數(shù)學(xué)建模第1講數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介一.數(shù)學(xué)科學(xué)的重要性

*科學(xué)技術(shù)是第一生產(chǎn)力；*信息時(shí)代高科技的競(jìng)爭(zhēng)本質(zhì)上是數(shù)學(xué)的競(jìng)爭(zhēng)；*“高技術(shù)”本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)技術(shù)；*數(shù)學(xué)科學(xué)是一種關(guān)鍵的、普遍的、能夠?qū)嵭械募夹g(shù)；*計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展促使數(shù)學(xué)得以廣泛應(yīng)用；*在經(jīng)濟(jì)競(jìng)爭(zhēng)中數(shù)學(xué)科學(xué)是必不可少的;第1講數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介現(xiàn)代數(shù)學(xué)：在理論上更抽象；在方法上更加綜合；在應(yīng)用上更為廣泛。*數(shù)學(xué)很重要的一方面在于數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用.

*更重要的方面是數(shù)學(xué)的思維方式的確立.第1講數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介21世紀(jì)科技人才應(yīng)具備的數(shù)學(xué)素質(zhì)與能力

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力

邏輯推理能力數(shù)學(xué)建模能力數(shù)據(jù)處理能力空間想象能力抽象思維能力更新數(shù)學(xué)知識(shí)能力使用數(shù)學(xué)軟件能力第1講數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介二.

數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模*對(duì)實(shí)體本身的模擬如:飛機(jī)形狀進(jìn)行模擬的模型飛機(jī)；*對(duì)實(shí)體某些屬性的模擬如:對(duì)飛機(jī)性能進(jìn)行模擬的航模比賽飛機(jī)；

*對(duì)實(shí)體某些屬性的抽象如:一張地質(zhì)圖是某地區(qū)地貌情況的抽象

模型

指人們?yōu)榱四硞€(gè)特定的目的而將原型的某些信息精簡(jiǎn)壓縮,加以提煉而構(gòu)造的原型的替代物。第1講數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介任何一個(gè)模型僅為一個(gè)真實(shí)系統(tǒng)某一方面的理想化，決不是真實(shí)系統(tǒng)的重現(xiàn).

數(shù)學(xué)模型(定義)：數(shù)學(xué)模型是現(xiàn)實(shí)世界的簡(jiǎn)化而本質(zhì)的描述。

是用數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)公式、程序、圖、表等刻畫客觀事物的本質(zhì)屬性與內(nèi)在聯(lián)系的理想化表述.第1講數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介

數(shù)學(xué)建模(定義)

：創(chuàng)立一個(gè)數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程然后運(yùn)用先進(jìn)的數(shù)學(xué)方法及計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)行求解。

數(shù)學(xué)模型（MathematicalModel）：重結(jié)果；數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling）：重過(guò)程第1講數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介所謂數(shù)學(xué)模型，從廣義上理解，數(shù)學(xué)中的概念，如數(shù)、向量、集合、點(diǎn)、線、面、群、環(huán)、域、線性空間等都是現(xiàn)實(shí)原型的數(shù)學(xué)模型．但這些是前人已經(jīng)建立起來(lái)的、成熟的數(shù)學(xué)模型，從狹義上理解，是對(duì)現(xiàn)實(shí)存在的具體問(wèn)題，建立新的數(shù)學(xué)模型，這后一種理解，對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模者來(lái)說(shuō)更有意義。數(shù)學(xué)建模的意義：第1講數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介

例1.生物醫(yī)學(xué)專家有了藥物濃度在人體內(nèi)隨時(shí)間和空間變化的數(shù)學(xué)模型后，可以用來(lái)分析藥物的療效，從而有效地指導(dǎo)臨床用藥.

例2.廠長(zhǎng)經(jīng)理們籌劃出一個(gè)合理安排生產(chǎn)和銷售的數(shù)學(xué)模型，是為了獲取盡可能高的經(jīng)濟(jì)效益.數(shù)學(xué)模型是溝通現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)世界的理想橋梁。第1講數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)世界建立數(shù)學(xué)模型推理演繹求解翻譯為實(shí)際解答實(shí)際解答：如對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的分析、預(yù)報(bào)、決策、控制等結(jié)果。始于現(xiàn)實(shí)世界并終于現(xiàn)實(shí)世界第1講數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介三.數(shù)學(xué)建模的過(guò)程數(shù)學(xué)建模的過(guò)程可概括為以下五個(gè)階段：

1.科學(xué)地識(shí)別和剖析問(wèn)題；2.

建立數(shù)學(xué)模型；

3.對(duì)研究中所選擇的模型求解數(shù)學(xué)問(wèn)題；

4.對(duì)有關(guān)計(jì)算提出算法和設(shè)計(jì)計(jì)算機(jī)程序；

5.解釋原問(wèn)題的結(jié)論并評(píng)判這些結(jié)論。第1講數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介求解數(shù)學(xué)模型

實(shí)際問(wèn)題分析建立數(shù)學(xué)模型提交論文與報(bào)告

模型與模型解的分析及檢驗(yàn)

第1講數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介以下介紹幾種方法

一．小組群體思維類似于現(xiàn)代科研工作，數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)是群體的合作活動(dòng)。*數(shù)學(xué)建模是一種集體創(chuàng)新過(guò)程，需要一種集體創(chuàng)新思維方式。*在合作過(guò)程中相互理解、相互協(xié)調(diào)、相互交流、從而集思廣益

突破問(wèn)題的靈感與思想的火花往往產(chǎn)生于激烈的爭(zhēng)論之中第1講數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介

二．發(fā)散性思維方法發(fā)散性思維和猜測(cè)思維是創(chuàng)造性思維方式的重要組成部分

面對(duì)新問(wèn)題，應(yīng)盡量打開自己的思路：幫助展開思路的方法：

關(guān)鍵詞聯(lián)想法提問(wèn)題法第1講數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介常用的問(wèn)題如下：

（4）重新組合又會(huì)怎樣？（l）這個(gè)問(wèn)題和什么問(wèn)題相類似？（2）假如變動(dòng)問(wèn)題的某些條件將會(huì)怎樣？（3）將問(wèn)題分解成若干部分再考慮會(huì)怎樣？為進(jìn)一步打開思路還可提以下問(wèn)題：

（7）可否換一種數(shù)學(xué)工具來(lái)解決此問(wèn)題？（5）我們還可以做什么工作？（6）有無(wú)需要進(jìn)一步完善的內(nèi)容？第1講數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介例3.2.1穿越公路模型（P17例2.2.8）

一條公路交通不太擁擠,以致人們養(yǎng)成“沖”過(guò)馬路的習(xí)慣,不愿行走到鄰近較遠(yuǎn)處的“斑馬線”.當(dāng)?shù)亟煌ü芾聿块T不允許任意橫穿公路,為方便行人，準(zhǔn)備在一些特殊地點(diǎn)增設(shè)“斑馬線”,讓行人可穿越公路,并且還要保證行人的平均等待時(shí)間不超過(guò)15秒.增設(shè)“斑馬線”需考慮哪些方面的問(wèn)題？第1講數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介1.考慮問(wèn)題的立場(chǎng),司機(jī)或行人的哪方面的利益更為重要？公路情況:是否有彎道？車道間是否設(shè)有安全隔離帶？……3.車流情況：車流的密度大?。?.行人情況:穿越公路的速度大?。看┰焦返娜巳好芏?？穿越公路的性質(zhì)？怎樣收集數(shù)據(jù)和資料？

可在各類圖書館、網(wǎng)上查閱、向?qū)＜以儐?wèn)、通過(guò)試驗(yàn)、計(jì)算機(jī)模擬來(lái)得到。

第1講數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介A.椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？B.雙層玻璃的功效數(shù)學(xué)建模實(shí)例C.交通事故調(diào)查D.錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的用途第1講數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介一輛汽車在拐彎時(shí)急剎車，結(jié)果沖到路邊的溝里（見圖1.1）。交警立即趕到事故現(xiàn)場(chǎng)。司機(jī)申辯說(shuō)，當(dāng)他進(jìn)入彎道時(shí)剎車已失靈，他還一口咬定，進(jìn)入彎道時(shí)其車速為40英里/小時(shí)(即該車在這類公路上的速度上限，相當(dāng)于17.9米/秒），交警驗(yàn)車時(shí)證實(shí)該車的制動(dòng)器在事故發(fā)生時(shí)的確失靈，然而司機(jī)所說(shuō)的車速是否真實(shí)呢？交通事故調(diào)查圖1.1汽車軌跡運(yùn)行圖第1講數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介交警在現(xiàn)場(chǎng)獲取的相關(guān)數(shù)據(jù):

X指剎車痕跡方向；Y指垂直X軸方向。經(jīng)勘察還發(fā)現(xiàn)，該車并沒有偏離它的行駛轉(zhuǎn)彎方向，也就是說(shuō)車頭一直指向轉(zhuǎn)彎曲線的切線方向。x0369121516.64y01.192.152.823.283.533.55x182124273033.27y3.543.312.892.221.290表1.1剎車痕跡的測(cè)量值(米)第1講數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介模型假設(shè)（1）該車的重心沿一個(gè)半徑為r的園做圓周運(yùn)動(dòng)（根據(jù)交通學(xué)原理，現(xiàn)有公路的彎道通常是按圓弧段設(shè)計(jì)的,需要檢驗(yàn)）。（2）汽車速度v是常數(shù)（因剎車失靈，所以剎車不起作用）。（3）設(shè)摩擦力f作用在汽車速度的法線上，摩擦系數(shù)為常數(shù)k，汽車質(zhì)量為m。第1講數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介模型建立根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)學(xué)定律：

f=kmg=mv2/r

（1.1）模型求解由（1.1）式得v=

（1.2）

關(guān)于園半徑的估計(jì):假設(shè)已知園的弦長(zhǎng)為c,弓形高度為h,由勾股定理得,由表1.1得c≈33.27m,h≈3.55m,r≈40.75m.

通?？梢愿鶕?jù)路面與汽車輪胎的情況測(cè)出摩擦系數(shù)的值,也可以通過(guò)交通部門獲得,本例取 kg=8.175m/s。代入(1.2)式得v=18.2m/s。第1講數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介

模型解釋

這一結(jié)果比司機(jī)所說(shuō)的車速(17.9m/s)略大一些,但基本上可以認(rèn)為司機(jī)所說(shuō)的結(jié)果是可以接受的。第1講數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的用途

問(wèn)題

一盤錄像帶從頭至尾用時(shí)183分30秒,計(jì)數(shù)器從0000變到6152,現(xiàn)在錄像機(jī)計(jì)數(shù)器為4580,問(wèn)剩下的一段能否錄下1小時(shí)的節(jié)目。我們希望建立計(jì)數(shù)器與錄像帶轉(zhuǎn)過(guò)時(shí)間之間的關(guān)系,并回答能否錄1小時(shí)的節(jié)目？第1講數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介問(wèn)題分析(1)讀數(shù)并非均勻增長(zhǎng),而是先快后慢；(2)錄像機(jī)的工作原理如圖1.2。

右輪/計(jì)數(shù)器

主動(dòng)輪/壓輪

左輪

磁頭

圖1.2錄像帶工作原理第1講數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介建模目的

錄像帶的線速度(單位時(shí)間轉(zhuǎn)過(guò)的長(zhǎng)度)是常數(shù)v;計(jì)數(shù)器n記為右輪的轉(zhuǎn)數(shù)t=0時(shí),n=0;錄像帶的厚度是常數(shù)w,空右輪的半徑r。找出計(jì)數(shù)器n與錄像帶轉(zhuǎn)過(guò)的時(shí)間t之間的關(guān)系t=f(n)。模型假設(shè)第1講數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介模型建立m圈總長(zhǎng)度等于錄像帶轉(zhuǎn)過(guò)的長(zhǎng)度,即(1.3)(1.4)方法一:方法二:右輪面積的變化=錄像帶轉(zhuǎn)過(guò)的長(zhǎng)度×厚度(1.5)第1講數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介方法三:微積分法:自t到t+dt錄像帶在右輪上纏饒的長(zhǎng)度vdt=2π(r+wn)dn(1.7)兩邊積分得(1.8)(1.9)因此(1.6)第1講數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介本例中,為待定系數(shù),應(yīng)該給出相應(yīng)測(cè)量方法。事實(shí)上,我們可以將(1.4)式記為(1.8)只需確定a,b兩個(gè)參數(shù)理論上只需兩組數(shù)據(jù)即可,但是實(shí)際上因w較小,很小的誤差對(duì)答案的影響很大,通常應(yīng)有足夠的數(shù)據(jù)驗(yàn)證。第1講數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介經(jīng)數(shù)據(jù)處理得

a=2.50×10-6,b=1.44×10-2。將之代入(1.8)式，即可得到t與n的關(guān)系式。模型應(yīng)用當(dāng)n=4580時(shí),