18.3.1分式的加減第十八章

分式【2025新教材】人教版數(shù)學(xué)

八年級(jí)上冊(cè)

授課教師：********班級(jí)：********時(shí)間：********18.3.1分式的加減一、教學(xué)目標(biāo)理解并掌握同分母分式與異分母分式的加減法則，能準(zhǔn)確區(qū)分兩種運(yùn)算的特點(diǎn)和適用情況，明晰其與分?jǐn)?shù)加減法則的聯(lián)系與區(qū)別。熟練運(yùn)用分式加減法則進(jìn)行分式的加減運(yùn)算，包括簡(jiǎn)單分式的加減、加減混合運(yùn)算以及與乘除運(yùn)算的綜合運(yùn)算，能夠?qū)\(yùn)算結(jié)果進(jìn)行化簡(jiǎn)，提高分式運(yùn)算能力。通過探究分式加減法則的過程，培養(yǎng)類比推理、歸納總結(jié)的能力，在解決分式加減實(shí)際問題中，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在邏輯性。二、知識(shí)回顧分?jǐn)?shù)的加減法則：同分母分?jǐn)?shù)加減法：同分母的分?jǐn)?shù)相加減，分母不變，分子相加減，即\(\frac{a}{c}\pm\frac{c}=\frac{a\pmb}{c}\)（\(c\neq0\)）。例如\(\frac{2}{5}+\frac{1}{5}=\frac{2+1}{5}=\frac{3}{5}\)，\(\frac{7}{9}-\frac{4}{9}=\frac{7-4}{9}=\frac{1}{3}\)。異分母分?jǐn)?shù)加減法：先通分，把異分母分?jǐn)?shù)化為同分母分?jǐn)?shù)，再按照同分母分?jǐn)?shù)加減法的法則進(jìn)行計(jì)算，即\(\frac{a}\pm\frac{c}egyayii=\frac{ad}{bd}\pm\frac{bc}{bd}=\frac{ad\pmbc}{bd}\)（\(b\neq0\)，\(d\neq0\)）。例如計(jì)算\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\)，先通分得到\(\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{3+2}{6}=\frac{5}{6}\)。提問互動(dòng)：讓學(xué)生快速計(jì)算幾道分?jǐn)?shù)加減題，如\(\frac{3}{8}+\frac{1}{8}\)、\(\frac{5}{6}-\frac{1}{3}\)，回顧分?jǐn)?shù)加減運(yùn)算過程，為學(xué)習(xí)分式加減法則做好鋪墊。三、同分母分式的加減（一）法則推導(dǎo)類比同分母分?jǐn)?shù)加減法的法則，對(duì)于同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減。用式子表示為\(\frac{A}{C}\pm\frac{B}{C}=\frac{A\pmB}{C}\)（\(C\neq0\)，其中\(zhòng)(A\)、\(B\)、\(C\)是整式）。例如\(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x+y}=\frac{x+y}{x+y}=1\)（\(x+y\neq0\)）

，從實(shí)際例子中理解該法則的合理性和實(shí)用性。（二）典型例題講解例1：計(jì)算\(\frac{2a}{a-b}+\frac{a-b}\)分析：這是同分母分式的加法運(yùn)算，根據(jù)同分母分式加法法則，分母\(a-b\)保持不變，將分子\(2a\)與\(b\)相加。解答：\(\frac{2a}{a-b}+\frac{a-b}=\frac{2a+b}{a-b}\)例2：計(jì)算\(\frac{x^2}{x+1}-\frac{1}{x+1}\)分析：屬于同分母分式的減法運(yùn)算，分母\(x+1\)不變，分子進(jìn)行減法運(yùn)算，再對(duì)分子化簡(jiǎn)。解答：\(\begin{align*}\frac{x^2}{x+1}-\frac{1}{x+1}&=\frac{x^2-1}{x+1}\\&=\frac{(x+1)(x-1)}{x+1}\\&=x-1\end{align*}\)（三）注意事項(xiàng)運(yùn)算時(shí)一定要注意是分子整體相加減，當(dāng)分子是多項(xiàng)式時(shí)，要添加括號(hào)，避免出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤。例如\(\frac{a+b}{c}-\frac{a-b}{c}=\frac{(a+b)-(a-b)}{c}=\frac{a+b-a+b}{c}=\frac{2b}{c}\)，若不添加括號(hào)，就會(huì)得到錯(cuò)誤結(jié)果。運(yùn)算結(jié)果要化為最簡(jiǎn)分式或整式，通過約分等方式消除分子分母的公因式。四、異分母分式的加減（一）法則推導(dǎo)異分母分式的加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，然后再加減。其依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，將不同分母的分式轉(zhuǎn)化為分母相同的分式，從而可以按照同分母分式的加減法則進(jìn)行運(yùn)算。用式子表示為\(\frac{A}{B}\pm\frac{C}{D}=\frac{AD}{BD}\pm\frac{BC}{BD}=\frac{AD\pmBC}{BD}\)（\(B\neq0\)，\(D\neq0\)，其中\(zhòng)(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)是整式）。（二）通分要點(diǎn)確定最簡(jiǎn)公分母：系數(shù)：取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)。字母：取各分母中所有字母（或因式）的最高次冪。若分母是多項(xiàng)式，先對(duì)其進(jìn)行因式分解，再確定最簡(jiǎn)公分母。例如對(duì)于分式\(\frac{1}{x^2-1}\)和\(\frac{2}{x^2+2x+1}\)，\(x^2-1=(x+1)(x-1)\)，\(x^2+2x+1=(x+1)^2\)，最簡(jiǎn)公分母就是\((x+1)^2(x-1)\)。通分過程：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將每個(gè)分式的分子分母同時(shí)乘以適當(dāng)?shù)恼?，使它們的分母都變?yōu)樽詈?jiǎn)公分母。（三）典型例題講解例3：計(jì)算\(\frac{1}{2x}+\frac{1}{3y}\)分析：這是異分母分式的加法運(yùn)算，先確定最簡(jiǎn)公分母，\(2x\)與\(3y\)系數(shù)的最小公倍數(shù)是\(6\)，字母部分取\(x\)和\(y\)，所以最簡(jiǎn)公分母是\(6xy\)；然后對(duì)兩個(gè)分式進(jìn)行通分，再按照同分母分式加法法則計(jì)算。解答：\(\begin{align*}\frac{1}{2x}+\frac{1}{3y}&=\frac{1\times3y}{2x\times3y}+\frac{1\times2x}{3y\times2x}\\&=\frac{3y}{6xy}+\frac{2x}{6xy}\\&=\frac{3y+2x}{6xy}\end{align*}\)例4：計(jì)算\(\frac{3}{x-1}-\frac{2}{x+1}\)分析：先對(duì)分母因式分解，最簡(jiǎn)公分母是\((x-1)(x+1)\)；再通分，將兩個(gè)分式化為同分母分式后進(jìn)行減法運(yùn)算，最后化簡(jiǎn)結(jié)果。解答：\(\begin{align*}\frac{3}{x-1}-\frac{2}{x+1}&=\frac{3(x+1)}{(x-1)(x+1)}-\frac{2(x-1)}{(x-1)(x+1)}\\&=\frac{3x+3-(2x-2)}{(x-1)(x+1)}\\&=\frac{3x+3-2x+2}{(x-1)(x+1)}\\&=\frac{x+5}{x^2-1}\end{align*}\)（四）注意事項(xiàng)通分過程中，要準(zhǔn)確確定最簡(jiǎn)公分母，否則會(huì)導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤。對(duì)于復(fù)雜的多項(xiàng)式分母，因式分解必須正確。通分后進(jìn)行分子的加減運(yùn)算時(shí)，要注意去括號(hào)法則的正確運(yùn)用，避免符號(hào)錯(cuò)誤。最終結(jié)果同樣要化為最簡(jiǎn)分式或整式。五、課堂練習(xí)基礎(chǔ)練習(xí)：計(jì)算\(\frac{3}{x}+\frac{1}{x}\)計(jì)算\(\frac{a}{a+1}-\frac{1}{a+1}\)計(jì)算\(\frac{1}{3x^2}+\frac{2}{5x}\)計(jì)算\(\frac{2}{x-2}-\frac{x}{x^2-4}\)提高練習(xí)：計(jì)算\(\frac{x}{x-1}-\frac{3}{(x-1)(x+2)}-1\)先化簡(jiǎn)，再求值：\((\frac{1}{a-1}-\frac{1}{a+1})\div\frac{a}{a^2-1}\)，其中\(zhòng)(a=\sqrt{2}\)拓展練習(xí)：已知\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=3\)，求\(\frac{3x-2xy+3y}{x+xy+y}\)的值某工程，甲單獨(dú)做\(a\)天完成，乙單獨(dú)做\(b\)天完成，兩人合作完成該工程需要多少天？（用分式表示，并進(jìn)行化簡(jiǎn)）六、易錯(cuò)點(diǎn)總結(jié)與規(guī)避同分母分式加減錯(cuò)誤：遺漏分子的括號(hào)，導(dǎo)致符號(hào)錯(cuò)誤。在分子是多項(xiàng)式進(jìn)行相加減時(shí)，一定要添加括號(hào)，明確是分子整體參與運(yùn)算。計(jì)算完成后未化簡(jiǎn)，要養(yǎng)成檢查結(jié)果是否為最簡(jiǎn)形式的習(xí)慣，及時(shí)約分消除公因式。異分母分式加減錯(cuò)誤：最簡(jiǎn)公分母確定錯(cuò)誤，對(duì)于系數(shù)、字母和多項(xiàng)式的處理不準(zhǔn)確。確定最簡(jiǎn)公分母時(shí)要仔細(xì)，按照規(guī)則逐步分析。通分過程中計(jì)算錯(cuò)誤，分子分母同乘的整式錯(cuò)誤或計(jì)算過程出現(xiàn)失誤。通分后進(jìn)行分子運(yùn)算時(shí)，注意去括號(hào)和合并同類項(xiàng)的準(zhǔn)確性。混合運(yùn)算順序混亂：在分式加減與乘除混合運(yùn)算中，要遵循先乘除后加減的順序，有括號(hào)先算括號(hào)內(nèi)?？梢杂脴?biāo)記運(yùn)算順序的方法，避免出錯(cuò)。七、課堂小結(jié)法則總結(jié)：同分母分式加減，分母不變分子相加減；異分母分式加減，先通分再按同分母分式法則計(jì)算。運(yùn)算要點(diǎn)：注意分子運(yùn)算的準(zhǔn)確性，尤其是符號(hào)和括號(hào)的使用；準(zhǔn)確確定最簡(jiǎn)公分母，正確進(jìn)行通分；結(jié)果必須化為最簡(jiǎn)分式或整式。知識(shí)應(yīng)用：分式加減運(yùn)算在解決實(shí)際問題，如工程問題、行程問題等中有著廣泛應(yīng)用，能夠幫助我們建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際生活中的數(shù)量關(guān)系問題。八、課后作業(yè)完成教材課后相關(guān)習(xí)題，鞏固分式加減運(yùn)算的方法和技巧。拓展作業(yè)：化簡(jiǎn)\(\frac{2}{x^2-4}+\frac{1}{2-x}\)，并求當(dāng)\(x=\sqrt{2}+2\)時(shí)的值。已知\(a^2-3a+1=0\)，求\(a^2+\frac{1}{a^2}\)的值（提示：先由\(a^2-3a+1=0\)得出\(a+\frac{1}{a}\)的值，再利用完全平方公式計(jì)算\(a^2+\frac{1}{a^2}\)）。此課件圍繞分式加減法則，通過多種形式助力知識(shí)掌握。若你覺得例題難度、練習(xí)數(shù)量需調(diào)整，或想補(bǔ)充其他內(nèi)容，隨時(shí)和我說，我會(huì)進(jìn)一步優(yōu)化。5課堂檢測(cè)4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解學(xué)習(xí)目標(biāo)類比分?jǐn)?shù)的加減法，歸納分式的加減法法則.利用分式加減法法則進(jìn)行分式加減法運(yùn)算.復(fù)習(xí)導(dǎo)入計(jì)算：

同分母分?jǐn)?shù)相加減，分母不變，把分子相加減.異分母分?jǐn)?shù)相加減，先通分，變?yōu)橥帜阜謹(jǐn)?shù)，再加減.探究新知知識(shí)點(diǎn)1同分母分式的加減

同分母分?jǐn)?shù)相加減，分母不變，把分子相加減.你能將它推廣，得出同分母分式的加減法法則嗎？思考分式

例1

計(jì)算：注意結(jié)果要化為最簡(jiǎn)分式同分母的分式的加、減法運(yùn)算步驟：分母不變，分子相加減.13約分化為最簡(jiǎn)分式或整式.2把分子去括號(hào)，并按照整式的加減進(jìn)行計(jì)算.方法練習(xí)1.下面的計(jì)算是否正確？若不對(duì)，請(qǐng)改正.√×√××2.計(jì)算：知識(shí)點(diǎn)2異分母分式的加減

異分母分?jǐn)?shù)相加減，先通分，變?yōu)橥帜阜謹(jǐn)?shù)，再加減.分式分式

例2

計(jì)算：12abc(m+3)(m–3)分式的加減法的思路方法異分母相加減同分母相加減分子(整式)相加減通分轉(zhuǎn)化為分母不變轉(zhuǎn)化為練習(xí)計(jì)算：隨堂練習(xí)1.計(jì)算：【教材P153練習(xí)第1題】2.計(jì)算：【教材P153練習(xí)第2題】3.已知求的值.4.求式子的值，其中x=2+y.當(dāng)x=2+y

時(shí)，知識(shí)點(diǎn)1

同分母分式的加減

C

返回

A

返回

A

返回

C

返回

返回知識(shí)點(diǎn)2

異分母分式的加減6.填空：

返回

B

返回

C

返回

②

返回

返回11.如圖，一個(gè)正確的運(yùn)算過程被蓋住了一部分，則被蓋住的部分是(

)D

返回

BA.①處

B.②處

C