專(zhuān)題等腰三角形與直角三角形（33題）一、單選題1．（2025·黑龍江綏化·中考真題）一個(gè)矩形的一條對(duì)角線長(zhǎng)為10，兩條對(duì)角線的一個(gè)交角為，則這個(gè)矩形的面積是（

）A．25 B． C． D．2．（2025·山東東營(yíng)·中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)在邊上（與點(diǎn)，不重合），四邊形為正方形，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)．下列結(jié)論：①；②；③；④，其中結(jié)論正確的序號(hào)是（

）A．①②④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④3．（2025·山西·中考真題）如圖，在中，，分別以點(diǎn)為圓心、的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)．若，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．4．（2025·浙江·中考真題）如圖，在中，是斜邊上的中線，以點(diǎn)C為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，與的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)E．若，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．5．（2025·江蘇揚(yáng)州·中考真題）在如圖的房屋人字梁架中，，點(diǎn)在上，下列條件不能說(shuō)明的是（

）A． B． C． D．平分6．（2025·福建·中考真題）如圖，與相切于點(diǎn)A，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C．，且交于點(diǎn)B．若，則的大小為（

）A． B． C． D．7．（2025·四川德陽(yáng)·中考真題）如圖，在中，，將沿方向向右平移至處，使恰好過(guò)邊的中點(diǎn)D，連接，若，則（

）A．3 B．2 C．1 D．8．（2025·安徽·中考真題）如圖，在中，，，邊的中點(diǎn)為D，邊上的點(diǎn)E滿足．若，則的長(zhǎng)是（

）A． B．6 C． D．39．（2025·江蘇連云港·中考真題）如圖，在中，，，平分，，E為垂足，則的值為（

）A． B． C． D．10．（2025·四川南充·中考真題）如圖，是的直徑，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，為弧的中點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值是（

）A．4 B． C．6 D．二、填空題11．（2025·山東東營(yíng)·中考真題）如圖，在中，，，的平分線交于點(diǎn)，、分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．12．（2025·四川達(dá)州·中考真題）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)圖形向右平移a個(gè)單位長(zhǎng)度，再繞原點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做圖形的變換，現(xiàn)將斜邊為1的等腰直角三角形放置在如圖的平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)變換后得為第一次變換，經(jīng)變換得為第二次變換，…，經(jīng)變換得，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．13．（2025·甘肅平?jīng)觥ぶ锌颊骖}）如圖，把平行四邊形紙片沿對(duì)角線折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)處，與相交于點(diǎn)E，此時(shí)恰為等邊三角形，若，則cm．14．（2025·陜西·中考真題）如圖，為的直徑，，，則的度數(shù)為．15．（2025·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，在中，點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，若，，則的長(zhǎng)是．16．（2025·甘肅·中考真題）如圖，把平行四邊形紙片沿對(duì)角線折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)處，與相交于點(diǎn)E，此時(shí)恰為等邊三角形．若，則．三、解答題17．（2025·廣東深圳·中考真題）綜合與探究【探索發(fā)現(xiàn)】如圖1，小軍用兩個(gè)大小不同的等腰直角三角板拼接成一個(gè)四邊形．【抽象定義】以等腰三角形為邊向外作等腰三角形，使該邊所對(duì)的角等于原等腰三角形的頂角，此時(shí)該四邊形稱為“雙等四邊形”，原等腰三角形稱為四邊形的“伴隨三角形”．如圖2，在中，，，．此時(shí)，四邊形是“雙等四邊形”，是“伴隨三角形”．【問(wèn)題解決】如圖3，在四邊形中，，，．求：①與的位置關(guān)系為：__________：②_____．（填“>”，“”或“”）【方法應(yīng)用】①如圖4，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，點(diǎn)恰好落在邊上，求證：四邊形是雙等四邊形．②如圖5，在等腰三角形中，，，，在平面內(nèi)找一點(diǎn)，使四邊形是以為伴隨三角形的雙等四邊形，若存在，請(qǐng)求出的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．18．（2025·黑龍江·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的邊在軸上，，的長(zhǎng)是一元二次方程的根，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交對(duì)角線于點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)求點(diǎn)坐標(biāo)；(2)連接、，求的面積S關(guān)于運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)解析式；(3)當(dāng)時(shí)，在對(duì)角線上是否存在一點(diǎn)，使得是含角的等腰三角形．若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．（2025·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，是的直徑，半徑，垂足為，，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，．過(guò)點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求的長(zhǎng)；(2)求的度數(shù)；(3)求的值．20．（2025·福建·中考真題）如圖，是等邊三角形，D是的中點(diǎn)，，垂足為C，是由沿方向平移得到的．已知過(guò)點(diǎn)A，交于點(diǎn)G．(1)求的大?。?2)求證：是等邊三角形．21．（2025·河北·中考真題）如圖．四邊形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，，點(diǎn)在上，．(1)求證：；(2)若，求證：．22．（2025·山西·中考真題）閱讀與思考下面是小宣同學(xué)數(shù)學(xué)筆記中的部分內(nèi)容，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．雙關(guān)聯(lián)線段【概念理解】如果兩條線段所在直線形成的夾角中有一個(gè)角是，且這兩條線段相等，則稱其中一條線段是另一條線段的雙關(guān)聯(lián)線段，也稱這兩條線段互為雙關(guān)聯(lián)線段．例如，下列各圖中的線段與所在直線形成的夾角中有一個(gè)角是，若，則下列各圖中的線段都是相應(yīng)線段的雙關(guān)聯(lián)線段．

【問(wèn)題解決】問(wèn)題1：如圖，在矩形中，，若對(duì)角線與互為雙關(guān)聯(lián)線段，則________．

問(wèn)題2：如圖，在等邊中，點(diǎn)D，E分別在邊的延長(zhǎng)線上，且，連接．

求證：線段是線段的雙關(guān)聯(lián)線段．證明：延長(zhǎng)交于點(diǎn)F．是等邊三角形，．，（依據(jù)）．，，；…

任務(wù)：(1)問(wèn)題1中的________，問(wèn)題2中的依據(jù)是________________；(2)補(bǔ)全問(wèn)題2的證明過(guò)程；(3)如圖，點(diǎn)C在線段上，請(qǐng)?jiān)趫D3中作線段的雙關(guān)聯(lián)線段．（要求：①尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法；②作出一條即可）．23．（2025·浙江·中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)O在邊上，以點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為半徑的半圓，交于點(diǎn)D，與相切于點(diǎn)E，連接(1)求證：．(2)若，求四邊形的面積．24．（2025·山西·中考真題）綜合與探究問(wèn)題情境：如圖，在紙片中，，點(diǎn)D在邊上，．沿過(guò)點(diǎn)D的直線折疊該紙片，使的對(duì)應(yīng)線段與平行，且折痕與邊交于點(diǎn)E，得到，然后展平．猜想證明：（1）判斷四邊的形狀，并說(shuō)明理由拓展延伸：（2）如圖，繼續(xù)沿過(guò)點(diǎn)D的直線折疊該紙片，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在射線上，且折痕與邊交于點(diǎn)F，然后展平．連接交邊于點(diǎn)G，連接．①若，判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；②若，，，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)25．（2025·浙江·中考真題）【問(wèn)題背景】如圖所示，某興趣小組需要在正方形紙板上剪下機(jī)翼狀紙板（陰影部分），點(diǎn)E在對(duì)角線上．【數(shù)學(xué)理解】(1)該機(jī)翼狀紙板是由兩個(gè)全等三角形組成，請(qǐng)寫(xiě)出的證明過(guò)程．(2)若裁剪過(guò)程中滿足，求“機(jī)翼角”的度數(shù)．26．（2025·湖南·中考真題）【問(wèn)題背景】如圖1，在平行四邊形紙片中，過(guò)點(diǎn)作直線于點(diǎn)，沿直線將紙片剪開(kāi)，得到和四邊形，如圖2所示．【動(dòng)手操作】現(xiàn)將三角形紙片和四邊形紙片進(jìn)行如下操作（以下操作均能實(shí)現(xiàn)）①將三角形紙片置于四邊形紙片內(nèi)部，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)在線段上，延長(zhǎng)交線段于點(diǎn)，如圖3所示；②連接，過(guò)點(diǎn)作直線交射線于點(diǎn)，如圖4所示；③在邊上取一點(diǎn)，分別連接，，，如圖5所示．【問(wèn)題解決】請(qǐng)解決下列問(wèn)題：(1)如圖3，填空：______；(2)如圖4，求證：；(3)如圖5．若，，求證：．27．（2025·山東威?！ぶ锌颊骖}）問(wèn)題提出已知，都是銳角，，，求的度數(shù)．問(wèn)題解決（1）如圖，小亮同學(xué)在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中畫(huà)出和，請(qǐng)你按照這個(gè)思路求的度數(shù)．（點(diǎn)A，B，C，D都在格點(diǎn)上）策略遷移（2）已知，都是銳角，，，則___________；（3）已知，，都是銳角，，，，求的值．（提示：在正方形網(wǎng)格中畫(huà)出求解過(guò)程的圖形，并直接寫(xiě)出答案）28．（2025·四川南充·中考真題）如圖，在五邊形中，．(1)求證：．(2)求證：．29．（2025·湖北·中考真題）如圖，是的外接圓，．過(guò)點(diǎn)作，垂足為，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作的切線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，求的半徑．30．（2025·新疆·中考真題）如圖，在等腰直角三角形中，，，，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，點(diǎn)D和點(diǎn)N分別是線段和上的動(dòng)點(diǎn)．(1)當(dāng)點(diǎn)D和點(diǎn)N分別是和的中點(diǎn)時(shí)，求a的值；(2)當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)C，D，N為頂點(diǎn)的三角形與相似，求的值；(3)當(dāng)時(shí)，求的最小值．31．（2025·上?！ぶ锌颊骖}）小明正在進(jìn)行探究活動(dòng)：分割梯形并將其拼成等腰三角形，請(qǐng)你幫他一起探究．(1)如圖（1）所示，在梯形中，，．設(shè)為邊中點(diǎn)，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)的位置，得到的是等腰三角形，其中，設(shè)，求邊的長(zhǎng)（用表示）；(2)如圖（2）所示，已知梯形中，，且，．請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種方案，用一條或兩條直線將梯形分割，并使得分割成的幾個(gè)部分可以通過(guò)圖形運(yùn)動(dòng)拼成與剩余部分不重疊無(wú)縫隙的等腰三角形．請(qǐng)寫(xiě)出兩腰的線段，以及這兩條或一條直線與梯形的交點(diǎn)的位置．（模仿（1）中的論述語(yǔ)言：為邊中點(diǎn)，是梯形的頂點(diǎn)）．32．（2025·四川遂寧·中考真題）如圖，在四邊形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)在對(duì)角線上，，且，．(1)求證：；(2)連接，若，請(qǐng)判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．33．（2025·四川達(dá)州·中考真題）歸納與應(yīng)用歸納是學(xué)好數(shù)學(xué)的敲門(mén)磚，尤其對(duì)幾何而言．例如，我們看到圖1是平行四邊形，就會(huì)聯(lián)想到：從邊的角度，平行四邊形對(duì)邊平行且相等；從角的角度，平行四邊形對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；從對(duì)角線的角度，平行四邊形對(duì)角線互相平分；從對(duì)稱性的角度，平行四邊形是中心對(duì)稱圖形通過(guò)如此歸納形成知識(shí)體系的學(xué)習(xí)方法，成為我們解決相關(guān)問(wèn)題的金鑰匙：(1)嘗試歸納：請(qǐng)你根據(jù)圖2，寫(xiě)出3條直角三角形的性質(zhì)①____________________________________________________________________________；②____________________________________________________________________________；③____________________________________________________________________________．(2)實(shí)踐應(yīng)用：小明同學(xué)在思考直角三角形的性質(zhì)時(shí)，作出如圖3，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，，，試幫他判斷四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論．參考答案題號(hào)12345678910答案BCDBBCBBAC1．B本題主要考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，正確畫(huà)出圖形并靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．如圖：根據(jù)矩形的對(duì)角線互相平分且相等求出，然后判斷出是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出，再利用勾股定理列式求出，然后根據(jù)矩形的面積公式求解即可．解：如圖，∵四邊形是矩形，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，由勾股定理得，，∴矩形的面積．故選：B．2．C由正方形的性質(zhì)得出，證出，由證明，得出，①正確；證明四邊形是矩形，得出，②正確；由等腰直角三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)得出，③正確；證出，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，得出，④正確．解：∵四邊形為正方形，，，，，，在和中，，，∴，故①正確；，，，，∴四邊形是矩形，，∴，∴，故②正確；，∴，故③正確；∵，∴，，，，，故④正確；∴正確的有①②③④．故選：C．本題考查正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)等知識(shí)．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．3．D本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，扇形的面積，由等腰直角三角形的性質(zhì)得，，進(jìn)而由解答即可求解，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．解：∵，∴，∵，∴，∴，故選：．4．B本題考查求弧長(zhǎng)，斜邊上的中線，根據(jù)斜邊上的中線求出得到，進(jìn)而得到，三角形的外角得到的度數(shù)，作圖可知，等邊對(duì)等角求出的度數(shù)，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可．解：∵，是斜邊上的中線，，∴，∴，∴，由作圖可知，∴，∴，∴的長(zhǎng)為；故選B．5．B本題考查三線合一，根據(jù)三線合一，進(jìn)行判斷即可．解：當(dāng)時(shí)，∵點(diǎn)在上，∴，∴，∴；故選項(xiàng)A不符合題意；∵，∴，不能得到；故選項(xiàng)B符合題意；∵，∴當(dāng)或平分時(shí)，；故選項(xiàng)C，D均不符合題意；故選B6．C本題考查切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，連接，，切線得到，求出，平行，得到，進(jìn)而得到為等邊三角形，推出為等邊三角形，即可得出結(jié)果．連接，，則：，∵與相切于點(diǎn)A，∴，∵，∴，∵，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，∴為等邊三角形，∴，故選C．7．B本題考查直角三角形斜邊中線性質(zhì)和平移的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形斜邊中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，結(jié)合，得，由平移得到，根據(jù)平移對(duì)應(yīng)線段相等，可知，進(jìn)而得．在中，，是中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵沿方向向右平移至，∴，故選：B．8．B本題主要考查了等腰三角形性質(zhì)、含角的直角三角形性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握這些性質(zhì)定理，通過(guò)設(shè)未知數(shù)，利用勾股定理建立方程求解是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出的度數(shù)，再利用中點(diǎn)得到線段關(guān)系，最后在中，結(jié)合含角的直角三角形性質(zhì)及勾股定理求出的長(zhǎng)．解：∵在中，，，．是中點(diǎn)，∴設(shè)，則．∵，是直角三角形，且，，∵，則．在中，根據(jù)勾股定理，∴，，，解得（）．，．故選：．9．A本題考查含30度角的直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解直角三角形，設(shè)，根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)，得到，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，結(jié)合同高三角形的面積比等于底邊比，得到，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，勾股定理求出的長(zhǎng)，等角的正弦值相等，得到，求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)即可．解：∵，，∴，設(shè)，則：，∵平分，，∴點(diǎn)到的距離相等均為的長(zhǎng)，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，即：，∴，∴；故選：A．10．C如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，，，由垂徑定理得，進(jìn)而得，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為的長(zhǎng)，在利用直角三角形的性質(zhì)即可求解．解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，，，∵于點(diǎn)，交于點(diǎn)，為弧的中點(diǎn)，∴∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，∴，∴當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為的長(zhǎng)，∵，，∴，∴，∵，∴，即，∴，∵，，∴，∴，∴的最小值．故選：C．本題主要考查了弧、圓心角的關(guān)系，垂徑定理，直角三角形的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，熟練掌握弧、圓心角的關(guān)系，垂徑定理是解題的關(guān)鍵．11．本題考查了角平分線的性質(zhì)，含角的直角三角形，垂線段最短，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．作于點(diǎn)，根據(jù)垂線段最短可知，的最小值是線段的長(zhǎng)度，根據(jù)解含角的直角三角形即可．解：如圖，作于點(diǎn)，∵平分，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，∴，∵，，∴，∴，∴的最小值是，故答案為：．12．本題考查坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)中的規(guī)律探究，過(guò)點(diǎn)作軸，根據(jù)斜邊上的中線，得到，進(jìn)而得到，根據(jù)變化規(guī)則，得到，，，，進(jìn)而得到，，推出，根據(jù)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可．解：過(guò)點(diǎn)作軸，∵為斜邊為1的等腰直角三角形，∴，∴，∴是由先向右平移1個(gè)單位，再繞原點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，即根據(jù)平移后的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱得到的，∴，同理：，，，，∴，，∴，∵，∴，即：；故答案為：．13．12本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)折疊的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)可得，結(jié)合三角形的外角性質(zhì)可得，進(jìn)而得到，再利用30度角的直角三角形的性質(zhì)即可得解．解：∵為等邊三角形，∴，∵折疊，∴，∵是平行四邊形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；故答案為：12．14．本題考查了垂徑定理，圓周角定理，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)為的直徑，，則，再根據(jù)，即，代入進(jìn)行計(jì)算，即可作答．解：∵為的直徑，，∴，即，∵，∴，則，故答案為：．15．6本題考查了三角形的中位線定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，熟練掌握三角形的中位線定理是解題關(guān)鍵．先根據(jù)三角形的中位線定理可得，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，然后根據(jù)求解即可得．解：∵在中，點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，，∴，∵，，∴，∴，故答案為：6．16．12本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，折疊得到，平行線的性質(zhì)，得到，進(jìn)而得到，等邊三角形的性質(zhì)，結(jié)合三角形的外角推出，進(jìn)而得到，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，得到即可．解：∵折疊，∴，∵平行四邊形紙片，∴，∴，∴，∵為等邊三角形，∴，∵，，∴，∴，∴；故答案為：1217．問(wèn)題解決：①互相平行；②=；【方法應(yīng)用】①見(jiàn)解析；②或或本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．問(wèn)題解決：①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，從而可得；②證明得出，即，由可得結(jié)論；方法應(yīng)用：①根據(jù)雙等四邊形的定義進(jìn)行證明；②分，或，或，三種情況討論求解即可．解：[問(wèn)題解決]①∵，∴，∴，∴；②∵，，∴，，，，；故答案為：①平行；②＝；方法應(yīng)用：①為旋轉(zhuǎn)得到，，令，則，，，由旋轉(zhuǎn)得，，又，∴，，，，四邊形為雙等四邊形；②作于點(diǎn)，，，，，設(shè)，則：，在中，，即，解得：，，，若，時(shí)，，若，時(shí)，，作于點(diǎn)，∴，，，若，時(shí)，如圖，，，，，．綜上所述：滿足條件時(shí)，或或．18．(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為；(2)的面積S關(guān)于運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)解析式為；(3)當(dāng)時(shí)，在對(duì)角線上存在一點(diǎn)，使得是含角的等腰三角形，，，．（1）解方程得出的長(zhǎng)度，由菱形的性質(zhì)與銳角函數(shù)綜合，可得和的長(zhǎng)度，即可得點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）分類(lèi)討論，分別由運(yùn)動(dòng)時(shí)間表示出線段長(zhǎng)度，代入三角形的面積公式，化簡(jiǎn)整理即可；（3）根據(jù)運(yùn)動(dòng)時(shí)間，確定點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，分類(lèi)討論，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得點(diǎn)的坐標(biāo)．（1）解：由解得，，，∵的長(zhǎng)是一元二次方程的根，∴，∵四邊形為菱形，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∵四邊形為菱形，∴平分，∴，∴，∴答：點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）解：根據(jù)題意可知，，，如圖，作于點(diǎn)，則，∵，，，∴，作軸于點(diǎn)，∵四邊形為菱形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，∴的面積，當(dāng)時(shí)，，∴的面積，綜上所述，，答：的面積關(guān)于運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)解析式為．（3）解：如圖，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)和點(diǎn)重合，，，，假設(shè)在對(duì)角線上存在一點(diǎn)，使得是含角的等腰三角形，當(dāng)為頂角時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，，當(dāng)為頂角時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，，當(dāng)為頂角時(shí)，，設(shè)，則，∵，∴，∴，∴，∴，答：當(dāng)時(shí)，在對(duì)角線上存在一點(diǎn)，使得是含角的等腰三角形，，，．本題考查解一元二次方程，菱形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，解直角三角形，等腰三角形，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，熟練掌握分類(lèi)討論的思想方法．19．(1)(2)(3)本題考查圓的相關(guān)性質(zhì)與計(jì)算，涉及切線的性質(zhì)，弧長(zhǎng)的計(jì)算，還考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，含角的直角三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與定義是解題的關(guān)鍵．（1）連接，判定是等邊三角形，得出，利用弧長(zhǎng)公式求解即可；（2）利用，求出，再利用，等邊對(duì)等角即可求解；（3）連接，求出，即可得，利用是的切線，求出，，證明，再利用三角函數(shù)定義求解即可．（1）解：如圖，連接，在中，，又∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴的長(zhǎng)；（2）解：∵，∴，∴，∵在中，，∴；（3）解：如圖，連接，∵，，∴，∴，∵是的切線，∴，，∴，∵，∴，∴，∴．20．(1)(2)見(jiàn)解析本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、平移的基本性質(zhì)、線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間觀念、幾何直觀與推理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵．（1）等邊三角形的性質(zhì)推出，垂直，得到，角的和差關(guān)系求出的大小即可；（2）平移得到，進(jìn)而得到，角的和差關(guān)系推出，進(jìn)而得到，根據(jù)，推出垂直平分，進(jìn)而得到，推出，進(jìn)而得到是等邊三角形即可．（1）解：是等邊三角形，．D是的中點(diǎn)，．，，．（2）由平移可知：，，又，，∴，又，垂直平分，，由（1）知，，，，是等邊三角形．21．(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)；（1）先證明，結(jié)合，，即可得到結(jié)論；（2）先證明，結(jié)合即可得到結(jié)論.（1）證明：∵，∴，∵，，∴；（2）證明：∵，∴，∵，∴，即.22．(1)，等角的補(bǔ)角相等；(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析（1）設(shè)的交點(diǎn)為O，利用矩形的性質(zhì)及已知可證明是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)及矩形性質(zhì)即可求解．利用等角的補(bǔ)角相等即可完成問(wèn)題2的依據(jù)．（2）利用三角形外角的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)即可，從而問(wèn)題完成；（3）作一個(gè)等邊三角形即可完成．（1）解：設(shè)的交點(diǎn)為O，如圖；∵四邊形是矩形，∴；∵對(duì)角線與互為雙關(guān)聯(lián)線段，∴，∴是等邊三角形，∴，∴；

故答案為：；問(wèn)題2中的依據(jù)是：等角的補(bǔ)角相等；

故答案為：等角的補(bǔ)角相等；（2）解：是的外角，

．是的外角，

．

，．

即線段與線段所在直線形成的夾角中有一個(gè)角是．，線段與線段是雙關(guān)聯(lián)線段．（3）解：答案不唯一，例如：作法一：

作法二：

如圖，線段即為所求．本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，尺規(guī)作圖等知識(shí)，掌握這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵．23．(1)見(jiàn)解析(2)本題考查了圓的切線的性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等邊對(duì)等角導(dǎo)角得到，再結(jié)合圓的切線性質(zhì)得到，即可證明垂直；（2）先得到是等邊三角形，則，解求出，根據(jù)，求出，再由梯形面積公式求解．（1）證明：由題意得，∴，∵，∴，∴，∴，∵以點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為半徑的半圓與相切于點(diǎn)E，∴，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴四邊形的面積為：．24．（1）四邊形是菱形，理由見(jiàn)解析；（2）①．理由見(jiàn)解析；②5或（1）由折疊的性質(zhì)可得，，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，進(jìn)而得到，由等角對(duì)等邊推出，從而證明，即可四邊形是菱形；（2）①由（1）推出，由折疊的性質(zhì)得到，結(jié)合已知可得，進(jìn)而推出，得到，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出，即可得到與的位置關(guān)系；②分是以為腰為底的等腰三角形和是以為腰為底的等腰三角形兩種情況討論，如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，設(shè)交點(diǎn)為，利用三角形相似的性質(zhì)建立方程求解即可．（1）解：四邊形是菱形，理由如下：由折疊的性質(zhì)可得，，∵，∴，∴，∴，∴，∴四邊形是菱形；（2）證明：①，理由如下：由（1）知四邊形是菱形，∴，由折疊的性質(zhì)得到，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴；解：②∵，，，∴，當(dāng)是以為腰為底的等腰三角形時(shí)，如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，設(shè)交點(diǎn)為，則，∵，，∴，∴，由折疊的性質(zhì)得，，，∴，∴；∵，∴；∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，解得：，∴；當(dāng)是以為腰為底的等腰三角形時(shí)，如圖，則，同理得，，設(shè)，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，∴，∵是以為腰為底的等腰三角形，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，解得：，∴；綜上，的長(zhǎng)為或．本題考查折疊的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，合理作出輔助線，構(gòu)造三角形全等，結(jié)合分類(lèi)討論的思想是解題的關(guān)鍵．25．(1)見(jiàn)解析(2)本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）由正方形的性質(zhì)可得，據(jù)此可利用證明；（2）由正方形的性質(zhì)可得，再由等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)即可得到答案．（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，又∵，∴；（2）解：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∵，∴，∴．26．(1)(2)證明過(guò)程見(jiàn)詳解(3)證明過(guò)程見(jiàn)詳解（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，根據(jù)題意得到，，，由此即可求解；（2）根據(jù)題意得到，，是等腰直角三角形，則，，，再證明，則，且，由此即可求解；（3）根據(jù)題意，設(shè)，則，在中，，，，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，可得，，，，，，可證，得到，即可求解．（1）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵直線，∴，∴，∵將三角形紙片置于四邊形紙片內(nèi)部，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)在線段上，延長(zhǎng)交線段于點(diǎn)，∴，∴，故答案為：；（2）證明：根據(jù)題意，，∴，∵將三角形紙片置于四邊形紙片內(nèi)部，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)在線段上，延長(zhǎng)交線段于點(diǎn)，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵直線，即，∴，∴，∴，∵，點(diǎn)在線段上，∴，∵，∴，∴，且，∴；（3）解：∵，∴，∵，∴設(shè)，則，在中，，，∴，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，，即，解得，，∵，∴，∴，即，解得，，∵，∴，即，解得，，，∵，∴，∴，∴，∴，即，且，∴，∴，∴．本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形的計(jì)算，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形的計(jì)算，相似三角形的判定和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合分析是關(guān)鍵．27．（1）；（2）；（3）．本題考查作了解直角三角形，勾股定理及其逆定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)路數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題．（1）連接，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求解；（2）構(gòu)造等腰直角三角形可得結(jié)論；（3）構(gòu)造直角三角形可得結(jié)論．解：（1）如圖1中，連接，，，，∴是等腰直角三角形，，，；（2）如圖中，連接，由題意，，，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，，故答案為：；（3）如圖中，由題意知，，，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴是直角三角形，．28．(1)詳見(jiàn)解析(2)詳見(jiàn)解析本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊對(duì)等角等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)判定與性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．（1）先說(shuō)明，再根據(jù)即可證明結(jié)論；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得，然后根據(jù)角的和差即可證明結(jié)論．（1）證明：，．．在與中，．（2）解：，．，．，．29．(1)證明過(guò)程見(jiàn)詳解(2)的半徑（1）根據(jù)垂直，切線的性質(zhì)得到，可得是等腰直角三角形，由此即可求解；（2）根據(jù)垂徑定理得到，是等腰直角三角形，由（1）得到，則，如圖所示，連接，設(shè)，則，由此勾股定理即可求解．（1）解：∵，是的切線，即，∴，∴，∴，即是等腰直角三角形，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，即是等腰直角三角形，∴，由（1）得，∴，如圖所示，連接，設(shè)，則，∴在中，，∴，解得，，∴，∴的半徑．本題主要考查圓內(nèi)接三角形的綜合，掌握垂徑定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)等周四，數(shù)形結(jié)合分析是關(guān)鍵．30．(1)(2)(3)（1