第五章4.2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)目錄索引

課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解楊輝三角,會用楊輝三角求二項(xiàng)式乘方次數(shù)不大時的各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù).2.理解二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)并靈活運(yùn)用.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過知識點(diǎn)1

楊輝三角(a+b)n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)在當(dāng)n取正整數(shù)時可以表示成如下形式:上面的二項(xiàng)式系數(shù)表稱為

.

楊輝三角

名師點(diǎn)睛1.從楊輝三角可以看出(a+b)n展開后共有n+1項(xiàng).2.(a+b)n展開后每項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)對稱出現(xiàn)且先增大后減小.思考辨析在楊輝三角中,每一行的數(shù)字有什么特點(diǎn),下一行與上一行的數(shù)字有什么聯(lián)系嗎?提示

每一行的數(shù)字是對稱的,先增大,后減小,并且首尾數(shù)字均為1.下一行的數(shù)字除1外的每一個數(shù)字都等于它的“肩上”的兩個數(shù)字的和.用代數(shù)式表示為自主診斷10242.[人教A版教材習(xí)題]寫出n從1到10的二項(xiàng)式系數(shù)表.解

如表.n=11

1n=21

2

1n=31

3

3

1n=41

4

6

4

1n=51

5

10

10

5

1n=61

6

15

20

15

6

1n=71

7

21

35

35

21

7

1n=81

8

28

56

70

56

28

8

1n=91

9

36

84

126

126

84

36

9

1n=101

10

45

120

210

252

210

120

45

10

13.[人教A版教材習(xí)題]若一個集合含有n個元素,則這個集合共有多少個子集?解

(方法一)對于集合中的任一元素,它與子集的關(guān)系都有且只有兩種選擇:“屬于”與“不屬于”,由分步乘法計數(shù)原理,得集合中的n個元素在子集中的情況共有2n種,故這個集合共有2n個子集.(方法二)n個元素的集合子集元素個數(shù)可以分為0,1,2,…,n,共n+1類.故子集個數(shù)為知識點(diǎn)2

二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)1.對稱性:在(a+b)n的展開式中,與首末兩端“

”的兩個二項(xiàng)式系數(shù)相等,即2.增減性與最大值:當(dāng)k<時,二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸

的,由對稱性可知它的后半部分是逐漸

的,且在中間取得最大值.當(dāng)n是偶數(shù)時,中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

取得最大值;當(dāng)n是奇數(shù)時,中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

相等,且同時取得最大值.

等距離

增大減小名師點(diǎn)睛求二項(xiàng)式系數(shù)的最大值或最小值時,一定要搞清楚n是奇數(shù)還是偶數(shù).思考辨析1.在楊輝三角中,如何找二項(xiàng)式系數(shù)的最大值?提示

觀察每行的數(shù)字,當(dāng)n為奇數(shù)時,展開后中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等并且最大;當(dāng)n為偶數(shù)時,中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大項(xiàng)是中間一項(xiàng)(共奇數(shù)項(xiàng))或中間兩項(xiàng)(共偶數(shù)項(xiàng)).(

)(2)二項(xiàng)展開式的偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和等于奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和.(

)(3)二項(xiàng)展開式項(xiàng)的系數(shù)是先增后減的.(

)(4)(3x+2)5的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為25=32.(

)×××√2.[人教A版教材習(xí)題](1)求(1-2x)15的展開式的前4項(xiàng);(2)求(2a3-3b2)10的展開式的第8項(xiàng);解

(1)前4項(xiàng)分別是1,-30x,420x2,-3

640x3.(2)T8=-2

099

520a9b14.(3)T7=924.3.[蘇教版教材例題]證明:在(a+b)n的展開式中,奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一與楊輝三角有關(guān)的問題【例1】

(1)如圖是與楊輝三角有類似性質(zhì)的三角形數(shù)壘,若a,b是某行的前兩個數(shù),當(dāng)a=7時,b等于(

)A.20 B.21

C.22

D.23C解析

觀察題圖可知,從第三行開始,每一行除開始和末尾的兩個數(shù)外,中間的數(shù)分別是其“兩肩”上相鄰兩個數(shù)的和,當(dāng)a=7時,b的“兩肩”上的第一個數(shù)為6,第二個數(shù)為16,所以b=6+16=22.★(2)如圖,在“楊輝三角”中,斜線AB的上方,從1開始箭頭所示的數(shù)組成一個鋸齒形數(shù)列:1,2,3,3,6,4,10,5,…,記其前n項(xiàng)和為Sn,求S19的值.規(guī)律方法

解決與楊輝三角有關(guān)的問題的一般思路

變式訓(xùn)練1(1)楊輝是我國南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家.在他著的《詳解九章算法》一書中記載了“楊輝三角”.若用ai-j表示如圖所示三角形數(shù)陣的第i行第j個數(shù),則a100-3=(

)A.5050 B.4851C.4950 D.5000B★(2)如圖,在“楊輝三角”中,斜線AB的上方,從1開始箭頭所示的數(shù)組成一個鋸齒形數(shù)列:1,2,3,3,6,4,10,5,…,記其前n項(xiàng)和為Sn,求S19的值.探究點(diǎn)二求展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和【例2】

若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,求:(1)a7+a6+…+a1;(2)a7+a5+a3+a1;(3)a6+a4+a2+a0;(4)|a7|+|a6|+…+|a1|.解

(1)令x=0,則a0=-1;令x=1,則a7+a6+…+a1+a0=27=128,①所以a7+a6+…+a1=128-(-1)=129.(4)∵在(3x-1)7展開式中,a7,a5,a3,a1均大于零,而a6,a4,a2,a0均小于零,∴|a7|+|a6|+…+|a1|=(a1+a3+a5+a7)-(a2+a4+a6)=(a1+a3+a5+a7)-(a0+a2+a4+a6)+a0=8

256-(-8

128)+(-1)=16

383.規(guī)律方法

“賦值法”是解決二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)常用的方法,根據(jù)題目要求,靈活賦給字母不同值.一般地,要使展開式中項(xiàng)的關(guān)系變?yōu)橄禂?shù)的關(guān)系,令x=0可得常數(shù)項(xiàng),令x=1可得所有項(xiàng)系數(shù)之和,令x=-1可得偶次項(xiàng)系數(shù)之和與奇次項(xiàng)系數(shù)之和的差.變式訓(xùn)練2(1)在二項(xiàng)式(2x-3y)9的展開式中,求:①二項(xiàng)式系數(shù)之和;②各項(xiàng)系數(shù)之和;③所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和.②各項(xiàng)系數(shù)之和為a0+a1+a2+…+a9,令x=1,y=1,所以a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1.③令x=1,y=-1,可得a0-a1+a2-…-a9=59,又a0+a1+a2+…+a9=-1,★(2)在①只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大;②第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等;③奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為512這三個條件中任選一個,補(bǔ)充在下面問題中,并解答.已知(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且滿足

.

(ⅱ)a1+2a2+…+nan的值.解

選①,(ⅰ)只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,所以n=10.由于(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,故(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,當(dāng)x=0時,a0=1;(ⅱ)由于(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,兩邊同時求導(dǎo)得20(2x-1)9=a1+2a2x+…+10a10x9,令x=1得a1+2a2+…+10a10=20.選②,(ⅰ)第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,由于(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,故(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,當(dāng)x=0時,a0=1;(ⅱ)由于(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,兩邊同時求導(dǎo)得20(2x-1)9=a1+2a2x+…+10a10x9,令x=1得a1+2a2+…+10a10=20.選③,(ⅰ)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為512,所以2n-1=512=29,解得n=10.由于(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,故(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,當(dāng)x=0時,a0=1;(ⅱ)由于(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,兩邊同時求導(dǎo)得20(2x-1)9=a1+2a2x+…+10a10x9,令x=1得a1+2a2+…+10a10=20.探究點(diǎn)三二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例3】

[2024陜西寶雞質(zhì)檢]已知(2x+1)n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為a,(x+)n展開式的奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為b,且a-b=32,則在(x2-)n的展開式中,求解下列問題:(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);(2)系數(shù)的絕對值最大的項(xiàng).規(guī)律方法

1.求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng):2.求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng):如求(a+bx)n(a,b∈R)的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng),一般是采用待定系數(shù)法,設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為A1,A2,…,An+1,且第k項(xiàng)系數(shù)最大,應(yīng)用

從而解得r即可.3.把系數(shù)最大項(xiàng)問題通過分析運(yùn)算得到正確結(jié)論,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).變式訓(xùn)練3寫出(x-y)11的展開式中:(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);(2)項(xiàng)的系數(shù)絕對值最大的項(xiàng);(3)項(xiàng)的系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最小的項(xiàng);(4)二項(xiàng)式系數(shù)的和;(5)各項(xiàng)系數(shù)的和.解

(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間兩項(xiàng):T6=-462x6y5,T7=462x5y6.(3)由(2)知中間兩項(xiàng)系數(shù)絕對值相等,又第6項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù),第7項(xiàng)系數(shù)為正數(shù),故項(xiàng)的系數(shù)最大的項(xiàng)為T7=462x5y6,項(xiàng)的系數(shù)最小的項(xiàng)為T6=-462x6y5.學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)123451.在的展開式中,系數(shù)最大的項(xiàng)是(

)A.第6項(xiàng)

B.第3項(xiàng)C.第3項(xiàng)和第6項(xiàng) D.第5項(xiàng)和第7項(xiàng)D123452.若x10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10(x-1)