專題07.有理數(shù)的乘方預(yù)習目標……………………………..1新課輕松學…………………………..2新知速通……………………………..3題型探究……………………………..4TOC\o"13"\h\z\u題型1、有理數(shù)乘方的概念 4題型2、有理數(shù)乘方的運算 5題型3、乘方運算的符號規(guī)律 7題型4、有理數(shù)乘方的逆運算（簡算） 8題型5、偶次方的非負性的運用 9題型6、用科學記數(shù)法表示大于1的數(shù) 10題型7、用科學記數(shù)法表示大于1的數(shù)（含計算） 11題型8、將用科學記數(shù)法表示的數(shù)變回原數(shù) 12題型9、有理數(shù)乘方的實際應(yīng)用 12題型10、有理數(shù)乘方的新定義問題 15基礎(chǔ)通關(guān) 18拓展提優(yōu) 231.理解并掌握有理數(shù)的乘方，冪，底數(shù)，指數(shù)的概念及意義；2.會求有理數(shù)的正整數(shù)指數(shù)冪；3.理解科學記數(shù)法的的概念；會用科學記數(shù)法表示較大的數(shù)；能將用科學記數(shù)法表示的數(shù)變回原數(shù)；4.感受發(fā)現(xiàn)問題的過程中體會到從特殊到一般的思考方法，從而增進學好數(shù)學的自信心；體會科學記數(shù)法帶來的優(yōu)越性，感受數(shù)學中化繁為簡的思想方法?！舅伎?】手工拉面是我國的傳統(tǒng)面食，制作時，拉面師傅將一團和好的面，揉搓成1根長條后，手握兩端用力拉長，然后將長條對折，再拉長，再對折（每次對折稱為一扣），如此反復(fù)操作，連續(xù)拉扣若干次后，便成了許多細細|的面條。你能算出拉扣7次后共有多少根面條嗎？【材料1】2025年初國家金融監(jiān)督管理總局發(fā)布的數(shù)據(jù)顯示，截至2024年末，我國保險業(yè)總資產(chǎn)35.9萬億元，凈資產(chǎn)3.32萬億元。中國作為全球第二大保險市場，保費規(guī)模已突破5萬億元，但保險密度(人均保費)與發(fā)達國家仍存在差距。在賠付方面，2024年我國保險業(yè)原保險賠付支出2.3萬億元，其中財產(chǎn)險9810億元、人身險1.32萬億元?！静牧?】宇宙直徑有多大？宇宙有多少歲？最新的研究認為宇宙的直徑為1560億光年，甚至更大。目前可觀測的宇宙年齡大約為138億年。35.9萬億元=35900000000000元；3.32萬億元=3320000000000元；5萬億元=5000000000000元；1560億光年=156000000000光年；138億年=年?！舅伎?】像上述兩個材料中出現(xiàn)了一些大數(shù)，大家感覺它們的讀和寫是否比較麻煩，容易出錯呢？大家有沒有比較合適的方法來表示這些大數(shù)，使得這些大數(shù)易讀，易寫呢？【乘方的趣事】關(guān)于國際象棋的起源，有一個傳說：在古時候，在某個王國里有一位聰明的大臣，他發(fā)明了國際象棋，獻給了國王，國王從此迷上了下棋。為了對聰明的大臣表示感謝，國王答應(yīng)滿足這個大臣的一個要求。大臣說：“第1格放1粒小麥，第2格放2粒小麥，第3格放4粒小麥，然后是8粒、16粒、32?！?，一直到第64格……即每一個次序在后的格子中放的小麥都必須是前一個格子麥粒數(shù)目的兩倍，直到最后一個格子放滿為止”。國王哈哈大笑，慷慨地答應(yīng)了大臣的要求。然而，國王最終發(fā)現(xiàn)，按照與大臣的約定，全印度的麥子竟然連棋盤一小半格子數(shù)目都不夠。大臣索要的麥粒數(shù)目實際上是天文數(shù)字，總數(shù)將是一個十九位數(shù)，折算重量約為2000多億噸，即使現(xiàn)代，全球小麥的年產(chǎn)量也不過是數(shù)億噸?！究茖W記數(shù)法的發(fā)展歷程】科學記數(shù)法最早可以追溯到古希臘數(shù)學家阿基米德的時代，阿基米德在他的著作《論球和圓柱》中首次使用了科學記數(shù)法來表示非常小的數(shù)。后來,隨著科學技術(shù)的發(fā)展和人類對自然界認識的深入，科學記數(shù)法逐漸被廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域。特別是在計算機出現(xiàn)之后，科學記數(shù)法成為了計算機內(nèi)部表示小數(shù)和浮點數(shù)的一種重要方式。隨著科技的不斷進步和人類對自然界認識的深入，未來科學計數(shù)法將會更加廣泛地應(yīng)用于各個領(lǐng)域。隨著大數(shù)據(jù)時代的到來，科學記數(shù)法可以更精確地表示和分析大規(guī)模數(shù)據(jù)。隨著人工智能的發(fā)展，科學記數(shù)法可以用于優(yōu)化算法和提高機器學習的效率;隨著量子計算等新興技術(shù)的出現(xiàn)和發(fā)展，科學記數(shù)法將會成為處理量子信息和模擬量子現(xiàn)象的重要工具之一。因此未來科學計數(shù)法將會不斷地發(fā)展和完善，為人類科技進步做出更大的貢獻。1.有理數(shù)的乘方乘方的概念：求相同因數(shù)的積的運算叫作乘方，相同因數(shù)叫作底數(shù)，相同因數(shù)的個數(shù)叫作指數(shù)，乘方運算的結(jié)果叫作冪。乘方運算本質(zhì)上是乘法運算，它是同一個因數(shù)連乘的簡便形式。個相同的乘數(shù)相乘，記作，讀作“的次方”；其中：叫做底數(shù)，叫做指數(shù)，叫做冪。2．整數(shù)指數(shù)冪的符號規(guī)律：1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；2）負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)，即“奇負偶正”；3）0的任何正整數(shù)次冪都是0。注意：①除0以外的任何數(shù)的“0次冪”結(jié)果為1；②乘方運算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表沒有；③在運算時要看清楚底數(shù)和指數(shù)到底是誰；④帶分數(shù)的乘方運算，一定要先化成假分數(shù)后再運算。注意：將計數(shù)單位改寫為具體的數(shù)，再根據(jù)科學計數(shù)法表示即可。如：1萬=10000；1億=100000000。題型1、有理數(shù)乘方的概念【解題技巧】個相同的乘數(shù)相乘，記作，讀作“的次方”；其中：叫做底數(shù)，叫做指數(shù)，叫做冪。表示的意義是4個2相乘的相反數(shù)，底數(shù)是2，指數(shù)是4，故答案為：4個相乘，，4；4個2相乘的相反數(shù)，2，4．例2．（2425七年級上·江蘇泰州·階段練習）下列說法正確的是（

）【答案】D【詳解】解：A、的底數(shù)是6，故A不正確，不符合題意；A．它們的底數(shù)相同，指數(shù)也相同B．它們的底數(shù)相同，但指數(shù)不相同C．它們所表示的意義相同，但運算結(jié)果不相同D．它們的底數(shù)不同，但運算結(jié)果相同【答案】D故它們的底數(shù)不同，指數(shù)相同，所表示的意義不同，但運算結(jié)果相同，所以，選項A、B、C說法錯誤，不符合題意，選項D說法正確，符合題意，故選：D．A．底數(shù)是B．指數(shù)是C．冪為D．表示個相加【答案】CA．7a B． C． D．【答案】D題型2、有理數(shù)乘方的運算【解題技巧】有理數(shù)乘方的運算：（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；（2）負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)；（3）0的任何正整數(shù)次冪都是0；（4）有理數(shù)的乘方運算與有理數(shù)的加減乘除運算一樣，首先應(yīng)確定冪的符號，然后再計算冪的絕對值?！敬鸢浮緽【答案】B變式2．（2425七年級上·江蘇常州·期中）下列計算正確的是（）【答案】D【答案】題型3、乘方運算的符號規(guī)律【解題技巧】乘方的符號規(guī)律：1）負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)，即“奇負偶正”；2）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；3）0的任何正整數(shù)次冪都是0。例1．（2024七年級上·江蘇·專題練習）如果一個有理數(shù)的奇次冪是正數(shù)，那么這個有理數(shù)（）A．一定是正數(shù)B．是正數(shù)或負數(shù)C．一定是負數(shù)D．可以是任意有理數(shù)【答案】A【詳解】解：∵正數(shù)的任何次冪是正數(shù)，負數(shù)的奇次冪數(shù)負數(shù)，0正整數(shù)次冪是0∴一個有理數(shù)的奇次冪是正數(shù)，這個數(shù)一定是正數(shù)．故選：A．A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④【答案】AA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】AA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】BA．當為偶數(shù)時，這兩個式子互為相反數(shù) B．這兩個式子是相等的C．當為奇數(shù)時，它們互為相反數(shù) D．為偶數(shù)時它們相等【答案】A題型4、有理數(shù)乘方的逆運算（簡算）【答案】DA．6 B．8 C． D．十分麻煩【答案】BA． B．1 C．0 D．2023【答案】B題型5、偶次方的非負性的運用【解題技巧】1）常見非負數(shù)：a≥0；a2≥0；2）根據(jù)非負性“若幾個非負數(shù)的和為0，則每一個非負數(shù)必為0”。【答案】1【答案】變式2．（2324七年級上·河南鄭州·階段練習）為有理數(shù)，下列說法中正確的是（）【答案】B題型6、用科學記數(shù)法表示大于1的數(shù)【解題技巧】科學記數(shù)法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數(shù)．注意：①科學記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)位數(shù)少1；按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)n；②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學記數(shù)法表示，實質(zhì)上絕對值大于10的負數(shù)同樣可用此法表示，只是前面多一個負號；③將計數(shù)單位改寫為具體的數(shù)，再根據(jù)科學計數(shù)法表示即可。如：1萬=10000；1億=100000000?！敬鸢浮緾變式1．（2425九年級下·江蘇南通·階段練習）深圳圖書館北館是深圳首批建設(shè)并完工的新時代重大文化設(shè)施，其建筑面積約萬平方米，設(shè)計藏書量800萬冊．其中800萬用科學記數(shù)法表示為（）【答案】C變式2．（2025·廣東云浮·一模）人民日報等媒體2月28日消息，電影《哪吒之魔童鬧海2》票房已破140億，成為亞洲首部票房過百億影片，帶動了相關(guān)文旅產(chǎn)業(yè)和衍生品市場發(fā)展，其中140億用科學記數(shù)法表示為（

）【答案】B題型7、用科學記數(shù)法表示大于1的數(shù)（含計算）【解題技巧】此類問題需先計算出所需科學記數(shù)法表示的原始數(shù)據(jù)，再根據(jù)題型1中的方法求解即可。例1．（2324七年級上·山西·期中）獻禮新中國成立周年的影片《我和我的祖國》，不僅彰顯了中華民族的文化自信，也激發(fā)了觀眾強烈的愛國情懷與觀影熱情．據(jù)某網(wǎng)站統(tǒng)計，國慶期間，此部電影票房收入約億元，平均每張票約元，估計觀影人次約為（用科學記數(shù)法表示）（

）【答案】B【答案】B【答案】AA．噸 B．160000000噸 C．噸 D．噸【答案】C題型8、將用科學記數(shù)法表示的數(shù)變回原數(shù)A．312 B．31200 C．D．312000000【答案】C【答案】C【答案】18題型9、有理數(shù)乘方的實際應(yīng)用【解題技巧】此類題型的難點在于分析問題，建立乘方的數(shù)學模型?；静襟E為：首先從特殊情形入手，逐步分析、歸納，找出變化規(guī)律；然后根據(jù)規(guī)律寫出乘方數(shù)學模型；最后根據(jù)題干要求計算結(jié)果。例1．（2425七年級上·河北保定·期中）如圖是草履蟲的細胞分裂示意圖，這種細胞每過30分鐘便由1個分裂成2個，根據(jù)此規(guī)律，請問一個草履蟲8個小時后可分裂為（

）A．16個 B．個 C．8個 D．個【答案】B【詳解】解：根據(jù)題意，一個細胞第1個30分鐘分裂成2個，即個細胞；第2個30分鐘分裂成4個，即個；…依此類推，第個30分鐘分裂為個細胞；A．3 B．5 C．7 D．9【答案】BA．次 B．次 C．次 D．次【答案】A至少對折次后，它的厚度超過珠穆朗瑪峰高度．故選：A．變式2．（2324七年級上·安徽安慶·期末）分形幾何在大自然中隨處可見．如圖，從長度為1的線段開始，取走其中間三分之一達到第一階段，然后從每一條余下的線段中再各取走其中間三分之一達到第二階段，無限地重復(fù)這一過程，余下的無窮點集稱做康托爾分形集，上圖是其最初幾個階段，當達到第個階段時，被取走的所有線段的長度之和為（

）【答案】D【詳解】解：根據(jù)題意知：第一階段時，余下的線段的長度為，變式3．（2324七年級上·江蘇揚州·期中）《莊子》中記載：“一尺之捶，日取其半，萬世不竭．”這句話的意思是一尺長的木棍，每天截取它的一半，永遠也截不完．若按此方式截一根長為64米的木棍，第5天截取后木棍剩余的長度是米．【答案】2題型10、有理數(shù)乘方的新定義問題【解題技巧】“新定義”型問題是指在問題中定義了初中數(shù)學中沒有學過的一些概念、新運算、新符號，要求學生讀懂題意并結(jié)合已有知識進行理解，而后根據(jù)新定義進行運算、推理、遷移的一種題型.它一般分為三種類型：（1）定義新運算；（2）定義初、高中知識銜接“新知識”;（3）定義新概念.這類試題考查考生對“新定義”的理解和認識，以及靈活運用知識的能力，解題時需要將“新定義”的知識與已學知識聯(lián)系起來，利用已有的知識經(jīng)驗來解決問題.A． B．2 C．1 D．4【答案】A【答案】(1)(2)(3)互為相反數(shù)，理由見解析變式1．（2425·廣東·七年級?？计谥校┒x一種對正整數(shù)n的“F運算”：①當n為奇數(shù)時，結(jié)果為3n＋5；②當n為偶數(shù)時，結(jié)果為（其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運算重復(fù)進行．例如，取n＝26，則：若n＝449，則第2020次“F運算”的結(jié)果是______．【答案】1依次為與的循環(huán)，當計算次數(shù)為奇數(shù)時，結(jié)果為8；當計算次數(shù)為偶數(shù)時，結(jié)果為1，∴第2020次“F運算”的結(jié)果是1．故答案為：1．(2)下列關(guān)于除方說法中，不正確的是（

）．A．任何非零數(shù)的圈2次方都等于1；

B．任何非零數(shù)的圈3次方都等于它的倒數(shù)；【答案】(1)1，(2)D(3)12【答案】C2．（2425七年級上·江蘇南京·期末）的值是（）A． B．49 C． D．14【答案】AA．1 B． C． D．2023【答案】AA．數(shù)學課本的厚度 B．成人的手掌寬度 C．課桌的高度 D．一層樓的高度【答案】BA．8 B．7 C．6 D．5【答案】D6．（2324七年級上·江蘇蘇州·期中）在課外興趣小組活動中，小明對制作的行走機器人進行5分鐘行走測試．若機器人第1分鐘行走，從第2分鐘起每分鐘的行走路程是前一分鐘的2倍，則機器人在第5分鐘行走的路程是（

）【答案】BA． B． C． D．【答案】A【詳解】解：（）最大的負整數(shù)是，該選項說法錯誤；（）數(shù)軸原點兩旁且絕對值相等的兩個數(shù)互為相反數(shù)，該選項說法錯誤；（）如果兩個不為的數(shù)互為相反數(shù)，那么它們的商為，該選項說法錯誤；∴正確的說法只有個，故選：．8．（2025·河北保定·一模）截至2024年8月28日，電影《抓娃娃》票房突破32.26億元，下列說法正確的是（

）C．它是一個8位數(shù)D．它是一個9位數(shù)【答案】B9．（2324七年級上·河北邢臺·期末）甲、乙、丙、丁4位同學，學了有理數(shù)的乘方之后，發(fā)表了以下見解，觀點正確的有（

）A．0個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【詳解】解：①甲：是5個2相乘；，故甲計算錯誤；【答案】【答案】【答案】5或或13．（2425七年級上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習）看過西游記的同學都知道：孫悟空會分身術(shù)，他搖身一變就變成了2個孫悟空；這兩個孫悟空搖身一變，共變成4個孫悟空；這4個悟空再變，又變成8個悟空……；假設(shè)悟空一連變了31次，那么會有個孫悟空．【答案】【詳解】解：由題意得，變了31次共有個孫悟空．故答案為：．14．（2025·江蘇泰州·二模）2025年一季度泰興市實現(xiàn)地區(qū)生產(chǎn)總值約377億元，總量泰州第一，將377億用科學記數(shù)法表示為．【答案】16．（2425七年級下·江蘇宿遷·階段練習）用“＞”或“＜”號填空：．【答案】17．（2425七年級上·江蘇揚州·階段練習）當把一張紙對折1次時，紙的層數(shù)為2；對折2次時，紙的層數(shù)為4，照這樣折下去：(1)當你將紙對折5次時，其層數(shù)是________；對折6次時，其層數(shù)是________．【答案】(1)32，64(2)對折6次紙的總厚度為6.4mm18．（2324七年級上·浙江金華·階段練習）紅紅有5張寫著以下數(shù)字的卡片，請你按要求抽出卡片，完成下列各問題：(1)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字乘積最大，最大值是________(2)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字相除的商最小，最小值是________(3)從中取出除0以外的其他4張卡片，將這4個數(shù)字進行加、減、乘、除或乘方等混合運算，使運算結(jié)果為24（注：每個數(shù)字只能用一次，請寫出兩種符合要求的運算式子：________________________________

________________________________19．（2324七年級上·廣東·期中）一粒米微不足道，平時總會在飯桌上毫不經(jīng)意地掉下幾粒，甚至有些挑食的同學會把整碗米飯倒掉．針對這種浪費糧食現(xiàn)象，老師組織同學們進行了實際測算，稱得500粒大米約重10克．現(xiàn)在請你來計算：(1)一粒大米重約多少克？(2)按14億人口，每年365天，每人每天三餐計算，若每人每餐節(jié)約一粒大米，一年大約能節(jié)約大米多少千克？（用科學記數(shù)法表示）；(3)若我們把一年節(jié)約的大米賣成錢，按4元/千克計算，可賣得人民幣多少元？（用科學記數(shù)法表示）；(