余弦定理教學(xué)重點(diǎn)余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程及其基本應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)1.向量知識(shí)在證明余弦定理時(shí)的應(yīng)用,與向量知識(shí)的聯(lián)系過(guò)程;2.余弦定理在解三角形時(shí)的應(yīng)用思路;3.勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程中的作用三維目的一、知識(shí)與技能1.掌握余弦定理的兩種表達(dá)形式及證明余弦定理的向量辦法;2.會(huì)運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問(wèn)題;3.能運(yùn)用計(jì)算器進(jìn)行運(yùn)算.二、過(guò)程與辦法1.運(yùn)用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論;2.通過(guò)實(shí)踐演算掌握運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問(wèn)題.三、情感態(tài)度與價(jià)值觀1.培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下解決解三角形問(wèn)題的運(yùn)算能力；2.通過(guò)三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的關(guān)系，來(lái)理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一．復(fù)習(xí)回想正弦定理：能夠解決兩類有關(guān)三角形的問(wèn)題?（1）已知兩角和任一邊。（2）已知兩邊和一邊的對(duì)角。變型：CBAabcAbcAcbAcbbcAAcbCBaAbcAbcCBAabcc2＞

a2+b2c2

＜

a2+b2看一看想一想直角三角形中的邊a、b不變，角C進(jìn)行變動(dòng)勾股定理仍成立嗎？c2=

a2+b2是尋找解題思路的最佳途徑c=?AcbCBa∣AB∣c2=∣AB∣2=??ABABAB=?AC+CBABAB=(AC+CB)(AC+CB)算一算試試！聯(lián)想證明：向量法若ABC為任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求證：bcABCa證明同理可證：

格式二：逆用公式證明bAacCB證明：以CB所在的直線為x軸，過(guò)C點(diǎn)垂直于CB的直線為y軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：xy解析法證明ABCabcD當(dāng)角C為銳角時(shí)幾何法bAacCBD當(dāng)角C為鈍角時(shí)CBAabc

余弦定理作為勾股定理的推廣，考慮借助勾股定理來(lái)證明余弦定理。證明證明：在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A,

作CD⊥AB，則CD=bsinA,BD=c-bcosAABCcba同理有：固然，對(duì)于鈍角三角形來(lái)說(shuō)，證明類似，課后自己完畢。D余弦定理

a2=b2+c2-2bc·cosAb2=c2+a2-2ca·cosBc2=a2+b2-2ab·cosC你能用文字闡明嗎？CBAabc三角形任何一邊的平方等于其它兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。歸納變一變樂(lè)在其中CBAabc

a2=b2+c2-2bc·cosAb2=c2+a2-2ca·cosBc2=a2+b2-2ab·cosCb2+c2-a22bccosA=c2+a2-b22cacosB=a2+b2-c22abcosC=變形歸納想一想：余弦定理在直角三角形中與否仍然成立？

cosC=

a2+b2-c2

2abC=90°

a2+b2=c2

cosA=

b2+c2-a2

2bc

cosB=

c2+a2-b2

2cacosA=—cosB=—acbc問(wèn)題1：勾股定理與余弦定理有何關(guān)系？勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣.問(wèn)題2：公式的構(gòu)造特性如何？（1）輪換對(duì)稱，簡(jiǎn)潔優(yōu)美;剖析定理（2）每個(gè)等式中有同一種三角形中的四個(gè)元素，知三求一.（方程思想）剖析思考：已知兩邊及一邊的對(duì)角時(shí)，我們懂得可用正弦定理來(lái)解三角形，想一想能不能用余弦定理來(lái)解這個(gè)三角形？如：已知b=4,c=,C=60°求邊a.（3）已知a、b、c（三邊），能夠求什么？剖析定理剖析剖析定理（4）能否把式子轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系式？分析：剖析（1）已知三邊求三個(gè)角；問(wèn)題3：余弦定理在解三角形中的作用是什么？（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其它兩個(gè)角.剖析定理剖析P7例3、例4會(huì)用才是真的掌握了余弦定理在解三角形中能解決哪些問(wèn)題？角邊角角角邊邊邊角邊角邊邊邊邊正弦定理余弦定理運(yùn)用練一練：P8練習(xí)1，2

1、已知△ABC的三邊為、2、1，求它的最大內(nèi)角。解：不妨設(shè)三角形的三邊分別為a=,b=2,c=1則最大內(nèi)角為∠A由余弦定理cosA=12+22-()22×2×1=-—12∴A=120°變一變：若已知三邊的比是

:2:1,又怎么求？再練：

2、已知△ABC中AB=2、AC=3、A=，求BC的長(zhǎng)。解：由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cosA=4+9-2×2×3×=7∴BC=思考：（1）在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,鑒定三角形ABC的形狀分析：三角形ABC的形狀是由大邊b所對(duì)的大角B決定的。（2）在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,求三角形ABC的面積分析：三角形的面積公式S=absinC=bcsinA=acsinB,只需先求出cosC(cosA或cosB),然后求出sinC(sinA或sinB）代入面積公式即可。2.余弦定理a=b+c-2bccosAb=c+a-2accosBc=a+b-2abcosC2222222223.由余弦定理知1.證明定理:課堂小結(jié)向量法、解析法、幾何法（1）已知三邊求三個(gè)角；（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其它兩個(gè)角.5.余弦定理的作用（3）判斷三角形的形狀，求三角形的面積a=b+c-2bccosAb=c+a-2accosBc=a+b-2abcosC2222222224.余弦定理合用于任何三角形作業(yè)布置

P113.4課后記課本在引入余弦定理內(nèi)容時(shí)，首先提出探究性問(wèn)題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角,根據(jù)三角形全等的鑒定辦法，這個(gè)三角形是大小、形狀完全擬定的三角形.我們?nèi)匀粡牧炕慕嵌葋?lái)研究這個(gè)問(wèn)題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計(jì)算出三角形的另一邊和兩個(gè)角的問(wèn)題”．這樣，用聯(lián)系的觀點(diǎn)，從新的角度看過(guò)去的問(wèn)題，使學(xué)生對(duì)過(guò)去的知識(shí)有了新的認(rèn)識(shí)，同時(shí)使新知識(shí)建立在已有知識(shí)的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)上，使學(xué)生能夠形成良好的知識(shí)構(gòu)造．設(shè)立這樣的問(wèn)題，是為了更加好地加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想辦法的教學(xué)．例如對(duì)于余弦定理的證明，慣用的辦法是借助于三角的辦法，需要對(duì)三角形進(jìn)行討論，辦法不夠簡(jiǎn)潔，通過(guò)向量知識(shí)予以證明,引發(fā)學(xué)生對(duì)向量知識(shí)的學(xué)習(xí)愛(ài)好,同時(shí)感受向量法證明余弦定理的簡(jiǎn)便之處.教科書就是用了向量的辦法，發(fā)揮了向量辦法在解決問(wèn)題中的威力．在證明了余弦定理及其推論后來(lái)，教科書從余弦定理與勾股定理的比較中，提出了一種思考問(wèn)題“勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了普通三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？”并進(jìn)而指出，“從余弦定理以及余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，如果一種三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是直角；如果不大于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的