第1章

三角形1.5等腰三角形第2課時(shí)

等腰三角形的判定復(fù)習(xí)回顧ABC1．等邊對(duì)等角．等腰三角形有哪些性質(zhì)呢？2．頂角的角平分線、底邊上的中線、底邊上的高三線合一．獲取新知1.請(qǐng)同學(xué)們分別拿出一張半透明紙，做一個(gè)實(shí)驗(yàn)，按以下方法進(jìn)行操作：①在半透明紙上畫一條線段BC．②以BC為始邊，分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為頂點(diǎn)，用量角器畫兩個(gè)相等的銳角，兩角終邊的交點(diǎn)為A．③用刻度尺找出BC的中點(diǎn)D，連接AD，然后沿AD對(duì)折．問題1：AB與AC是否重合？問題2：本實(shí)驗(yàn)的條件與結(jié)論如何用文字語言加以敘述？BCAD.已知：在△ABC中，∠B＝∠C.

求證：AB＝AC．探索一：在△BAD和△CAD中，∠1＝∠2，∠B＝∠C，

AD＝AD，

∴△BAD≌△CAD(AAS)，∴AB＝AC(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)．已知：在△ABC中，∠B＝∠C.求證：AB＝AC．法一：作∠A的平分線交BC于D．ABCD12已知：在△ABC中，∠B＝∠C.求證：AB＝AC．法二：過A點(diǎn)作AD⊥BC，垂足為D．ABCD∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC，在△ADB和△ADC中，∠ADB＝∠ADC，∠B＝∠C，

AD＝AD，∴△ADB≌△ADC，∴AB＝AC．思考：通過這道題的證明你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？等腰三角形的判定定理有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形（簡稱“等角對(duì)等邊”）幾何語言：BCA((在△ABC中,∵∠B=∠C,∴AB=AC.歸納總結(jié)思考：“等邊對(duì)等角”與“等角對(duì)等邊”是否一樣？它們的主要區(qū)別在哪里？（1）它們的條件與結(jié)論正好調(diào)換了過來，為互逆命題等邊等角等角等邊（2）“等邊對(duì)等角”為等腰三角形的性質(zhì)定理（3）“等角對(duì)等邊”為等腰三角形的判定定理ABCE（（12D例1

已知：如圖，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC求證：AB=AC．

證明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠C．而已知∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC．（兩直線平行，同位角相等）（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）（等角對(duì)等邊）例題講解探究在圖中,如果AB=AC,AD∥BC,那么AD平分∠EAC嗎?請(qǐng)證明你的結(jié)論.解:AD平分∠EAC.證明如下:∵AD∥BC,∴∠EAD=∠B,∠DAC=∠C.∵AB=AC,∴∠B=∠C(等邊對(duì)等角).∴∠EAD=∠DAC.∴AD平分∠EAC.變式如圖,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分線相交于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作EF∥BC交AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F.求證:BE+CF=EF.證明:∵BD平分∠ABC,∴∠EBD=∠DBC.∵EF∥BC,∴∠EDB=∠DBC.∴∠EDB=∠EBD.∴DE=BE.同理,CF=DF.∴EF=DE+DF=BE+CF,即BE+CF=EF.拓展如圖,在△ABC中,∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE∥AB交AC于點(diǎn)E.求證:△AED是等腰三角形;解:證明:∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.∵DE∥AB,∴∠EDA=∠BAD,∴∠EDA=∠CAD,∴EA=ED,∴△AED是等腰三角形.遇角平分線構(gòu)造等腰三角形的一般方法(1)從角的平分線上任意取一點(diǎn)作角的一邊的平行線,與另一邊相交,得等腰三角形;(2)從角的一邊任意取一點(diǎn)作角平分線的平行線,與另一邊的反向延長線相交,得等腰三角形.

方法總結(jié)

例2

已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D,E分別在邊AC,AB上,且∠ABD=∠ACE,BD與CE相交于點(diǎn)O.求證:OB=OC.證明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵∠ABD=∠ACE,∴∠OBC=∠OCB,∴OB=OC.變式如圖,在△ABC中,AB=AC,D是邊AB上一點(diǎn),∠BCD=∠A.求證:CD=CB.證明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵∠BDC是△ADC的一個(gè)外角,∴∠BDC=∠A+∠ACD.∵∠ACB=∠BCD+∠ACD,∠BCD=∠A,∴∠BDC=∠ACB,∴∠ABC=∠BDC,∴CD=CB.1.在△ABC中,∠A和∠B的度數(shù)如下,其中能判定△ABC是等腰三角形的是 (

)A.∠A=50°,∠B=70° B.∠A=70°,∠B=40°C.∠A=30°,∠B=90° D.∠A=80°,∠B=60°B隨堂演練2.如圖,∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°,則圖中等腰三角形有(

D

)A.0個(gè)

B.1個(gè)

C.2個(gè)

D.3個(gè)3.如圖,△ABC中,AD是∠BAC的平分線,DE∥AB交AC于點(diǎn)E,若DE=7,CE=8,則AC的長為

.

154.在△ABC中,∠A=90°,當(dāng)∠B=

°時(shí),△ABC是等腰三角形.

455.如圖,在△ABC中,∠B=∠C=54°,D是邊BC的中點(diǎn),連接AD,則∠DAC的度數(shù)為

.

36°6.如圖,△ABC中,AB=AC,E是AC上一點(diǎn),ED⊥BC于點(diǎn)D,DE的延長線交BA的延長線于點(diǎn)F.求證:△AEF是等腰三角形.證明:∵DF⊥BC,∴∠B+∠F=90°,∠C+∠DEC=90°.∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠F=∠DEC.∵∠AEF=∠DEC,∴∠F=∠AEF,∴AF=AE,∴△AEF是等腰三角形.7.如圖,在△ABC中,D為邊AC上的一點(diǎn),BD=BC,過點(diǎn)D作DE∥AB交BC于