【答案】相似三角形專題練習(xí)（常見(jiàn)模型匯總）A字模型已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，且滿足AE＝2EC，點(diǎn)F在線段CD上，作直線FE，交線段AB于點(diǎn)M，交直線BC于點(diǎn)N．（1）當(dāng)CF＝2時(shí)，求線段BN的長(zhǎng)；（2）若設(shè)CF＝x，△BNE的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍；（3）試判斷△BME能不能成為等腰三角形，若能，請(qǐng)直接寫出x的值．【詳解】解：（1）如圖1，在矩形ABCD中，BC＝AD＝6，，∴△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，∴,∴AM＝2CF＝4，∴BM＝AB﹣AM＝5，∴，∴BN＝10；（2）當(dāng)CF＝BM時(shí)，，此時(shí)△BEN不存在，∴CF＝9﹣2CF，∴CF＝3，當(dāng)點(diǎn)M和B點(diǎn)重合時(shí)，AB＝2CF，∴CF＝4.5，∴分為0＜x＜3和3＜x＜4.5，如圖2，當(dāng)0＜x＜3時(shí)，作EG⊥BC于G，由（1）知，EG＝3，AM＝2CF＝2x，∴BM＝9﹣2x，由得，，∴，∴y＝＝＝；如圖3，當(dāng)3＜x＜4.5時(shí)，由得，∴CN＝，∴y＝＝；（3）如圖4，∵，∴，∴CG＝CB＝2，∴GB＝CB﹣CG＝4，∴BE＝5，當(dāng)BM＝BE＝5時(shí)，9﹣2x＝5，∴x＝2，如圖5，當(dāng)EM＝EB＝5時(shí)，作EH⊥AB于H，∴BM＝2BH＝2EG＝6，∴9﹣2x＝6，∴x=，如圖6，當(dāng)EM＝BM時(shí)，作MH⊥BE于H，在Rt△BMH中，BH＝，cos∠MBH＝cos∠BEG＝，∴BM＝，∴9﹣2x＝，∴x＝，綜上所述：x＝2或或．一塊直角三角形木板的面積為，一條直角邊為，怎樣才能把它加工成一個(gè)面積最大的正方形桌面？甲、乙兩位木匠的加工方法如圖所示，請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的知識(shí)說(shuō)明哪位木匠的方法符合要求（加工損耗忽略不計(jì)，計(jì)算結(jié)果中的分?jǐn)?shù)可保留）．【詳解】解：作BH⊥AC于H，交DE于M，如圖∵∴∵∴∴又∵DE∥AC∴∴，解得設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x米，如圖乙∵DE∥AB∴∴，解得∵∴乙木匠的加工方法符合要求．8字模型已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，在邊AB的延長(zhǎng)線上截取BE＝AB，點(diǎn)F在AE的延長(zhǎng)線上，CE和DF交于點(diǎn)M，BC和DF交于點(diǎn)N，聯(lián)結(jié)BD．（1）求證：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB?AF，求證：CM?AB＝DM?CN．【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，而BE=AB，∴BE=CD，而BE∥CD，∴四邊形BECD為平行四邊形，∴BD∥CE，∵CM∥DB，∴△BND∽△CNM；（2）∵AD2=AB?AF，∴AD：AB=AF：AD，而∠DAB=∠FAD，∴△ADB∽△AFD，∴∠1=∠F，∵CD∥AF，BD∥CE，∴∠F=∠4，∠2=∠3，∴∠3=∠4，而∠NMC=∠CMD，∴△MNC∽△MCD，∴MC：MD=CN：CD，∴MC?CD=MD?CN，而CD=AB，∴CM?AB=DM?CN．如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝AC，∠ADC＝α，點(diǎn)E為射線BA上一動(dòng)點(diǎn)，且AE＜AB，連接DE，將線段DE所在直線繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，DE所在直線與射線CA交于點(diǎn)G．（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，求證：△ADH≌△CDG；（2）當(dāng)α≠60°時(shí)，①如圖2，連接HG，求證：△ADC∽△HDG；②若AB＝9，BC＝12，AE＝3，請(qǐng)直接寫出EG的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：∵AD＝AC，∠ADC＝60°，∴△ACD為等邊三角形，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB=CD=BC=AD，∠B=∠ADC=60°，AD∥BC，∴∠HAD=∠B=60°=∠GCD，∵∠GDH=∠CDA=60°，∴∠HDA+∠ADG=∠CDG+∠ADG=60°，∴∠HDA=∠CDG，在△ADH和△CDG中△ADH≌△CDG（ASA）；（2）①證明：∵AD＝AC，∠ADC＝α，∴∠ACD=∠ADC＝α，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠HAD=∠ADC=α=∠GCD，∵∠GDH=α=∠ADC，∴∠ADH+∠ADG=∠CDG+∠ADG=α，∴∠ADH=∠CDG，∴△ADH∽△CDG；②解：當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，過(guò)C作CN⊥AB于N，過(guò)G作GM⊥AE于M，∵四邊形ABCD為平行四邊形，AB∥DC，AB=DC=9，AD=BC=12，∴∠EAG=∠DCG，∠AEG=∠CDG，∴△AGE∽△CGD，∴，∴，∵AD=AC=12，∴AG+CG=AG+3AG=4AG=12，∴AG=3，∴CG=AC-AG=12-3=9，∵AC=AD=BC，CN⊥AB，∴AN=BN=，在Rt△BCN中，根據(jù)勾股定理CN=，∴GM∥CN，∴△AMG∽△ANC，∴，∴,，∴EM=AE-AM=，在Rt△MGE中，根據(jù)勾股定理EG=，當(dāng)點(diǎn)E在BA延長(zhǎng)線上，過(guò)C作CN⊥AB于N，過(guò)G作GM⊥AE于M，∵AE∥CD，∴∠GAE=∠GCD，∠GEA=∠GDC，∴△GAE∽△GCD，∴，∴，∵AC=GC-GA=3GA-GA=2GA=12,∴GA=6，∵AC=AD=BC，CN⊥AB，∴AN=BN=，在Rt△BCN中，根據(jù)勾股定理CN=，∵CN⊥AB，GM⊥AE，∴GM∥CN，∴△GMA∽△CNA，∴，∴，，∴EM=AE-AM=3-，在Rt△GME中，根據(jù)勾股定理EG=，∴綜合EG的長(zhǎng)為或．母子型【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，∠ACD＝∠B．求證：AC2＝AD?AB．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在?ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)為CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，∴，∴AC2=AD?AB．（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，∠A=∠C，又∵∠BFE=∠A，∴∠BFE=∠C，又∵∠FBE=∠CBF，∴△BFE∽△BCF，∴，∴BF2=BE?BC，∴BC===，∴AD=．如圖1，在菱形ABCD中，AC是對(duì)角線，AB＝AC＝6，點(diǎn)E、F分別是邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足AE＝BF，連接AF與CE相交于點(diǎn)G．（1）求的度數(shù)．（2）如圖2，作交CE于點(diǎn)H，若CF＝4，，求GH的值．（3）如圖3，點(diǎn)O為線段CE中點(diǎn)，將線段EO繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EM，當(dāng)構(gòu)成等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出AE的長(zhǎng)．解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，AB＝AC，∴AB＝AC＝BC＝AD＝CD，∴△ABC，△ACD是等邊三角形．∴∠ABC＝∠CAE，在△ABF與△CAE中，∴△ABF≌△CAE(SAS)，∴∠BAF＝∠ACE，∴∠CGF＝∠GAC＋∠ACG＝∠GAC＋∠BAF＝∠BAC＝60°；（2）如圖所示，延長(zhǎng)GA至點(diǎn)K使得AK＝CG．∵∠BAF＝∠ACE，∴∠FAC＝∠GCF，∵∠GFC＝∠AFC，∴△AFC∽△CFG，∴,∵CF＝4，，AC＝6，∴，，∵∠FGC＝60°，∠ADC＝60°，∴∠AGC＋∠ADC＝180°，∴∠GAD＋∠GCD＝180°，∵∠KAD＋∠GAD＝180°，∴∠KAD＝∠GCD，又∵DC=DA，∴△ADK≌△CDG（SAS），∴DK＝DG，∠KDA＝∠GDC，∴∠KDG＝∠ADC＝60°，∴△DKG是等邊三角形，∴∠AGD＝∠DGH＝60°，DG＝KG＝AK＋AG＝AG＋CG＝，∵，∠DGH＝60°，∴；（3）①若AM=MC，則△MAC為等腰三角形，此時(shí)，取AC中點(diǎn)為點(diǎn)P，連接OP，OM，BM，∵∠MEO=60°，EO=EM，∴△OEM為等邊三角形，∵∠FGC=60°，∴∠MEO=∠FGC，∴ME∥AF，∵O為CE的中點(diǎn)，P為AC的中點(diǎn)，

∴OP為△AEC的中位線，OP∥AB，∵△ABC為等邊三角形，△MAC為等腰三角形，P為AC的中點(diǎn)，∴由“三線合一”知，B、M、P三點(diǎn)共線，且BP⊥AC，AP=PC=AC=3，∠ABP=∠ABC=30°，∵△OEM為等邊三角形，∴OE=OM，∠OEM=∠OME，∵OE=OC，∴OM=OC，∠OMC=∠OCM，∴∠OEM+∠OCM=∠OME+∠OMC，即：∠OEM+∠OCM=∠EMC，∴∠EMC=90°，CM⊥EM，∴在Rt△CEM中，∠ECM=90°-60°=30°，此時(shí)，如圖所示，將△AEC繞著C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△BNC，連接MN，則∠ACE=∠BCN，∠NBC=60°，∵∠ECM=30°，∴∠ACE+∠MCB=30°，∴∠BCN+∠MCB=∠MCN=30°，∴∠MCN=∠MCE=30°，∵CE=CN，∠MCN=∠MCE，CM=CM，∴△MCE≌△MCN，∴∠CMN=∠CME=90°，∴E、M、N三點(diǎn)共線，∴△ECN為等邊三角形，∵∠NBC=∠ACB=60°，∴BN∥AC，∵∠BPC=90°，∴∠NBM=90°，∵∠CMN=90°，∴∠BMN+∠CMP=90°，∵∠BMN+∠BNM=90°，∴∠BNM=∠CMP，∴△BMN∽△PCM，∴，∵，∴，∵PC=3，∴BM=，在Rt△ABP中，AP=3，∠ABP=30°，∴BP=，∴PM=BP-BM=，∵∠MBC=30°，∠OMC=90°-∠OME=30°，∴∠MBC+∠MCB=∠OMC+∠OMP，∴∠MCB=∠OMP，∵OP∥AB，∴∠OPC=∠BAC=60°，∴∠OPM=90°-60°=30°，∴△OPM∽△MBC，∴，即：，∴OP=1，∵OP為△AEC的中位線，∴AE=2OP=2；②若AM=AC，則△AMC為等腰三角形，如圖所示，取AC中點(diǎn)P，連接OP，延長(zhǎng)AO交MC于Q點(diǎn)，由①可知，△EMC始終為直角三角形，∠EMC=90°，∠ECM=30°，且EM與AF始終平行，∴∠EMC=∠AQC=90°，AQ⊥MC于Q點(diǎn)，∵OM=OC，∴O點(diǎn)在AQ上，∵∠COQ=60°，∠CGF=60°，

∴此時(shí)O點(diǎn)和G點(diǎn)重合，∵∠CPO=∠CAB=60°，∠COQ=60°，∴∠APO=∠AOC=120°，∴△APO∽△AOC，∴，∵AC=6，AP=3，∴，∴AO=，∵Rt△OCQ中，∠OCQ=30°，∴設(shè)OQ=x，則CQ=x，在Rt△CAQ中，，即：，解得：或（不合題意，舍去），∴，，∴由得：，解得：，∵OP是△AEC的中位線，∴AE=2OP=；③若AC=MC，則E點(diǎn)在AB的延長(zhǎng)線上，此時(shí)與E點(diǎn)在邊AB上運(yùn)動(dòng)矛盾，故該種情況舍去；綜上，AE＝2或．旋轉(zhuǎn)型某校數(shù)學(xué)活動(dòng)小組探究了如下數(shù)學(xué)問(wèn)題：(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，中，，．點(diǎn)P是底邊BC上一點(diǎn)，連接AP，以AP為腰作等腰，且，連接CQ、則BP和CQ的數(shù)量關(guān)系是______；(2)變式探究：如圖2，中，，．點(diǎn)P是腰AB上一點(diǎn)，連接CP，以CP為底邊作等腰，連接AQ，判斷BP和AQ的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)問(wèn)題解決：如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn)，以DP為邊作正方形DPEF，點(diǎn)Q是正方形DPEF兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，連接CQ．若正方形DPEF的邊長(zhǎng)為，，求正方形ABCD的邊長(zhǎng)．（1）解：∵是等腰直角三角形，，在中，，，∴，，∴．在和中，，∴，∴；（2）解：判斷，理由如下：∵是等腰直角三角形，中，，，∴，．∵，∴，∴，∴，∴；（3）解：連接BD，如圖所示，∵四邊形與四邊形是正方形，DE與PF交于點(diǎn)Q，∴和都是等腰直角三角形，∴，．∵，∴，∴，∴．∵，∴．在中，，設(shè)，則，又∵正方形的邊長(zhǎng)為，∴，∴，解得（舍去），．∴正方形的邊長(zhǎng)為3．如圖，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE，其中AB＝AC，AD＝AE．(1)如圖1，若∠BAC＝90°，當(dāng)C、D、E共線時(shí)，AD的延長(zhǎng)線AF⊥BC交BC于點(diǎn)F，則∠ACE＝______；(2)如圖2，連接CD、BE，延長(zhǎng)ED交BC于點(diǎn)F，若點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，∠BAC＝∠DAE，證明：AD⊥CD；(3)如圖3，延長(zhǎng)DC到點(diǎn)M，連接BM，使得∠ABM＋∠ACM＝180°，延長(zhǎng)ED、BM交于點(diǎn)N，連接AN，若∠BAC＝2∠NAD，請(qǐng)寫出∠ADM、∠DAE它們之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過(guò)程．(1)解：∵△ABC為等腰三角形，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，由三角形外角性質(zhì)知，∠ADE=∠ACE+∠DAC，∠AED=∠ECB+∠B，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∴∠ACE+∠DAC=∠ECB+∠B，∵AF⊥BC，∴∠BAF=∠CAD=45°，∴∠ACE=∠BCE，又∠ACB=45°，∴∠ACE=22.5°，故答案為：22.5°．(2)解：連接AF，過(guò)A作AH⊥EF于H，如圖所示，∵∠BAC=∠DAE，AD=AE，AB=AC，∴∠CAF=∠BAF=∠DAH=∠EAH，∴∠CAD=∠HAF，由△ACF∽△ADH知，∴，∴△ACD∽△AFH，∴∠ACD=∠AFH，∴∠CDF=∠CAF，∵∠ADE=∠AED=90°－∠DAE，∴∠ADE+∠CDF=90°，故∠ADC=90°，即AD⊥CD．(3)解：將AN繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠BAC的度數(shù)，交MD延長(zhǎng)線于Q，∵∠BAC=∠QAN，∴∠QAC=∠BAN，∵∠ABM+∠ACM=180°，∠ACM+∠ACQ=180°，∴∠ABM=∠ACQ，∵AB=AC，∴△ACQ≌△ABN，∴AN=AQ，∵∠BAC=2∠NAD=∠NAQ，∴∠QAD=∠NAD，又AD=AD，∴△AND≌△ADQ，∴∠AND=∠ADQ，即∠ADM+∠MDN=∠ADE+∠EDQ，∴∠ADM=∠ADE，∵AD=AE，∴∠DAE+2∠ADE=180°，即∠DAE+2∠ADM=180°．K字型某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)了尺規(guī)作圖、等腰三角形和相似三角形的有關(guān)知識(shí)后，在等腰△ABC中，其中，如圖1，進(jìn)行了如下操作：第一步，以點(diǎn)A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交BA的延長(zhǎng)線和AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，如圖2；第二步，分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于EF的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)D，作射線AD；第三步，以D為圓心，DA的長(zhǎng)為半徑畫弧，交射線AE于點(diǎn)G；(1)填空；寫出∠CAD與∠GAD的大小關(guān)系為；(2)①請(qǐng)判斷AD與BC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．②當(dāng)時(shí)，連接DG，請(qǐng)直接寫出；(3)如圖3，根據(jù)以上條件，點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M為射線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PM，PC，當(dāng)時(shí)，求AM的長(zhǎng)．解：(1)由尺規(guī)作圖步驟發(fā)現(xiàn)AD平分∠CAG∴∠CAD=∠GAD；(2)①∵∴∵∠CAD=∠GAD,∴∴AD∥BC②∵∴∵∴∴∴∵∴(3)以M為圓心，MA的長(zhǎng)為半徑畫弧，交射線BA于點(diǎn)N，如圖由（1）（2）可得,設(shè)則∵點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)∴∵∴∴∴∴∴，解得∴．【推理】如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD上一動(dòng)點(diǎn)，將正方形沿著BE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，連結(jié)BE，CF，延長(zhǎng)CF交AD于點(diǎn)G．（1）求證：．【運(yùn)用】（2）如圖2，在【推理】條件下，延長(zhǎng)BF交AD于點(diǎn)H．若，，求線段DE的長(zhǎng)．【拓展】（3）將正方形改成矩形，同樣沿著BE折疊，連結(jié)CF，延長(zhǎng)CF，BF交直線AD于G，兩點(diǎn)，若，，求的值（用含k的代數(shù)式表示）．【詳解】（1）如圖，由折疊得到，，．又四邊形ABCD是正方形，，，，又正方形，．（2）如圖，連接，由（1）得，，由折疊得，，．四邊形是正方形，，，又，，．，，，．，，（舍去）．（3）如圖，連結(jié)HE，由已知可設(shè)，，可令，①當(dāng)點(diǎn)H在D點(diǎn)左邊時(shí)，如圖，同（2）可得，，，由折疊得，，又，，，又，，，，，，．，，，（舍去）．②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右邊時(shí)，如圖，同理得，，同理可得，可得，，，，（舍去）．三角形內(nèi)接矩形如圖，已知三角形鐵皮的邊，邊上的高，要剪出一個(gè)正方形鐵片，使、在上，、分別在、上，則正方形的邊長(zhǎng)________．解：如圖，設(shè)高AM交GF于H點(diǎn)，∵四邊形DEFG為正方形，∴GF∥DE，即：GF∥BC，∴AH⊥GF，△AGF∽△ABC，∴，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，∴，解得：，故答案為：．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿邊AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB交折線AC﹣CB于點(diǎn)D，以PD為邊在PD右側(cè)做正方形PDEF．設(shè)正方形PDEF與△ABC重疊部分圖形的面積為S，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜4）．（1）當(dāng)點(diǎn)D在邊AC上時(shí)，正方形PDEF的邊長(zhǎng)為（用含t的代數(shù)式表示）．（2）當(dāng)點(diǎn)E落在邊BC上時(shí)，求t的值．（3）當(dāng)點(diǎn)D在邊AC上時(shí)，求S與t之間