9.2.3總體集中趨勢的估計第九章統(tǒng)計數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.通過實例，理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計含義，能用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)（眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)），培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng).

2.通過典型例題，能正確求解樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù).

3.通過對平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).學(xué)習(xí)重難點重點：

1.求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．2.利用樣本的集中趨勢估計總體的集中趨勢.難點：1.對于不同數(shù)據(jù)類型正確選擇描述總體集中趨勢的統(tǒng)計量.2.利用頻率直方圖估計總體的集中趨勢.3.對數(shù)據(jù)陷阱的理解．課堂導(dǎo)入

在初中，我們已對平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)有一定的學(xué)習(xí)，請大家先看三個實例，并將三個特征量填在合適的位置上.一、創(chuàng)設(shè)情境，復(fù)習(xí)導(dǎo)入

問題1

a.某服裝專業(yè)學(xué)生需設(shè)計一款均碼的女裝，應(yīng)該關(guān)心女性人群服裝尺碼的

.b.商場銷售部門給營業(yè)員制定銷售指標(biāo)，需至少有一半人能完成任務(wù)，需要參考以往營業(yè)員銷售額的

.c.跳水比賽中，選手更關(guān)心成績的

.眾數(shù)中位數(shù)平均數(shù)

課堂導(dǎo)入一、創(chuàng)設(shè)情境，復(fù)習(xí)導(dǎo)入

問題2：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)，這三個特征量它們有什么共同點？

它們從不同角度刻畫了總體的“中心位置”，平均數(shù)從數(shù)值中心的角度進行總體集中趨勢的估計，而中位數(shù)、眾數(shù)則是從位置中心的角度進行總體集中趨勢的估計.課堂任務(wù)一請用結(jié)構(gòu)圖梳理數(shù)據(jù)集中趨勢的知識內(nèi)容課堂探究二、探究新知

數(shù)據(jù)的集中趨勢平均數(shù)：表示一組數(shù)據(jù)的平均水平，極易受極端值影響.中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)按從小到大（或從大到小）的順序排列，處于中間位置的數(shù)，反映了一組數(shù)據(jù)取值的中間水平.眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，表示一組數(shù)據(jù)的集中情況.課堂任務(wù)二探究平均數(shù)和中位數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別課堂探究探究：利用9.2.1節(jié)中100戶居民用戶的月均用水量的調(diào)查數(shù)據(jù)，（1）請同學(xué)們計算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù).（2）假設(shè)有2000戶居民用戶，你能估計該小區(qū)的月均用水總量嗎？（3）小明用統(tǒng)計軟件計算了這100戶居民月用水量的平均數(shù)和中位數(shù)，但錄入數(shù)據(jù)時把一個數(shù)據(jù)7.7錄成了77.請計算錄入數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)，與真實的樣本平均數(shù)和中位數(shù)作比較.哪個量變化更大？請說明理由.課堂探究

100戶居民用戶的月均用水量數(shù)據(jù)(單位:t)9.013.614.95.94.07.16.45.419.42.02.28.613.85.410.24.96.814.02.010.52.15.75.116.86.011.11.311.27.74.92.310.016.712.012.47.85.213.62.622.43.67.18.825.63.218.35.12.03.012.022.210.85.52.024.39.93.65.64.47.95.124.56.47.54.720.55.515.72.65.75.56.016.02.49.53.717.03.84.12.35.37.88.14.313.36.81.37.04.91.87.128.010.213.817.910.15.54.63.221.6

（3）通過計算可以發(fā)現(xiàn),平均數(shù)由原來的8.79t變?yōu)?.483t,中位數(shù)沒有變化,還是6.8t.這是因為樣本平均數(shù)與每一個樣本數(shù)據(jù)有關(guān),樣本中的任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變;但中位數(shù)只利用了樣本數(shù)據(jù)中間位置的一個或兩個值,并未利用其他數(shù)據(jù),所以不是任何一個樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起中位數(shù)的改變.課堂探究總結(jié)：與中位數(shù)比較，平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中的更多信息，對樣本中的極端值更加敏感.

課堂探究思考：平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趁勢，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān).在下圖的三種分布形態(tài)中，平均數(shù)和中位數(shù)的大小存在什么關(guān)系?(1)平均數(shù)和中位數(shù)應(yīng)該大體上差不多；（對稱）(2)平均數(shù)大于中位數(shù)；（右邊“拖尾”)(3)平均數(shù)小于中位數(shù).（左邊“拖尾”)總結(jié)：在直方圖中，平均數(shù)總在“長尾巴”那邊.課堂任務(wù)三探究眾數(shù)課堂探究探究：某學(xué)校要定制高一年級的校服，學(xué)生根據(jù)廠家提供的參考身高選擇校服規(guī)格.據(jù)統(tǒng)計，高一年級女生需要不同規(guī)格校服的頻數(shù)如下表所示.（1）如果用一個量來代表該校高一年級女生所需校服的規(guī)格，那么在中位數(shù)、平均數(shù)和眾數(shù)中，哪個量比較合適?（2）試討論用上表中的數(shù)據(jù)估計全國高一年級女生校服規(guī)格的合理性.校服規(guī)格155160165170175合計頻數(shù)39641679026386解：（1）為了更直觀地觀察數(shù)據(jù)的特征，我們用條形圖表示表中的數(shù)據(jù)(如右圖).可以發(fā)現(xiàn)，選擇校服規(guī)格為“165”的女生的頻數(shù)最高，所以用眾數(shù)165作為該校高一年級女生校服的規(guī)格比較合適.課堂探究總結(jié)：一般地，對數(shù)值型數(shù)據(jù)(如用水量、身高、收入、產(chǎn)量等)集中趨勢的描述，可以用平均數(shù)、中位數(shù)；而對分類型數(shù)據(jù)(如校服規(guī)格、性別、產(chǎn)品質(zhì)量等級等)集中趨勢的描述,可以用眾數(shù).（2）由于全國各地的高一年級女生的身高存在一定的差異，所以用一個學(xué)校的數(shù)據(jù)估計全國高一年級女生的校服規(guī)格不合理.課堂任務(wù)四探究利用頻率分布直方圖估計數(shù)據(jù)的集中趨勢課堂探究說一說：我們在報紙、網(wǎng)絡(luò)上獲得的往往是已經(jīng)整理好的統(tǒng)計表或統(tǒng)計圖.是否可以估計樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)?可以估算，在頻率分布直方圖中,我們無法知道每個組內(nèi)的數(shù)據(jù)是如何分布的.此時，通常假設(shè)它們在組內(nèi)均勻分布,這樣就可以獲得樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的近似估計，進而估計總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).思考

你能以下圖中頻率分布直方圖提供的信息為例，給出估計方法嗎？（小組交流）眾數(shù)：最高矩形的中點橫坐標(biāo).課堂探究中位數(shù)：左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等.樣本平均數(shù)：可以用每個小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和

近似代替.

在頻率分布直方圖中，月均用水量在區(qū)間[4.2，7.2)內(nèi)的居民最多，可以將這個區(qū)間的中點5.7作為眾數(shù)的估計值.課堂探究課堂探究各抒己見

假設(shè)你到人力市場去找工作,有一個企業(yè)老板告訴你,“我們企業(yè)員工的年平均收入是20萬元”，你該如何理解這句話?以下方甲、乙兩家10人公司為例，觀察兩組數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？員工編號12345678910年收入/萬元20211923212016202218甲公司員工年平均收入情況表乙公司員工年平均收入情況表員工編號12345678910年收入/萬元5101207815101555課堂探究歸納總結(jié)對平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)做比較課堂課堂探究三、應(yīng)用舉例

【例1】根據(jù)如圖所示的頻率分布直方圖求出樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù).

課堂課堂探究三、應(yīng)用舉例

【例2】據(jù)了解，某公司的33名職工月工資（單位：元）如下：職務(wù)董事長副董事長董事總經(jīng)理經(jīng)理管理員職員人數(shù)11215320工資110001000090008000650055004000（1）求該公司職工月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)（精確到1）；（2）假設(shè)副董事長的工資從10000元提升到20000元，董事長的工資從11000元提升到30000元，那么新的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)又是多少（精確到整數(shù)）?（3）你認為哪個統(tǒng)計量更能反映這個公司員工的工資水平?結(jié)合此問題談一談你的看法．

（3）在這個問題中，中位數(shù)和眾數(shù)均能反映該公司員工的工資水平，因為公司中少數(shù)人的工資額與大多數(shù)人的工資額差別較大，這樣導(dǎo)致平均數(shù)偏差較大，所以平均數(shù)不能準(zhǔn)確反映這個公司員工的工資水平.課堂探究歸納新知眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的應(yīng)用特點（1）平均數(shù)與每一個數(shù)據(jù)都有關(guān)，可以反映更多的總體信息，但受極端值的影響大．（2）中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，不受極端值的影響，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中存在極端值時，可用中位數(shù)描述這組數(shù)據(jù)的集中趨勢．（3）眾數(shù)只能體現(xiàn)數(shù)據(jù)的最大集中點，無法客觀反映總體特征．課堂探究評價反饋

解析：把這組數(shù)據(jù)按從小到大排列為10，12，12，14，14，14，17，18，19，23，27，則可知其眾數(shù)為14，中位數(shù)為14.A評價反饋

評價反饋

893.在一次比賽上，9位評委給參賽選手甲打出的分數(shù)為88，89，8●，93，92，91，92，91，94.去掉一個最高分和一個最低分后，算得平均分為91，參賽選手復(fù)查時，發(fā)現(xiàn)有一個數(shù)的個位數(shù)字無法看清.若成績計算無誤，則該數(shù)為

.評價反饋4.（多選）甲、乙兩名射擊運動員在某次測試中各射擊20次，兩人測試成績的條形圖如圖所示，則下列說法正確的是（）A.甲運動員測試成績的中位數(shù)等于乙運動員測試成績的中位數(shù)B.甲運動員測試成績的眾數(shù)大于乙運動員測試成績的眾數(shù)C.甲運動員測試成績的平均數(shù)大于乙運動員測試成績的平均數(shù)D.甲運動員測試成績的第90百分位數(shù)等于乙運動員測試成績的第90百分位數(shù)AD

評價反饋

評價反饋5.（2024·紹興月考）已知一組數(shù)據(jù)丟失了其中一個，剩下的六個數(shù)據(jù)分別是4，4，7，4，8，10，若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與眾數(shù)的和是中位數(shù)的2倍，則丟失數(shù)據(jù)的所有可能值組成的集合為

.{－9，5，33}評價反饋6.某校高一年級舉行了一次數(shù)學(xué)競賽，為了解本次競賽學(xué)生的成績情況，從中抽取了部分學(xué)生的分數(shù)（得分取正整數(shù)，滿分為100）作為樣本（樣本容量為n），按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分組作出如圖所示的頻率分布直方圖，已知得分在[50，60），[90，100]內(nèi)的頻數(shù)分別為8，2.（1）求樣本容量n和頻率分布直方圖中的x，y的值；（2）估計本次競賽學(xué)生成績的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù).評價反饋

（2）由題中頻率分布直方圖可知，本次競賽學(xué)生成績的眾數(shù)約為75.

設(shè)中位數(shù)為m，∵（0.016＋0.030）×10＜0.5＜（0.016＋0.030＋0.040）×10，則m∈[70，80），∴（0.016＋0.030）×10＋（m－70）×0.040＝0.5，

解得m＝71，即本次競賽學(xué)生成績的中位數(shù)約為71.

本次競賽學(xué)生成績的平均數(shù)約為55×0.16＋65×0.3＋75×0.4＋85×0.1＋95×0.04＝70.6.課堂小結(jié)通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，你收獲了哪些新知識與技能？通過什么方法學(xué)到的？體會到了什么數(shù)學(xué)思想？1.已學(xué)習(xí)：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的計算