一、選擇題

1.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的外接球的表面積（單位:

cn?）是（）

A.364B.544C.72兀D.90乃

2.在長(zhǎng)方體ABC。—中，AB=BC=2,AAi=3,E是的中點(diǎn)，則直線

與直線20所成角的余弦道是（）

A.旦B.一直C,或D.一些

28281414

3.如圖，圓錐的母線長(zhǎng)為4,點(diǎn)M為母線A8的中點(diǎn)，從點(diǎn)M處拉一條繩子，繞圓錐的

側(cè)面轉(zhuǎn)一周達(dá)到8點(diǎn)，這條繩子的長(zhǎng)度最短值為2石，則此圓錐的表面積為（）

A.4/rB.5/rC.6兀D.8不

4.在棱長(zhǎng)為2的正方體48co-4B1GD】中，點(diǎn)E,F分別是棱C】。］，81G的中點(diǎn)，P是上

底面481GD1內(nèi)一點(diǎn)，若4PII平面BDEF,則線段AP長(zhǎng)度的取值范圍是（）

A.[i，5/5]B.[5/5?25/21C.["<-\/6]0.[-y6?2\/21

24

5.如圖，在正方體A8CD—A81GA中，點(diǎn)F是線段BG上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的

是（）

A.無(wú)論點(diǎn)F在上BC］怎么移動(dòng)，都有41/_1_片￡>

B.當(dāng)點(diǎn)F移動(dòng)至8G中點(diǎn)時(shí)，才有4尸與烏。相交于一點(diǎn)，記為點(diǎn)￡,且純=2

EF

C.當(dāng)點(diǎn)F移動(dòng)至8a中點(diǎn)時(shí)，直線A/與平面8OG所成角最大且為60°

D.無(wú)論點(diǎn)F在8G上怎么移動(dòng)，異面直線4尸與C。麻成角都不可能是30°

6.在正方體ABC?！狝4GA中，M是棱CG的中點(diǎn),則下列說(shuō)法正確的是（）

A.異面直線AM與8C所成角的余弦值為好

3

B.為等腰直角三角形

C.直線與平面5。。片所成角的正弦值等于巫

5

D.直線AG與平面相交

7.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

正視圖側(cè)視圖

7

俯視圖

A.4B.8C.12D.14

8.如圖，正方體A8C。-4⑸儲(chǔ)。中，戶為線段48上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

（）

DiG

A.DCJPC

B.異面直線4D與PC不可能垂直

C.不可能是直角或者鈍角

D.NAPQ的取值范圍是

162）

9.已知長(zhǎng)方體ABCO-A旦G2的頂點(diǎn)4,B,c,D，在球。的表面上，頂點(diǎn)4,

用，G，。…在過(guò)球心。的一個(gè)平面上，若A8=6,AO=8,AA=4,則球。的表

面積為（）

A.1697rB.161〃C.164乃D.265〃

10.設(shè)〃2、〃是兩條不同的直線，。是平面，〃?、〃不在。內(nèi)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是

（）

A.〃z_La，nila,則〃i_L〃B.mLa〃_La,則

C.m±a?m±n,貝D.mLnnila,則〃z_La

11.如圖（1）,ABC，AC=1,4B=J5,BC=2,。為3c的中點(diǎn)，沿A3將

△48折起到VACZ>,使得C'在平面AH。上的射影“落在A8上，如圖（2）,則以

下結(jié)論正確的是（）

A.AC1BDB.AD±BCC.BD1CDD.ABIC'D

12.已知二面角a—/一/為60,AZfua,A3_L/,A為垂足，CDu。，Cwl,

44。力=45”，則異面直線A3與C￡>所成角的余弦值為（）

A.1B.立C.@D,1

4442

二、填空題

13.在邊長(zhǎng)為由的菱形ABC。中，對(duì)角線AC=JJ,將三角形△ABC沿AC折起，使

得二面角8-AC—。的大小為工，則三棱錐3—ACZ）外接球的體積是

2

14.己知”是球。的直徑A3上一點(diǎn)，AH:HB=1:3,平面a,，為垂足，a

截球。所得截面的面積為萬(wàn)，則球。的表面積為.

15.在正三棱錐P—ABC中，E，b分別為棱BA，A3上的點(diǎn)，PE=3EA,

BF=3FA,且CELEF.若PB=26,則三棱錐P-ABC的外接球的體積為

16.如圖，圓柱的體積為16%，正方形A8CO為該圓柱的軸截面，產(chǎn)為A8的中點(diǎn)，E

為母線4c的中點(diǎn)，則異面直線AC,￡尸所成的角的余弦值為.

17.一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，該二棱錐中最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為.

側(cè)（左）視圖

18.正四面體A8C。棱長(zhǎng)為2,40_1_平面8。。，垂足為0,設(shè)M為線段A。上一點(diǎn),

且NBMC=90c則二面角M—BC—O的余弦值為.

A

19.如圖，矩形44co中，AB=2AD,E為邊43的中點(diǎn)，將△A￡>￡沿直線。石翻折

成△A.OE.若M為線段AC的中點(diǎn)，則在△A0E翻折過(guò)程中，下面四個(gè)選項(xiàng)中正確的

是（填寫所有的正確選項(xiàng)）

（1）忸是定值

（2）點(diǎn)M在某個(gè)球面上運(yùn)動(dòng)

（3）存在某個(gè)位置，使0E_LA。

（4）存在某個(gè)位置，使M8〃平面4。七

20.若三棱錐S—ABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形，AB=2A，

SA=SB=SC=@,則該三棱錐的外接球的表面積為.

三、解答題

21.如圖，aA6c是邊長(zhǎng)為2的正三角形，△A3。是以4B為斜邊的等腰直角三角形,

且8=2.

（1）求證：平面平面的。：

(2)求二面角A-BC-D的余弦值.

22.如圖，在正四棱柱ABCO-A4GA中，AB=1,A4=2,點(diǎn)E為CG中點(diǎn)，點(diǎn)F

為8A中點(diǎn).

(I)求異面直線82與CG的距離：

(2)求直線BD｝與平面BOE所成角的正弦值；

(3)求點(diǎn)F到平面3DE的距離.

23.如圖，該多面體由底面為正方形4BC。的直四棱柱被截面AEFG所截而成，其中正方

形A8CO的邊長(zhǎng)為4，H是線段砂上(不含端點(diǎn))的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)C=3EB=6.

(1)證明：G"〃平面48CQ；

(2)求〃到平面A￡C的距離.

24.如圖，在直三棱柱中，底面48c為正三角形，A片與48交于點(diǎn)o,

E,F是棱CG上的兩點(diǎn)，且滿足=

(1)證明：0產(chǎn)〃平面A/?￡；

(2)當(dāng)CE=C/，且44,=2A8,求直線O廠與平面ABC所成角的余弦值.

25.如圖，在三棱柱ABC-A4G中，側(cè)棱AA_L底面ABC，ABLBC,。為AC的

中點(diǎn)，AA{=AB=2,BC=3.

(1)求證：4旦〃平面3GO；

(2)求三棱錐D-BCG的體積.

26.如圖，四棱錐￡一A6co中，底面A8CO是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面AEB_L平面

ABCD,/￡8A=(,EB=BF為CE上的點(diǎn)、,BFA.CE.

(1)求證：8尸_1_平面ACE；

(2)求點(diǎn)。到平面ACE的距離.

【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除

一、選擇題

1.A

解析：A

【分析】

由三視圖知該幾何體是底面為等腰直角三角形，且側(cè)面垂直于底面的三棱錐，由題意畫出

圖形，結(jié)合圖形求出外接球的半徑，再計(jì)算外接球的表面積.

【詳解】

解：由幾何體的三視圖知，該幾何體是三棱錐P-A8C,底面為等腰AABC,

且側(cè)面尸AB_L底面A8C,如圖所示；

設(shè)。為A3的中點(diǎn)，

又DA=DB=DC=DP=3,且PZ)_L平面A8C,

二三棱錐P-48C的外接球的球心。在上，設(shè)OP=R,則CM=R,OD=3-R,

/?2=(3-/?)2+32,

解得A=3,

該幾何體外接球的表面積是44R2=36萬(wàn)。7.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接.解即時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和

接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切

點(diǎn)為止方體各個(gè)面的中心，止方體的棱長(zhǎng)等十球的直徑；球外接十止方體，止方體的頂點(diǎn)

均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.

2.C

解析：C

【分析】

連接Q?、RE、DE,先證明四邊形為平行四邊形，得到故異面

直線ED1與3。所成的角即為相交直線ED］與D向所成的角，由余弦定理可得答案.

【詳解】

連接24、RE、DE,

因?yàn)槔釨B"/DDrBB.=DD,,所以四邊形BBQQ為平行四邊形，

所以B、D,HBD,故異面直線ED1與3D所成的角即為相交直線EDl與R隹所成的角

NBRE,因?yàn)锳8=AO=2,A4=3,8E=CE=1,

所以BQi=+4穹二班,B[E=$￥+l=屈，

ED2=DC2+CE2=4+1=5>

所以=ED1+D,D2=5+9=14,

由余弦定理得，

口廠/Rn/?B\D：+D\E2_B\E28+14-103幣

從而cosZB.D.E=—!----!------!—=—尸~/==----.

2B.D]XDiE4exW14

故選：c

【點(diǎn)睛】

本題考杳異面直線所成角的余弦值的求法，關(guān)鍵點(diǎn)是找到異面直線所成的角，考查空間中

線線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

3.B

解析：B

【分析】

根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，且線段MB=26計(jì)算底面圓半徑即可求解.

【詳解】

設(shè)底面圓半徑為，

由母線長(zhǎng)/=4,可知側(cè)面展開圖扇形的圓心角為。二"二二，

I2

將圓錐側(cè)面展開成一個(gè)扇形，從點(diǎn)M拉一繩子圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn)8,最短距離為8A4；

如圖，

在中，MB=26AM=2,AB=4,

所以

所以NMA8=工，

2

TTK7T

故。二-^-二二",解得r=1,

22

所以圓錐的表面積為s=兀n+4，=5),

故選：B

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：首先圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，其圓心角為a二寧，其次從點(diǎn)M拉一繩

子圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn)8,繩子的最短距離即為展開圖口線段MB的長(zhǎng)，解三角即可求解

底面圓半徑，利用圓錐表面積公式求解.

4.A

解析：A

【分析】

分別取棱48i、4Di的中點(diǎn)M、N,連接MN,可證平面AM/WI平面BDEF,得P點(diǎn)在線段

MN上.由此可判斷當(dāng)P在M/V的中點(diǎn)時(shí)，4P最小；當(dāng)P與M或N重合時(shí)，4P最大.然

后求解直角三角形得答案.

【詳解】

如圖所示，分別取棱481、AiDi的中點(diǎn)M、N,連接MN,連接8。1，

VM.N、E、F為所在棱的中點(diǎn)，???M/VIIBiDi,EFWBM,

MNWEFt又MN評(píng)面BDEF,EF印面80EF,/.MNWT?BDEF；

連接NF,由NFII481,NF=AiBi,AiBiWAB,AiBi=ABf

可得NFIM8,NF=AB,則四邊形4VFB為平行四邊形,

則ANWFB,而八/V評(píng)面RDEF,F8評(píng)面BDEF,則ANW平面BDEF.

又ANCNM=N,：.平面AMNW平面BDEF.

又P是上底面481Q5內(nèi)一點(diǎn)，且4Pli平面BDEF,點(diǎn)在線段MN上.

在中，4M==正+f=小，

同理，在RtZk44A/中，求得4N=6■，則△AM/V為等廖三角形.

當(dāng)P在M/V的中點(diǎn)時(shí)，AP最小為

當(dāng)P與M或N重合時(shí)，AP最大為小.

線段4P長(zhǎng)度的取值范圍是，石

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了空間中點(diǎn)、線、面間的距離問(wèn)題，其中解答中通過(guò)構(gòu)造平行平面尋找得到

點(diǎn)尸的位置是解答的關(guān)鍵，意在考查空間想象能力與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.

5.C

解析：C

【分析】

Ap

A.通過(guò)證明線面垂直，證得線線垂直：B.利用相似二角形，求一二的值：C.首先構(gòu)造直線

EF

4尸與平面BOG所成角，再通過(guò)數(shù)形結(jié)合分析最大角，以及最大角的余弦值，判選項(xiàng)：

?將異面直線所成角轉(zhuǎn)化為相交直線所成角，求解判斷.

【詳

A.AC上BD,AC_LB4，.?.AC_L平面34D,..ACJ,與D,VAC/M(C,,

,同理BQ_L8G，AG?BqC］，..8QL平面,A”u平面

AtBClf..B.Dl4F,故A正確；

B.連結(jié)A。，BQ交BQ于點(diǎn)F,44//。6\且4片=。。，「.四邊形4。。與是平行

四邊形，所以AQ//B。，.??△4。七~△尸與石，得蕓=黑=2,故B正確;

匕卜5r

(:.4。_1平面8。。|,???.43=40=4。，.?.點(diǎn)o^Boq是等邊三角形的中心，

7

V48C］是等邊三角形，A^BC,=ABDC|當(dāng)點(diǎn)Z是BC］的中點(diǎn)時(shí)，A^FJ.BC},此時(shí)

A尸是點(diǎn)4和3G上的點(diǎn)連線的最短距離，設(shè)直線4尸與平面BOG所成角為。，此時(shí)

sin°=：T最大，所以此時(shí)。最大，所以cose=777=［＜7,最大角大于60°，故C不

AXFA{F32

正確；

口.?.?4與//。。，.?.6與4尸所成的角，轉(zhuǎn)化為/與人尸的大小，尸的最小角是

用4與平面ABG所成的角，即/443，此時(shí)tanNB4產(chǎn)二^^?二立〉'^，所以

4與23

/44廠的最小角大于3)，故D正確.

故選：C

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用幾何的綜合應(yīng)用，包含線線，線面角，垂直關(guān)系，首先會(huì)作

圖，關(guān)鍵選項(xiàng)是C和D,C選項(xiàng)的關(guān)鍵是4。，平面30C，點(diǎn)OABZ)G是等邊三角形的

中心，D選項(xiàng)的關(guān)鍵是知道先與平面中線所成角中，其中線面角是其中的最小角.

6.C

解析：c

【分析】

A通過(guò)平移，找出異面直線所成角，利用直角三角形求余弦即可.

B.求出三角形的三邊，通過(guò)勾股定理說(shuō)明是不是直角三角形.

C.求出點(diǎn)M到面BBRD的距離，再求直線BM與平面3。。百所成角的正弦.

D.可通過(guò)線線平行證明線面平行.

【詳解】

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2

A.取5片的中點(diǎn)為N,則MN〃BC,則期與8C所成角為NAMN

由3。_1_面4844，故八亞_1_面人88]4，故MV_LAV,在RfAANM中,

中，BM=也，BD=2丘，DM=瓜不滿足勾股定理，不是直角三角形

C.ACA.BD,故AC_L面8與。1。，CCJ/面84QQ,故M到面

BBiD}D的距離等于C到面BB、D\D的距離，即為d;AC=血

直線BM與平面BDDM所成角為0

cd6M

sin(J=----==----

BM加5

直線8M與平面8。24所成角的正弦值等于半

D.如圖ACQB力=o

aw為△4CG的中位線，有OM//HG

故直線AG與平面8/W平行

故選：c

【點(diǎn)睛】

本題考查了空間幾何體的線面位置關(guān)系判定與證明：

（1）對(duì)于異面直線的判定要熟記異面直線的概念：把既不平行也不相交的兩條直線稱為異

面直線；

（2）對(duì)于線面位置關(guān)系的判定中，熟記線面平行與垂直、面面平行與垂百的定理是關(guān)鍵.

7.C

解析：C

【分析】

根據(jù)三視圖還原得其幾何體為四棱錐，根據(jù)題意代入錐體體積公式計(jì)算即可.

【詳解】

解：根據(jù)三視圖還原得其幾何體為四棱錐，圖像如下：

根據(jù)圖形可得A8CD是直角梯形，PA_L平面A8CQ,AB=ZCD=4yPA=2,AD=6

所以％.八88=；5.8mp4=；X^^X6X2=12

JJJ

故選：c

【點(diǎn)睛】

識(shí)別三視圖的步驟

（1）弄清幾何體的結(jié)構(gòu)特征及具體形狀、明確幾何體的擺放位置；

（2）根據(jù)三視圖的有關(guān)定義和規(guī)則先確定正視圖，再確定俯視圖，最后確定側(cè)視圖；

（3）被遮住的輪廓線應(yīng)為虛線，若相鄰兩個(gè)物體的表面相交，表面的交線是它們的分界

線；對(duì)于簡(jiǎn)單的組合體，要注意它們的組合方式，特別是它們的交線位置.

8.D

解析：D

【分析】

在正方體中根據(jù)線面垂直可判斷A,根據(jù)異面直線所成角可判斷B,由余弦定理可判斷CD.

【詳解】

如圖，

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,

在正方體中易知DG，平面ABC。，P為線段4/上的動(dòng)點(diǎn)，則PCU平面ABC。,所以

DC.1PC,故A正確：

因?yàn)楫惷嬷本€AD與PC所成的角即為BC與PC所成的角，在RhPBC中不可能BC與

PC垂直，所以異面直線A。與PC不可能垂直，故B正確；

由正方體棱長(zhǎng)為2,則+一=4+4+AjP2+BP2-8=A,P2+BP2>0,

所以由余弦定理知cosN"PC>(),即/RPC不可能是直角或者鈍角，故C正確；

設(shè)42二武0工%<20)，則。尸2=4+/,

AP2=4+x2-2x2^cos—=4+x2-2ypix,

4

AP2+D.P--AD^_2x2-2x/2x

由余弦定理,cosNAP0=

2APD、P_2APD.P

當(dāng)x<a時(shí)，COS/APR<0,所以/APR為鈍角，故D錯(cuò)誤.

故選：D

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷正方體中的角的范圍時(shí)，可選擇合適三角形，利用正方體中數(shù)量關(guān)系,

位置關(guān)系，使用余弦定理，即可判斷三角形形狀或角的范圍，屬于中檔題.

9.C

解析：C

【分析】

把兩個(gè)這樣的長(zhǎng)方體置放在一起，構(gòu)成一個(gè)長(zhǎng)寬高分別為6,8,8的長(zhǎng)方體，則球。就是

該長(zhǎng)方體的外接球，根據(jù)長(zhǎng)方體外接球的直徑等于體對(duì)箱線的長(zhǎng)，求出直徑，即可得出球

的表面積.

【詳解】

如下圖所示：

把兩個(gè)這樣的長(zhǎng)方體疊放在i起，構(gòu)成一個(gè)長(zhǎng)寬高分別為6,8,8的長(zhǎng)方體，則球。就是

該長(zhǎng)方體的外接球，

根據(jù)長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征可得，其外接球直徑等于體對(duì)角線的長(zhǎng)，

所以球。的半徑R滿足2R=+8?+82=鬧，

所以球。的表面積S=4乃R'=1647r.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查幾何體外接球的表面積，熟記長(zhǎng)方體結(jié)構(gòu)特征，其外接球的球

心和半徑與長(zhǎng)方體的關(guān)系，以及球的表面積公式，是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵.

10.D

解析：D

【分析】

利用線面平行的性質(zhì)定理和線面垂直的定義可判斷A選項(xiàng)的正誤；由線面垂直的性質(zhì)定理

可判斷B選項(xiàng)的正誤：根據(jù)已知條件判斷直線〃與平面a的位置關(guān)系，可判斷C選項(xiàng)的正

誤；根據(jù)已知條件判斷直線〃，與平面a的位置關(guān)系，可判斷D選項(xiàng)的正誤.

【詳解】

對(duì)于A,???〃〃],由線面平行的性質(zhì)定理可知，過(guò)直線〃的平面夕與平面。的交線/平行

于〃，

,/ma>/ua,/./??!/?:.mA-n?故A正確；

對(duì)于B,若相_La,nla,由直線與平面垂直的性質(zhì)，可得6//〃，故B正確；

對(duì)于c,若〃z_La,則R/a或〃ua,又〃a,.?.〃〃0,故（：正確;

對(duì)于D,若〃z_L〃，nila,則〃?〃a或加與。相交或mua,

而〃則m〃a或，〃與a相交，故D錯(cuò)誤.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：對(duì)于空間線面位置關(guān)系的組合判斷題，解決的方法是“推理論證加反例推斷“，

即正確的結(jié)論需要根據(jù)空訶線面位置關(guān)系的相關(guān)定理進(jìn)行證明,錯(cuò)誤的結(jié)論需要通過(guò)舉出

反例說(shuō)明其錯(cuò)誤，在解題中可以以常見的空間幾何體（如正方體、正四面體等）為模型進(jìn)

行推理或者反駁.

11.C

解析：C

【分析】

設(shè)4〃=。，則由線面垂直的性質(zhì)和勾股定理可求得由

等腰三角形的性質(zhì)可證得8。J_再根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì)可得選項(xiàng).

【詳解】

設(shè)47=。，則=因?yàn)?。力_1面人次），AB\面/WO,￡）”u面AM，

所以C力_L48，CH1DH?CH1DB,

又R〔AABC,AC=1,AB=G,8C=2,。為BC的中點(diǎn)，所以

,yr

cD=BD=T,NB=/DAB=—,

6

所以在^力中，CH=y/（AC'）2-AH2=\l\-a2，所以在R^C,HO中，

DH2=CD2-CH2=1-（1-iz2）=6Z2,

所以O(shè)H=q=A//,所以NADH二NDAB二%,又ZAO8=二，所以

632

所以8O_LOH,又CHpjDH=H,

所以8。_1面。力"，又CDu面CDH，所以8O_LC。，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在解決折疊問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵在于得出折疊的前后中，線線、線面、面面之間的

位置關(guān)系的不變和變化，以及其中的邊的長(zhǎng)度、角度中的不變量和變化的量.

12.B

解析：B

【分析】

作出圖形，設(shè)CD=2,ADll,AB=6,然后以CA、CO為鄰邊作平行四邊形

ACDE,可知NE4O為二面角。一/一力的平面角，異面直線A3與。。所成角為44E

或其補(bǔ)角，計(jì)算出△A3E三邊邊長(zhǎng)，利用余弦定理計(jì)算出cosNBAE,即可得解.

【詳解】

如下圖所示：

設(shè)8=2,AD±i,AB=J5，以O(shè)、CD為鄰邊作平行四邊形ACDf,

在平面夕內(nèi)，ADA.I,8=2,ZACD=45則AD=COsinNACO=J^，

AC=CDcos45=V2>

???ABJL/,AD±l,4Bua,AOu/L

所以，NZMO為二面角。一/一用的平面角，即/胡。二60，

???AB=AO=J5，「.△ABD為等邊三角形，則4力=&，

?.?四邊形48七為平行四邊形，「.DEY/AC,即DE/〃,

VAD1.1,ABJJ,."DE-LAB,DE1AD,

QABIAO=A,.?.￡）￡，平面ABD,

QB力u平面ABD,OE_L8。，則BE=\lBD?+DE?=2.

在平行四邊形ACDE中，AE//CD且AE=CD=2,

所以，異面直線43與C。所成角為NME或其補(bǔ)角，

在△ABE中，AB=E,AE=BE=2,由余弦定理可得

?公空三竺*=叵

2ABAE

因此，異面直線A8與CD所成角的余弦值為也.

4

故選：B.

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過(guò)平移直線，把

異面直線的問(wèn)題化歸為共面直線問(wèn)題來(lái)解決，具體步驟如下：

（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；

（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；

（3）計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；

/■

（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是。,二，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的

補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角.

二、填空題

13.；【分析】分析菱形的特點(diǎn)結(jié)合其翻折的程度判斷其外接球球心的位置放

到相應(yīng)三角形中利用勾股定理求得半徑利用球的體積公式求得外接球的體積

【詳解】根據(jù)題意畫出圖形根據(jù)長(zhǎng)為的菱形中對(duì)角線所以和都是正三角形又因

解析：更顯；

6

【分析】

分析菱形的特點(diǎn)，結(jié)合其翻折的程度，判斷其外接球球心的位置，放到相應(yīng)三角形中，利

用勾股定理求得半徑，利用球的體積公式求得外接球的體積.

【詳解】

根據(jù)題意，畫出圖形，

根據(jù)長(zhǎng)為6的菱形ABC。中，對(duì)角線AC=6，

所以-ABC和△￡見€:都是正三角形，

乂因?yàn)槎娼荁-AC-。的大小為巳，

2

所以分別從兩個(gè)正三角形的中心做面的垂線，交于。，

則。是棱錐B-ACD外接球的球心，且GO=1,OG=GE=!，

2

所以球的半徑R=y/GD2+OG2=—，

2

所以其體積為V=—7i=--71'（--）3=56冗,

3326

故答案為：又②.

6

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)幾何體外接球的問(wèn)題，解題思路如下：

（1）根據(jù)題中所給的條件，判斷菱形的特征，得到兩個(gè)三角形的形狀；

（2）根據(jù)直二面角，得到兩面垂直，近一倍可以確定其外接球的球心所在的位置;

（3）利用勾股定理求得半徑；

（4）利用球的體積公式求得結(jié)果；

（5）要熟知常見幾何體的外接球的半徑的求解方法.

14.【分析】求出截面圓的半徑設(shè)可得出從而可知球的半徑為根據(jù)勾股定理求

出的值可得出球的半徑進(jìn)而可求得球的表面積【詳解】如下圖所示設(shè)可得出則

球的直徑為球的半徑為設(shè)截面圓的半徑為可得由勾股定理可得即即所以球的

【分析】

求出截面圓〃的半徑，設(shè)可得出=從而可知，球0的半徑為2戈，根

據(jù)勾股定理求出R的值，可得出球。的半徑，進(jìn)而可求得球。的表面積.

【詳解】

如下圖所示，設(shè)=可得出“8=3x,則球。的直徑為A8=4x,球。的半徑為

2x，

設(shè)截面圓”的半徑為，,，可得乃產(chǎn)=乃，.,.廠=1，

由勾股定理可得O〃2+/=（2X『，即（2工一47『+1=4/，即f+i=4f,

..X=—，

3

所以，球。的半徑為2x=述，則球。的表面積為S=4乃x1空］=—.

3I3J3

16幾

故答案為:

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛:在求解有關(guān)球的截面圓的問(wèn)題時(shí)，--般利用球的半徑、截面圓的半徑以及球心

到截面圓的距離三者之間滿足勾股定理來(lái)求解.

15.【分析】證明與垂直得線面垂直從而得正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直結(jié)合

正方體的性質(zhì)得三條側(cè)棱的平方和為外接球直徑的平方求得球半徑后可得球體

積【詳解】?.,「.一?又」?取中點(diǎn)連接如圖由于是正二棱錐而平面平面又平

解析：36不

【分析】

證明依與CE,AC垂直得線面垂直，從而得正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，結(jié)合正方體

的性質(zhì)得三條側(cè)棱的平方和為外接球直徑的平方，求得球半徑后可得球體積.

【詳解】

AEAF

VPE=3EA,BF=3FA,—=—.EFIIPB,又CE1EF,

APAB

PB1CE,

取AC中點(diǎn)。，連接PDBD,如圖，由于P—A8C是正三棱錐，

PDl.AC,BDlACf

而PDcBD=D,PD,BDu平面PBD,?.AC上平面PBD,又PBu平面2友）,

AC1PB,VACQCE=C,AC,CEu平面尸AC,「.PB_L平面尸AC，

而尸APCu平面PAC,尸AP8_LPC,同理正三棱錐中，PA1PC.

設(shè)三棱錐P-ABC外接球半徑為R,則（2/?尸=PA2+PB2+PC2=3x（26尸，

R=3,

球的體積為V=3;rx33=36;r.

3

故答案為：367r.

【點(diǎn)睛】

結(jié)論點(diǎn)睛：三棱錐的外接球問(wèn)題，解題關(guān)鍵是找到外接球的球心，三棱錐的外接球球心在

過(guò)各面外心且與該面垂直的直線上.當(dāng)從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩垂直時(shí)，可以把三棱

錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，而長(zhǎng)方體的對(duì)角線就是二棱錐外接球的直徑.

16.【分析】由圓柱體積求得底面半徑母線長(zhǎng)設(shè)底面圓心為可得為異而直線與

所成的角（或其補(bǔ)角）在對(duì)應(yīng)三角形中求解可得【詳解】設(shè)圓柱底面半徑為則

母線長(zhǎng)為由得設(shè)底面圓心為連接則所以為異面直線所成的角在中所以故答案

解析：漁

3

【分析】

由圓柱體積求得底面半徑，母線長(zhǎng)，設(shè)底面圓心為O,可得NOEF為異面直線AC與EF

所成的角（或其補(bǔ)角）.在對(duì)應(yīng)三角形中求解可得.

【詳解】

設(shè)圓柱底面半徑為，則母線長(zhǎng)為2廠，由江產(chǎn)?2，?=16萬(wàn)得，?=2.

設(shè)底面圓心為0,連接0E,O尸.則0E//AC,所以N0EV為異面直線AC,

E尸所成的角.

在中，OF=2,0E=2叵,EF=2x/3.

所以cos/OFF.

EF3

故答案為：叁

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過(guò)平移直線，把

異面直線的問(wèn)題化歸為共面直線問(wèn)題來(lái)解決，具體步驟如下：

（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異囿直線協(xié)成的角；

（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；

（3）計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形：

/-]

7T

（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是0,-,當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的

補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角.

17.【分析】由三視圖還原幾何體得到三棱錐P-ABC分別計(jì)算其棱長(zhǎng)可得答案

【詳解】由二視圖還原幾何體得到二棱錐P-ABC可將此二棱錐放入棱長(zhǎng)為2的

正方體內(nèi)如下圖所示所以：BC=所以該三棱錐最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為故

解析：273

【分析】

由三視圖還原幾何體得到三棱錐P-A8C,分別計(jì)算其棱長(zhǎng)，可得答案.

【詳解】

由三視圖還原幾何體得到三棱錐P-A8C,可將此三棱錐放入棱長(zhǎng)為2的正方體內(nèi)，如下圖

所示，

所以：AB=e，BC=BP=AC=2,PC=2叵AP=2瓜

所以該三棱錐最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為2G.

故答案為：2G.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：三視圖問(wèn)題的常見類型及解題策略：

⑴由幾何體的直觀圖求三視圖.注意正視圖、側(cè)視圖和俯視圖的觀察方向，注意看到的部

分用實(shí)線表示，不能看到的部分用虛線表示.

⑵由幾何體的部分視圖畫出剩余的部分視圖.先根據(jù)已知的一部分二視圖,還原、推測(cè)百

觀圖的可能形式，然后再找其剩下部分三視圖的可能形式.當(dāng)然作為選擇題，也可將選項(xiàng)

逐項(xiàng)代入，再看看給出的部分三視圖是否符合.

⑶由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀.要熟悉柱、錐、臺(tái)、球的三視圖，明確三視圖的

形成原理，結(jié)合空間想象將三視圖還原為實(shí)物圖.

18.【分析】連接延長(zhǎng)交于則是中點(diǎn)可得是二面角的平面角求出可得結(jié)論【詳

解】由已知是中心連接延長(zhǎng)交于則是中點(diǎn)連接則而.?.平面平面是二面角的

平面角由對(duì)稱性又由平面平面得.??故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考

解析：B

3

【分析】

連接。0延長(zhǎng)交于E，則E是BC中點(diǎn)，可得N例EO是二面角M—AC—O的平面

角.求出OE可得結(jié)論.

【詳解】

由已知。是△3CQ中心，

連接DO延長(zhǎng)交3C于￡,則石是8c中點(diǎn)，連接AE，則6C_LAE,BC±DE,而

AEA￡>￡=￡,/3CJ_平面AED，A/Eu平面AE。，「.BC1ME,

NMEO是二面角M—BC—O的平面角.

8c=2,NBMC=90'，由對(duì)稱性ME=3BC=1,

1nQ6

又vEO——DE——x—x2——?

3323

由40J_平面BCD,EOu平面BCD,得AO_LEO,

【點(diǎn)睛】

關(guān)健點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求二面角，解題關(guān)鍵是作出二面弟的平面角.這可根據(jù)平面角的定

義作出（并證明），然后在直角三角形中求角即得.注意一作二證三計(jì)算三個(gè)步驟.

19.（1）（2）（4）【分析】首先取中點(diǎn)連結(jié)先判斷（4）是否正確再根據(jù)平

行關(guān)系以及等角定理和余弦定理判斷（1）再判斷（2）假設(shè)成立根據(jù)直線與平

面垂直的性質(zhì)及判定可得矛盾來(lái)判斷（3）【詳解】取中點(diǎn)連結(jié)則平

解析：（1）（2）（4）

【分析】

首先取CD中點(diǎn)Q,連結(jié)MQ,BQ,先判斷（4）是否正確，再根據(jù)平行關(guān)系，以及等

角定理和余弦定理判斷（1）,再判斷（2）,假設(shè)。4。成立，根據(jù)直線與平面垂直的

性質(zhì)及判定，可得矛盾來(lái)判斷（3）.

【詳解】

取CO中點(diǎn)Q,連結(jié)M。，BQ,

則MQ//D4，BQ//DE,

平面MBQ//平面4QE,乂?.?M/?u平面M3Q,

..MB//平面ADE,故（4）正確；

由NAOE=NMQB,==定值，QB=DE=定值,

由余弦定理可得MB?=MQ2+QB1-2MQ?QB?cosZMQB

所以MB是定值，故（1）正確；

?.?8是定點(diǎn)，是在以3為球心，為半徑的球面上，故（2）正確；

NAO￡=NA力￡=45,ZCDE=45%且設(shè)AD=1，AB=2，

則DE=CE=y[2r

若存在某個(gè)位置，使DE±AC,則因?yàn)镈E?+CE2=CD?,即CE_LDE,因?yàn)?/p>

4CnCE=C,則?！阓!_平面ACE,所以。七，4后,與"矛盾，

故（3）不正確.

故答案為：（1）（2）（4）

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查線線，線面位置關(guān)系時(shí)，首先判斷（4）是否正確，其他選項(xiàng)就迎刃

而解，而判斷線面平行時(shí)，可根據(jù)面面平行證明線面平行.

20.【詳解】取的中點(diǎn)由題意可得：所以面ABC所以球心在直線上所以得所以

解析：學(xué)49乃

4

取48的中點(diǎn)，由題意可得：SD=2,DC=C+DC?=SC?,

所以SO_LA8,SOJ_OC,SOJ_面ABC.

所以球心在直線SD上，所以R2=3+（2-H）2,得R=（，

所以5=4乃/?2=啊

4

三、解答題

21.(1)證明見解析；(2)叵

7

【分析】

(1)取48中點(diǎn)0,連0C、。。，即可得到NCOD是二面角C-AB-O的平面角，再由勾

股定理逆定理得到0。2+。4=82,即可得到二面角是直二面角，即可得證：

(2)過(guò)。作。M_L8C交BC于M,連。M,即可證明8C_L平面00M,從而得到NOQM

為二面角A-BC-D的平面角，再利用銳角三角函數(shù)計(jì)算可得：

【詳解】

(1)證明：取48中點(diǎn)0,連。C、0。，因?yàn)锳ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，△A3。是以

AB為斜邊的等腰直角三角形，

所以O(shè)C_LA8,OD工AB,

所以NCOD是二面角C—4B—力的平面角.

在△OCD中，

因?yàn)镺C=J5，00=1，CD=2,所以0。2+0獷=82

所以NCOD=90。.

所以平面ABC1,平面ABD.

(2)過(guò)。作0M18C交8c于M,連DM,

由(1)可知。O_L面ABC,又8Cu面ABC,所以8c_1,。0,由加「|左=0，

OM,OOu面DOM

所以8C_L平面D0M

因?yàn)镈Wu面。OM,所以8C_L0M,

則ZODM為二面角A-BC-D的平面角.

在中，OD=1,0M=—,由勾股定理：DM=旦,

22

二面角A-BC-D的余弦值為cos/0MD=—=—.

DM7

D

【點(diǎn)睛】

本題考查了7體幾何中的面面垂直的判定和二面角的求解問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象

能力和邏輯推理能力：解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)

系的相互轉(zhuǎn)化，通過(guò)嚴(yán)密推理，同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問(wèn)題，往往可以利用空間向

量法，通過(guò)求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.

22.(1)立；(2)—；(3)—.

233

【分析】

(1)取8。中點(diǎn)G,連接GC,FG,根據(jù)線面垂直的判定定理及性質(zhì)，先證明石廠為

與CG的公垂線，再由題中數(shù)據(jù)，計(jì)算出所的長(zhǎng)，即可得出結(jié)果；

(2)連接￡口，由(1)得到石尸_1平面”O(jiān)R,設(shè)R到平面的距離為。，根據(jù)等

體積法，由匕心的二力“跖求出1,記直線8。與平面瓦圮所成角為凡由

sin0=[r即可得出結(jié)果；

HD、

(3)由(2)得到。I到平面8DE的距離”，根據(jù)題中條件，得到F到平面8OE的距離

為g,即可得出結(jié)果.

2

【詳解】

(1)在正四棱柱人3CO-4用中，取笈。中點(diǎn)G,連接GC,FG,

.F,G分別為的中點(diǎn)，”G//。。且=

乂CE//DQ,CE=；D、D,所以FG//CE艮FG=CE,則四邊形上戶GC為平行四邊

形，

又CE_L平面ABC。，CGu平面43cCE_LCG,

..?四邊形EFGC為矩形，EFA.CC,,

D.D//C.C,EF1DD,,

又CG1BD,EF//CG,BDu平面BDD「DQu平面BDD「BDcD】D=D,

七尸_L平面BDD「又BD】u平面BDD、,EF1BD］,

E/為BR與CG的公垂線，且EuCG，F(xiàn)UBD「

A異面直線B?與CC,的范離為］EFI=也.

2

（2）在正四棱柱A8C￡>-4片。］。中，連接成不則％"町=%-麗，

由（1）知EFJ_平面設(shè)R到平面的距底為d,

1.'M=2>AB=\，..BD=BE=ED=6,EF=—,BD、=瓜,

2

=-x>/2x2=V2,S.DBE=；X咚義（6）2=今'

乙zzz

從而S&DBExd=sj）BDiXEF

273

記宜線8。與平面8DE所成角為0,則si.夕二d一亍二④，

BD［瓜3

直線與平面8DE所成角的正弦值為立.

（3）由（2）知，。到平面8OE的距離4=3巨，是8R的中點(diǎn)，且平面

BDE,

F到平面BDE的距離為邑=—.

23

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：

立體幾何體中空間角的求法：

(1)定義法：根據(jù)空間角(異面直線所成角、線面角、二面角)的定義，通過(guò)作輔助線，

在幾何體中作出空間角，再解對(duì)應(yīng)三角形，即可得出結(jié)果；

(2)空間向量的方法；建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量，平面的法向

量，通過(guò)計(jì)算向量夾角(兩直線的方法向量夾角、直線的方向向量與平面的法向量夾角、

兩平面的法向量夾角)的余弦值，來(lái)求空間角即可.

23.(1)證明見解析；(2)76.

【分析】

(1)取的中點(diǎn)連接MW,DM.證明四邊形DG"四是平行四邊形，可得線

面平行；

(2)由〃到平面AEC的距離為產(chǎn)到平面AEC的距離的一半，先求出產(chǎn)到平面4EC的距

離，用體積法可求得尸到平面AEC的距離.

【詳解】

(1)證明：取3c的中點(diǎn)/，連接DM.

因?yàn)樵摱嗝骟w由底面為正方形ABC。的直四棱柱被截面AEFG所截而成，

所以截面AEFG是平行四邊形，

則Z)G=C/一硝=4.

因?yàn)榇魿=3EB=6,

所以印0='X(2+6)=4,ADG//FC//HM,

2

所以四邊形是平行四邊形，所以GH〃DM.

因?yàn)?。Mu平面ABCD,GH儀平面ABCD,

所以G"〃平面ABCO.

(2)解：連接“A,HC,AF,記尸到平面ACEftt距離為d,

則〃到平面ACE的距離為

2

在△CEV中，EF=6,高為4,所以△CEF的面積為，x6x4=12.

2

因?yàn)槿忮FA—CM的高為4，所以A—C砂的體積為,x12x4=16.

在△ACE中，AC=40，AE=CE=2y[5

所以“CE的面積為:x4&xJ(2石尸—(20)2=4妍.

因?yàn)锳-CM的體積與b-ACE的體積相等，

所以！x4\/^xd=16,所以d=2娓.

3

故H到平面ACE的距離為限.

方法點(diǎn)睛：本題考查證明線面平行，考查求點(diǎn)到平面的距離.求點(diǎn)到平面的距離的常用方

法：

(1)定義法：作出點(diǎn)到平面的垂線段，求出垂線段的長(zhǎng)；

(2