18.5.1分式方程及其解法第十八章

分式【2025新教材】人教版數(shù)學(xué)

八年級(jí)上冊(cè)

授課教師：********班級(jí)：********時(shí)間：********18.5.1分式方程及其解法一、教學(xué)目標(biāo)理解分式方程的定義，能準(zhǔn)確識(shí)別分式方程與整式方程，掌握分式方程的一般形式，明確分式方程中分母含有未知數(shù)這一關(guān)鍵特征。熟練掌握分式方程的解法，包括去分母將分式方程化為整式方程、解整式方程以及檢驗(yàn)根的有效性，理解增根產(chǎn)生的原因和檢驗(yàn)根的必要性，能夠正確求解各種類型的分式方程。通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題中的分式方程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力和應(yīng)用意識(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際生活中的廣泛應(yīng)用，增強(qiáng)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，同時(shí)培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維和認(rèn)真細(xì)致的學(xué)習(xí)態(tài)度。二、知識(shí)回顧整式方程的概念與解法：回顧整式方程的定義，如一元一次方程\(ax+b=0\)（\(a\neq0\)）、一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）等，它們的分母中不含有未知數(shù)。復(fù)習(xí)一元一次方程的解法步驟：去分母（若有分母）、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為\(1\)，為對(duì)比學(xué)習(xí)分式方程的解法做鋪墊。分式的基本性質(zhì)與運(yùn)算：簡(jiǎn)單回顧分式的基本性質(zhì)，即分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于\(0\)的整式，分式的值不變；以及分式的加減乘除運(yùn)算法則，如同分母分式加減、異分母分式通分、分式乘除的計(jì)算方法等，這些知識(shí)在分式方程的求解過(guò)程中會(huì)經(jīng)常用到。三、分式方程的概念實(shí)際問(wèn)題引入：?jiǎn)栴}1：一艘輪船在靜水中的最大航速為\(30km/h\)，它以最大航速沿江順流航行\(zhòng)(90km\)所用時(shí)間，與以最大航速逆流航行\(zhòng)(60km\)所用時(shí)間相等，江水的流速為多少？設(shè)江水的流速為\(xkm/h\)，根據(jù)時(shí)間=路程

÷

速度，可得到順流航行時(shí)間為\(\frac{90}{30+x}\)，逆流航行時(shí)間為\(\frac{60}{30-x}\)，因?yàn)閮烧邥r(shí)間相等，所以列出方程\(\frac{90}{30+x}=\frac{60}{30-x}\)。問(wèn)題2：甲、乙兩人做某種機(jī)器零件，已知甲每小時(shí)比乙多做\(6\)個(gè)，甲做\(90\)個(gè)零件所用的時(shí)間和乙做\(60\)個(gè)零件所用時(shí)間相等，求甲、乙每小時(shí)各做多少個(gè)零件？設(shè)乙每小時(shí)做\(x\)個(gè)零件，則甲每小時(shí)做\((x+6)\)個(gè)零件，根據(jù)時(shí)間相等可列方程\(\frac{90}{x+6}=\frac{60}{x}\)。定義得出：分母里含有未知數(shù)或含有未知數(shù)整式的有理方程叫做分式方程。上述兩個(gè)方程\(\frac{90}{30+x}=\frac{60}{30-x}\)和\(\frac{90}{x+6}=\frac{60}{x}\)都屬于分式方程，其特點(diǎn)是分母中含有未知數(shù)。四、分式方程的解法基本思路：解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體方法是通過(guò)去分母，在方程兩邊同時(shí)乘以各分母的最簡(jiǎn)公分母，消除分母，將其轉(zhuǎn)化為熟悉的整式方程進(jìn)行求解

。求解步驟：去分母：找出分式方程中各分母的最簡(jiǎn)公分母，方程兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母，將分式方程化為整式方程。例如對(duì)于方程\(\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x}\)，分母\(x-1\)和\(x\)的最簡(jiǎn)公分母是\(x(x-1)\)，方程兩邊同時(shí)乘以\(x(x-1)\)得到\(x=2(x-1)\)。解整式方程：按照整式方程的解法，如去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為\(1\)等步驟求解整式方程。對(duì)于\(x=2(x-1)\)，去括號(hào)得\(x=2x-2\)，移項(xiàng)得\(2x-x=2\)，解得\(x=2\)。檢驗(yàn)根的有效性：將求得的整式方程的根代入原分式方程的分母中進(jìn)行檢驗(yàn)。若分母不為\(0\)，則該根是原分式方程的根；若分母為\(0\)，則該根是增根，原分式方程無(wú)解。把\(x=2\)代入原方程\(\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x}\)的分母\(x-1=2-1=1\neq0\)，\(x=2\neq0\)，所以\(x=2\)是原分式方程的根。增根產(chǎn)生的原因：在去分母的過(guò)程中，方程兩邊同時(shí)乘以的最簡(jiǎn)公分母是一個(gè)含有未知數(shù)的式子，當(dāng)這個(gè)式子的值為\(0\)時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生增根。因?yàn)榇藭r(shí)去分母的操作不符合等式的基本性質(zhì)（等式兩邊不能同時(shí)乘以\(0\)），導(dǎo)致整式方程的解可能不是原分式方程的解

。五、典型例題精講例1解方程\(\frac{3}{x-2}=\frac{2}{x}\)分析：先確定最簡(jiǎn)公分母為\(x(x-2)\)，然后方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母化為整式方程，再求解并檢驗(yàn)。解答：方程兩邊同時(shí)乘以\(x(x-2)\)得：\(3x=2(x-2)\)去括號(hào)：\(3x=2x-4\)移項(xiàng)：\(3x-2x=-4\)解得：\(x=-4\)檢驗(yàn)：當(dāng)\(x=-4\)時(shí)，\(x(x-2)=-4??(-4-2)=24\neq0\)所以\(x=-4\)是原分式方程的根。例2解方程\(\frac{1}{x+1}+\frac{2}{x-1}=\frac{4}{x^2-1}\)分析：先對(duì)分母\(x^2-1\)因式分解為\((x+1)(x-1)\)，則最簡(jiǎn)公分母是\((x+1)(x-1)\)，去分母化為整式方程求解，最后檢驗(yàn)。解答：方程兩邊同時(shí)乘以\((x+1)(x-1)\)得：\((x-1)+2(x+1)=4\)去括號(hào)：\(x-1+2x+2=4\)移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)：\(3x=3\)解得：\(x=1\)檢驗(yàn)：當(dāng)\(x=1\)時(shí)，\((x+1)(x-1)=(1+1)??(1-1)=0\)所以\(x=1\)是增根，原分式方程無(wú)解。例3解方程\(\frac{x}{x-1}-1=\frac{3}{(x-1)(x+2)}\)分析：最簡(jiǎn)公分母為\((x-1)(x+2)\)，去分母后求解整式方程并檢驗(yàn)。解答：方程兩邊同時(shí)乘以\((x-1)(x+2)\)得：\(x(x+2)-(x-1)(x+2)=3\)去括號(hào)：\(x^2+2x-(x^2+2x-x-2)=3\)\(x^2+2x-x^2-x+2=3\)移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)：\(x=1\)檢驗(yàn)：當(dāng)\(x=1\)時(shí)，\((x-1)(x+2)=(1-1)??(1+2)=0\)所以\(x=1\)是增根，原分式方程無(wú)解。六、課堂練習(xí)基礎(chǔ)練習(xí)：解方程\(\frac{2}{x}=\frac{3}{x+1}\)，答案：\(x=2\)。解方程\(\frac{1}{x-3}=\frac{2}{x}\)，答案：\(x=6\)。解方程\(\frac{3}{x+2}+\frac{1}{x-2}=\frac{6}{x^2-4}\)，答案：無(wú)解（\(x=2\)是增根）。提高練習(xí)：解方程\(\frac{x}{x-2}-\frac{8}{x^2-4}=1\)，答案：無(wú)解（\(x=2\)是增根）。解方程\(\frac{2x}{x-2}=1-\frac{1}{2-x}\)，答案：\(x=-1\)。拓展練習(xí)：若關(guān)于\(x\)的分式方程\(\frac{2}{x-2}+\frac{mx}{x^2-4}=\frac{3}{x+2}\)有增根，求\(m\)的值。（答案：\(m=-4\)或\(m=6\)）已知關(guān)于\(x\)的分式方程\(\frac{a}{x-1}+\frac{1}{1-x}=1\)的解為正數(shù)，求\(a\)的取值范圍。（答案：\(a>2\)且\(a\neq3\)）七、易錯(cuò)點(diǎn)總結(jié)與規(guī)避去分母錯(cuò)誤：在找最簡(jiǎn)公分母時(shí)出錯(cuò)，沒(méi)有準(zhǔn)確對(duì)分母進(jìn)行因式分解或遺漏某些因式；或者在方程兩邊乘以最簡(jiǎn)公分母時(shí)，出現(xiàn)漏乘某些項(xiàng)的情況。找最簡(jiǎn)公分母時(shí)要仔細(xì)對(duì)分母進(jìn)行分析，去分母過(guò)程中可以將各項(xiàng)依次乘以最簡(jiǎn)公分母，避免漏乘。解整式方程出錯(cuò)：在解整式方程的過(guò)程中，如去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為\(1\)等步驟出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤。每一步計(jì)算都要認(rèn)真仔細(xì)，做完后可以進(jìn)行簡(jiǎn)單的驗(yàn)算。忽略檢驗(yàn)：忘記對(duì)求得的根進(jìn)行檢驗(yàn)，導(dǎo)致把增根當(dāng)成原分式方程的根。解分式方程時(shí)，檢驗(yàn)是必不可少的步驟，要養(yǎng)成檢驗(yàn)的習(xí)慣，將根代入原方程分母逐一檢查。增根分析錯(cuò)誤：不能正確分析增根產(chǎn)生的原因，在已知增根求參數(shù)值時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤。要理解增根是使分母為\(0\)的值，將增根代入去分母后的整式方程中，求解參數(shù)。八、課堂小結(jié)概念總結(jié)：明確分式方程的定義，區(qū)分分式方程與整式方程的關(guān)鍵在于分母是否含有未知數(shù)。解法要點(diǎn)：掌握解分式方程的步驟，即去分母化為整式方程、解整式方程、檢驗(yàn)根的有效性，牢記增根產(chǎn)生的原因和檢驗(yàn)的必要性。應(yīng)用價(jià)值：分式方程在解決實(shí)際問(wèn)題中有著廣泛應(yīng)用，通過(guò)建立分式方程模型，可以解決行程、工程、生產(chǎn)等領(lǐng)域的實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系。九、課后作業(yè)完成教材課后相關(guān)習(xí)題，鞏固分式方程的解法和檢驗(yàn)方法。拓展作業(yè)：某車間加工\(1200\)個(gè)零件后，采用了新工藝，工效是原來(lái)的\(1.5\)倍，這樣加工同樣多的零件就少用\(10h\)。采用新工藝前、后每小時(shí)分別加工多少個(gè)零件？（列分式方程求解）閱讀相關(guān)數(shù)學(xué)資料，了解分式方程在其他學(xué)科領(lǐng)域（如物理、化學(xué)等）的應(yīng)用實(shí)例，并整理成一篇小文章，闡述分式方程在這些應(yīng)用中的作用和意義。這份課件圍繞分式方程及其解法展開(kāi)，全面覆蓋知識(shí)要點(diǎn)與應(yīng)用。若你覺(jué)得例題難度、練習(xí)數(shù)量需調(diào)整，或想補(bǔ)充其他內(nèi)容，歡迎隨時(shí)告訴我，我會(huì)進(jìn)一步優(yōu)化。5課堂檢測(cè)4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解學(xué)習(xí)目標(biāo)理解分式方程的意義，掌握解分式方程的一般方法和步驟.理解解分式方程時(shí)可能無(wú)解的原因，并掌握解分式方程中驗(yàn)根的方法.情境導(dǎo)入一艘輪船在靜水中的最大航速為30km/h，它以最大航速沿江順流航行90km所用的時(shí)間，與以最大航速逆流航行60km所用的時(shí)間相等，江水的流速為多少？等量關(guān)系v順流

=v靜水

+

v水流v逆流

=v靜水

–

v水流如果設(shè)江水的流速為

vkm/h：速度(km/h)路程(km)時(shí)間(h)等量關(guān)系式順流逆流30+v30–

v9060仔細(xì)觀察這個(gè)方程，其未知數(shù)的位置有什么特點(diǎn)？知識(shí)點(diǎn)1分式方程的概念探究新知分母中含未知數(shù)的方程叫作分式方程.這些方程有什么共同特征？*我們以前學(xué)習(xí)的方程都是整式方程，它們的未知數(shù)不在分母中.（1）是方程——含有未知數(shù)的等式；（2）是分式——分母中含有未知數(shù).提煉分式方程必須滿足的條件：練習(xí)下列式子中，屬于分式方程的是________，屬于整式方程的是________(填序號(hào)).②⑤⑦①④知識(shí)點(diǎn)2分式方程的解法如何解方程？思考（1）如何把它轉(zhuǎn)化為整式方程？（2）怎樣去分母？（3）在方程兩邊乘什么樣的式子才能把每一個(gè)分母都約去？（4）這樣做的依據(jù)是什么？解分式方程最關(guān)鍵的問(wèn)題是什么？整式方程轉(zhuǎn)化各個(gè)分母的最簡(jiǎn)公分母等式的性質(zhì)2去分母方程兩邊同乘各分母的最簡(jiǎn)公分母：(30+v)(30–v)得解得

v=6檢驗(yàn)：將

v=6代入原方程中，左邊=2.5=右邊，因此v=6是原方程的解.90(30–v)=60(30+v)解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是“去分母”，即方程兩邊乘最簡(jiǎn)公分母，這也是解分式方程的一般方法.結(jié)小納歸練習(xí)解下列方程：【教材P166練習(xí)第(1)(2)題】最簡(jiǎn)公分母：x(x–2)解：去分母，得解得

x=–5檢驗(yàn)：將

x=–5代入原方程中，左邊=–1=右邊，因此x=–5

是原方程的解.5(x–2)=7x最簡(jiǎn)公分母：(x+3)(x–1)解：去分母，得解得

x=5檢驗(yàn)：將

x=5代入原方程中，左邊=0.25=右邊，因此x=5

是原方程的解.2(x–1)=x+3解：在方程兩邊乘最簡(jiǎn)公分母_____________，去分母，得x+5=10解得x=5(x–5)(x+5)x=5是①的解嗎？檢驗(yàn)：將x=5代入①，分母x–5和x2–25的值都為0，相應(yīng)的分式無(wú)意義.因此x=5雖然是整式方程②的解，但不是分式方程①的解.此分式方程無(wú)解.運(yùn)用“去分母化為整式方程”的方法解方程探究①②比較解上面兩個(gè)分式方程的過(guò)程，為什么分式方程①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而分式方程②去分母后所得整式方程的解卻不是②的解呢？思考最簡(jiǎn)公分母解結(jié)論(x–5)(x+5)(30+v)(30–v)x=5v=6所得整式方程的解不是②的解所得整式方程的解與①的解相同回代結(jié)果≠0回代結(jié)果=0x=5是分式方程的增根一般地，解分式方程時(shí)，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母為0，因此應(yīng)做如下檢驗(yàn):歸納將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個(gè)解不是原分式方程的解.解：方程兩邊乘x(x–3)，得2x=3x–9解得

x=9檢驗(yàn)：當(dāng)x=9時(shí)，x(x–3)≠0，所以，原分式方程的解為x=9.例1

解方程例2

解方程解：方程兩邊乘(x–1)(x+2)，得x(x+2)–(x–1)(x+2)=3解得

x=1檢驗(yàn)：當(dāng)x=1時(shí)，(x–1)(x+2)=0所以，原分式方程無(wú)解.因此，x=1不是原分式方程的解.分式方程去分母整式方程解整式方程x=m檢驗(yàn)x=m

是分式方程的解歸納x=m

不是分式方程的解最簡(jiǎn)公分母不為0最簡(jiǎn)公分母為0目標(biāo)解分式方程的一般過(guò)程：練習(xí)解下列方程：【教材P166練習(xí)第(3)~(6)題】解：方程兩邊乘2x(x+3)，得x+3=4x解得

x=1檢驗(yàn)：當(dāng)x=1時(shí)，

2x(x+3)≠0，所以，原分式方程的解為x=1.解：方程兩邊乘3(x+1)，得3x=2x+3x+3解得

x=檢驗(yàn)：當(dāng)x=時(shí)，

3(x+1)≠0，所以，原分式方程的解為x=.解：方程兩邊乘(x–1)(x+1)，得2(x+1)=4解得

x=1檢驗(yàn)：當(dāng)x=1時(shí)，

(x–1)(x+1)=

0，所以，原分式方程無(wú)解.解：方程兩邊乘x(x–1)(x+1)，得5(x–1)–(x+1)=0解得

x=檢驗(yàn)：當(dāng)x=時(shí)，

x(x–1)(x+1)≠0，所以，原分式方程的解為x=.隨堂練習(xí)1.定義一種新的運(yùn)算，對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)x，y，若x@(x–1)=1，則x=____.解析：解得：檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，x(x–1)≠0.2.已知關(guān)于x的方程的解為負(fù)數(shù)，則a

的取值范圍是_____________.解析：方程兩邊乘x(x+1)，得x+1+x

=x+a