是?(3)你認為這個“有理數轉換器”不可能輸出什么數?(2)(為自然數)；(3)不可能輸出負數．（）由此程序可知，當輸出時，因為的相反數及絕對值均為，所以應輸入或的倍數，據此即可求解；（）根據絕對值的性質和倒數的定義即可求解；本題考查了有理數的混合運算，解題的關鍵是審清題意，理解運算程序．∴當輸入時，輸出；∴當輸入時，輸出；（2）解：∵輸出數為，的相反數及絕對值均為，當輸入的倍數時也輸出，∴(為自然數)；（3）解：由圖表知，不管輸入正數、或者負數，輸出的結果都是非負數，∴不可能輸出負數．題型10、有理數混合運算——24點游戲【解題技巧】24點游戲易錯點：1）?忽略分數可能性?：認為必須全部整數運算，實際可用分數；2）?運算順序錯誤?：漏加括號導致優(yōu)先級錯誤；3）?固定思維局限?：過度追求乘法對，忽略加減法組合。例1．（2425七年級上·浙江溫州·期中）有一種算“24點”的游戲，其游戲規(guī)則如下：取四個數，將這四個數（每個數只能用一次）進行加減乘除運算，使其結果等于24．現(xiàn)有四個有理數：3，4，，10，運用上述規(guī)則，下列算式中不正確的是（

）【答案】A【分析】本題考查了有理數的混合運算，根據有理數的運算法則逐項計算可得答案．故選A．【分析】本題考查了有理數的混合運算以及正數和負數，根據題意列出算式即可，掌握相關運算法則是解答本題的關鍵．例3．（2425七年級上·山東威海·期末）有5張寫著不同數字的卡片，請你按要求選擇卡片，完成下列各題：(1)從中選擇兩張卡片①使這兩張卡片上數字之和最大，請列出算式并計算結果_____；②使這兩張卡片上數字之差最小，請列出算式并計算結果_____；③使這兩張卡片上數字之積最大，請列出算式并計算結果_____；④使這兩張卡片上數字之商最小，請列出算式并計算結果_____；(2)從中選擇4張卡片，每張卡片上的數字只能用一次，選擇加、減、乘、除中的適當運算（可加括號），使其運算結果為24，寫出算式及運算過程．（寫出兩種即可）【答案】(1)見解析(2)見詳解【分析】本題考查了有理數的混合運算，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）①根據兩個最大的數相加，得出；②運用最小的數減去最大數，所得的差最??；③根據同號得正，且結合正數最大，進行作答；④根據異號得負，且結合負數最小，進行作答；（2）結合從中選擇4張卡片，每張卡片上的數字只能用一次，選擇加、減、乘、除中的適當運算（可加括號），使其運算結果為24，進行列式計算，即可作答．故答案為：9；故答案為：；故答案為：；故答案為：；【分析】本題考查有理數的混合運算，正確運用運算律及適當添加括號是解題的關鍵．根據題意列式求解即可．變式3．（2425六年級上·山東青島·期中）從一副撲克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4張，根據牌面上的數字進行混合運算（每張牌必須用一次且只能用一次，可以加括號），使得運算結果為24．其中紅色撲克牌代表負數，黑色撲克牌代表正數，A，J，Q，K分別代表1，11，12，13．小飛抽到的4張撲克牌是：紅色Q、黑色Q、紅色A和黑色3，將這組撲克牌面上的數字樓成24或的算式是（寫出一個即可）．【分析】此題考查了有理數的混合運算，弄清“24點”游戲規(guī)則是解本題的關鍵．利用“24點”游戲規(guī)則列出等式即可．【答案】3故答案為：，3．2．（2425七年級上·云南玉溪·期末）式子表示的含義是（

）A．6個2相乘的積的相反數 B．與6相乘的積C．6與相乘的積的相反數 D．6個相乘的積【答案】A【分析】本題考查了有理數乘方的意義，根據乘方的定義即可求出答案．【詳解】解：式子表示的含義是6個2相乘的積的相反數，故選：A．【答案】D故選D．A．3個相乘 B．5個相加C．3個相加 D．8個相乘【答案】A【分析】本題考查冪的定義．根據冪的定義：n個a相乘寫作，讀作a的n次方或a的n次冪，直接判斷即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，故選：A．【分析】根據乘方的意義計算即可．【點睛】本題考查乘方運算，理解乘方的意義進行計算是解決問題的關鍵．【答案】D【分析】本題考查了有理數的乘方，乘方的逆運算，等式的性質等知識點，根據有理數乘方的運算法則即可得解，熟練掌握有理數的乘方的意義是解題關鍵．故選：D．A．3 B．5 C．7 D．9【答案】D，，故選：D．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】D【分析】根據有理數的乘方，以及相反數的求法，逐項判定即可．∴其中結果等于的是：①②③④．故選：D．【點睛】此題主要考查了有理數的乘方，以及相反數的求法，求一個數的相反數的方法就是在這個數的前邊添加“”．【答案】B【分析】根據乘方運算、求一個數的絕對值，即可一一判定．故A、C、D不成立，B成立，故選：B．【點睛】本題考查了乘方運算、求一個數的絕對值，熟練掌握和運用乘方運算的符號問題及求一個數的絕對值法則是解決本題的關鍵．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據有理數乘方的定義，負數的偶次方為正，奇次方為負，正數的任意次方都為正，再根據相反數的定義判斷即可．【詳解】解：∵a，b互為相反數，a≠0，n為自然數，∴a，b互為相反數，故①說法正確；當n是奇數時，an與bn互為相反數，當n為偶數時，an與bn相等，故②說法錯誤；a2n與b2n相等，故③說法錯誤；a2n+1，b2n+1互為相反數，故④說法正確；所以敘述正確的有2個．故選：B．【點睛】此題考查了相反數以及有理數的乘方，用到的知識點是正數的任何次是正數，負數的偶次冪是正數，奇數次冪是負數．【探究過程】（1）從簡單的開始，比較下列各組中兩數的大?。ㄔ跈M線上填寫“”“”或“”）：①_______；②_______；③34_______；……【解決問題】【分析】本題考查了有理數的乘方、有理數的大小比較，熟練掌握有理數的乘方運算法則是解題關鍵．（1）先計算有理數的乘方，再比較有理數的大小即可得；（2）根據（1）的結果，進行歸納即可得；故答案為：①；②；③．故答案為：．【答案】13．（2324七年級上·福建三明·期中）（1）計算下面兩組算式：【分析】（1）前式先乘法再平方，后式先平方再乘法，據此即可計算求值；（2）根據（1）的結果即可得到答案；（4）利用乘方的逆運算進行計算即可得到答案．【點睛】本題考查了有理數乘法法則，乘方的意義，以及對師資普遍規(guī)律的猜想和驗證，熟練運用乘方運算以及逆運算來簡便運算是解題關鍵．【答案】【分析】本題考查了偶次方和絕對值的非負性，有理數的乘方，熟知絕對值和偶次方的非負性是解題的關鍵．根據絕對值和偶次方的非負數的性質列出方程求出、的值，代入所求代數式計算即可．故答案為：．15．（2324七年級上·河南鄭州·階段練習）為有理數，下列說法中正確的是（）【答案】B故選：．【答案】5.76【分析】本題考查了有理數的乘方，理解對折后厚度變?yōu)樵瓉淼?倍是解題的關鍵．根據對折后紙的厚度變?yōu)樵瓉淼?倍，計算即可得解．故答案為：5.76．17．（2425七年級上·安徽淮北·期中）一根1米長的木棒，第一次截去它的，第二次截去剩下的，第三次再截去剩下的，如此截下去，第五次截去后剩下的木棒的長度是（

）【答案】D……故選D．【答案】101【分析】本題考查了有理數的混合運算，理解二進制和十進制的互換規(guī)則是解題關鍵．根據二進制和十進制的互換規(guī)則即可解答．故答案為：101．【答案】根據他們的研究結果，完成下列各題：【答案】(1)，(2)(3)【分析】本題主要考查了有理數的乘方運算，有理數的加法運算等知識點，理解勞格數的定義并正確的列式計算是解題的關鍵．（1）根據勞格數的定義即可求出答案；（2）根據勞格數的定義列式計算即可；故答案為∶，；故答案為∶；為正整數，【答案】/【分析】本題主要考查定義新運算，有理數的乘方運算，根據對數的定義計算即可，讀懂題目中定義的運算法則是解題的關鍵．故答案為：．22．（2324七年級上·江蘇南京·階段練習）概念學習初步探究（2）關于除方，下列說法錯誤的是A．任何非零數的圈2次方都等于1；

B．對于任何正整數n，1的圈n次方都等于1；

D．負數的圈奇數次方結果是負數，負數的圈偶數次方結果是正數．深入思考：我們知道，有理數的減法運算可以轉化為加法運算，除法運算可以轉化為乘法運算，有理數的除方運算如何轉化為乘方運算呢？（1）試一試：仿照上面的算式，將下列運算結果直接寫成冪的形式．（2）想一想：將一個非零有理數a的圈n次方寫成冪的形式等于________；【分析】理解除方運算，利用除方運算的法則和意義解決初步探究，通過除方的法則，把深入思考的除方寫成冪的形式解決（1），總結（1）得到通項（2）．根據法則計算出（3）的結果．【詳解】初步探究解：初步探究（2）A、任何非零數的圈2次方就是兩個相同數相除，所以都等于1；所以選項A正確；B、因為多少個1相除都是1，所以對于任何正整數，都等于1；所以選項B正確；D、負數的圈奇數次方，相當于奇數個負數相除，則結果是負數，負數的圈偶數次方，相當于偶數個負數相除，則結果是正數．所以選項D正確；本題選擇說法錯誤的，故選C；深入思考；故答案為：，，．【點睛】本題考查了新運算，冪的運算．解決問題的關鍵是掌握新運算的法則，理解新運算的意義．23．（2425六年級上·上?！て谥校┯嬎悖骸敬鸢浮?1)(2)(3)(4)(5)【分析】本題主要考查了有理數的相關計算，熟知有理數的相關計算法則是解題的關鍵．（1）根據有理數的加減計算法則求解即可；（2）根據乘法分配律的逆運算法則求解即可；（3）根據乘法分配律求解即可；（4）先計算乘方，再計算乘方即可；（5）按照先計算乘方，再計算乘除法，最后計算加減法，有括號先計算括號的運算順序求解即可．；；．24．（2324七年級上·貴州黔東南·期中）一個數值運算程序如圖所示，當輸入的值為時，輸出結果為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了有理數的混合運算，解決本題的關鍵是根據運算程序的要求進行計算，到符合要求時輸出結果．應輸出，輸出結果為．故選：A．A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了程序流程圖與有理數計算，根據運算法則可得從第五次開始，奇數次輸出的結果為，偶數次輸出的結果為，據此即可求解，找到變化規(guī)律是解題的關鍵．第一次輸出的結果為，第二次輸出的結果為，第三次輸出的結果為，第四次輸出的結果為，第五次輸出的結果為，第六次輸出的結果為，第七次輸出的結果為，第八次輸出的結果為，，∴從第五次開始，奇數次輸出的結果為，偶數次輸出的結果為，故選：．【分析】本題考查了有理數的混合運算，注意數字的正負，先確定四個數分別為：、、2、4，由于答案不唯一，列出一個算式即可．【詳解】紅桃3代表、方塊6代表、黑桃