2.3.3有理數(shù)的除法第二章

有理數(shù)及其運算【2025新教材】北師大版數(shù)學

七年級上冊

授課教師：********班級：********時間：********2.3.3有理數(shù)的除法一、復習導入同學們，上節(jié)課我們深入學習了有理數(shù)乘法的運算律，包括交換律\(a??b=b??a\)、結(jié)合律\((a??b)??c=a??(b??c)\)和分配律\(a??(b+c)=a??b+a??c\)，利用這些運算律能讓乘法運算更簡便。同時，我們也掌握了有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；任何數(shù)與\(0\)相乘都得\(0\)。那如果已知兩個數(shù)的乘積和其中一個因數(shù)，如何求另一個因數(shù)呢？這就需要我們學習有理數(shù)的除法了，今天我們就來探究2.3.3有理數(shù)的除法。二、有理數(shù)除法的意義（一）實際問題引入提出問題：小明有\(zhòng)(12\)顆糖果，要平均分給\(3\)個小朋友，每個小朋友能得到幾顆糖果？這是我們熟悉的整數(shù)除法問題，列式為\(12?·3=4\)，表示把\(12\)平均分成\(3\)份，每份是\(4\)。延伸到有理數(shù)：如果小明欠別人\(12\)元錢，記為\(-12\)元，他打算分\(3\)天還清，那么每天要還多少錢？此時就需要用有理數(shù)除法來解決，列式為\((-12)?·3\)，我們要思考如何計算這個式子的結(jié)果

。（二）與乘法的關(guān)系回顧除法是乘法的逆運算：在小學我們就知道，因為\(3??4=12\)，所以\(12?·3=4\)。同樣，對于有理數(shù)，因為\((-3)??(-4)=12\)，那么\(12?·(-3)=-4\)。通過多個例子，如\(2??(-5)=-10\)，則\((-10)?·2=-5\)；\((-2)??5=-10\)，則\((-10)?·(-2)=5\)，讓學生理解有理數(shù)除法與乘法的互逆關(guān)系

?？偨Y(jié)：已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算，叫做除法。除法是乘法的逆運算，這一關(guān)系在有理數(shù)范圍內(nèi)同樣適用

。三、有理數(shù)除法法則（一）法則推導觀察例子：由\((-12)?·3=-4\)，而\((-12)??\frac{1}{3}=-4\)，可以發(fā)現(xiàn)\((-12)?·3=(-12)??\frac{1}{3}\)。由\(15?·(-5)=-3\)，且\(15??(-\frac{1}{5})=-3\)，可知\(15?·(-5)=15??(-\frac{1}{5})\)?？偨Y(jié)法則：除以一個不等于\(0\)的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。用字母表示為\(a?·b=a??\frac{1}(ba?

0)\)。強調(diào)除數(shù)不能為\(0\)，因為\(0\)沒有倒數(shù)，且在除法運算中，\(0\)作除數(shù)沒有意義

。結(jié)合有理數(shù)乘法法則，進一步得出：兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。\(0\)除以任何一個不等于\(0\)的數(shù)，都得\(0\)。例如\((-18)?·(-6)\)，同號得正，絕對值相除\(18?·6=3\)，所以結(jié)果是\(3\)；\(0?·(-5)=0\)。（二）應(yīng)用舉例例題1：計算\((-24)?·4\)\((-15)?·(-3)\)\(0?·(-7)\)解：\((-24)?·4\)，異號得負，絕對值相除\(24?·4=6\)，所以結(jié)果為\(-6\)。\((-15)?·(-3)\)，同號得正，絕對值相除\(15?·3=5\)，結(jié)果是\(5\)。\(0?·(-7)=0\)。四、有理數(shù)的乘除混合運算（一）運算順序有理數(shù)的乘除混合運算，按照從左到右的順序進行計算

。例如計算\(12?·(-3)??2\)，先算\(12?·(-3)=-4\)，再算\((-4)??2=-8\)。當式子中有括號時，先算括號里面的

。如計算\((-12)?·[(-3)??2]\)，先算括號內(nèi)\((-3)??2=-6\)，再算\((-12)?·(-6)=2\)。（二）轉(zhuǎn)化為乘法運算在進行乘除混合運算時，根據(jù)除法法則，將除法運算轉(zhuǎn)化為乘法運算，再利用乘法運算律進行簡便計算

。例如計算\((-8)?·\frac{4}{5}??(-\frac{3}{4})\)，轉(zhuǎn)化為乘法為\((-8)??\frac{5}{4}??(-\frac{3}{4})\)，利用乘法交換律和結(jié)合律，先算\((-8)??(-\frac{3}{4})=6\)，再算\(6??\frac{5}{4}=\frac{15}{2}\)。（三）典型例題例題2：計算\((-2)??(-3)?·(-6)\)解：按照從左到右的順序，先算\((-2)??(-3)=6\)，再算\(6?·(-6)=-1\)。例題3：計算\(18?·(-3)??(-\frac{1}{6})?·\frac{2}{3}\)解：將除法轉(zhuǎn)化為乘法，式子變?yōu)閈(18??(-\frac{1}{3})??(-\frac{1}{6})??\frac{3}{2}\)。利用乘法交換律和結(jié)合律，\([18??(-\frac{1}{6})]??[(-\frac{1}{3})??\frac{3}{2}]=-3??(-\frac{1}{2})=\frac{3}{2}\)。五、課堂練習填空題\((-16)?·4=\)______。\((-25)?·(-5)=\)______。\(0?·(-9)=\)______。若\(a?·b=3\)，則\(a??\frac{1}=\)______。選擇題計算\((-12)?·(-3)\)的結(jié)果是（

）A.\(4\)B.\(-4\)C.\(36\)D.\(-36\)下列運算正確的是（

）A.\(-5?·(-2)??\frac{1}{2}=-5?·(-1)=5\)B.\(-1?·(-5)??(-\frac{1}{5})=-1?·1=-1\)C.\(-\frac{1}{3}?·(-3)??(-\frac{1}{3})=-\frac{1}{3}??(-\frac{1}{3})??(-\frac{1}{3})=-\frac{1}{27}\)D.\(1?·(-4)??(-\frac{1}{4})=1?·1=1\)解答題計算\((-36)?·(-4)?·(-3)\)。計算\((-2)?·\frac{1}{5}??(-5)\)。計算\((-\frac{3}{4})?·(-6)??(-\frac{8}{9})\)。六、課堂小結(jié)回顧有理數(shù)除法的意義，明確除法是乘法的逆運算，以及有理數(shù)除法法則：除以一個不等于\(0\)的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)；兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除；\(0\)除以任何一個不等于\(0\)的數(shù)，都得\(0\)。總結(jié)有理數(shù)乘除混合運算的順序和方法，要按照從左到右的順序進行計算，有括號先算括號里的，并且可以將除法轉(zhuǎn)化為乘法，利用乘法運算律簡化計算

。提醒學生在進行有理數(shù)除法運算時，要特別注意除數(shù)不能為\(0\)，以及符號的處理，避免出現(xiàn)錯誤

。七、課后作業(yè)完成課本上對應(yīng)本節(jié)內(nèi)容的練習題，鞏固有理數(shù)除法運算及乘除混合運算的方法

。思考：在有理數(shù)乘除混合運算中，如何靈活運用運算律使計算更簡便？舉例說明你的方法

。尋找生活中一個可以用有理數(shù)除法解決的實際問題，詳細記錄問題和解答過程，下節(jié)課與同學分享

。這份課件圍繞有理數(shù)除法展開，幫助學生掌握相關(guān)知識和運算方法。如果你對課件的內(nèi)容編排、例題難度等方面有不同想法，歡迎隨時溝通。5課堂檢測4新知講解6變式訓練7中考考法8小結(jié)梳理學習目錄1復習引入2新知講解3典例講解1．通過理解有理數(shù)除法的法則，體會除法與乘法的關(guān)系，會進行有理數(shù)的除法運算。2．經(jīng)歷有理數(shù)除法法則的探索過程，讓學生可以準確地進行除法計算，培養(yǎng)學生轉(zhuǎn)化的思想。3．通過有理數(shù)除法法則的導出及運用，讓學生體會轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)學生運用數(shù)學思想提升數(shù)學思維的能力。重點難點1．有理數(shù)乘法法則。舊知回顧兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。任何數(shù)與0相乘，積仍為02．有理數(shù)乘法的運算律。乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法對加法的分配律回顧導入(-3)×4=-12()×4=-12(乘法算式)(-12)÷4=()

(除法算式)(-3)×4=-12(-12)÷4=-3除法是乘法的逆運算。？？探索新知有理數(shù)的除法法則(一)探究點1

利用有理數(shù)的乘法法則計算下列各式：問題1(-3)×6=______，

3×(-9)=______，(-2)×0=______。-185-270

根據(jù)“除法是乘法的逆運算”，計算下列各式：問題2(-18)÷6=______，

(-27)÷(-9)=______，0÷(-2)=______。-3-2530

觀察上面的算式及計算結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)？問題3兩個有理數(shù)相除，同號得____，異號得____，并把絕對值______。正負相除0除以任何一個非0的數(shù)都得_____。0注意：0不能作除數(shù)。有理數(shù)的除法法則（一）兩個有理數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。0除以任何一個非0的數(shù)都得0

。(注意：0不能作除數(shù)。)例1

計算：進行有理數(shù)的除法運算時，應(yīng)先確定商的符號，再確定商的絕對值。練一練【課本P54隨堂練習】計算：

在做除法運算時：先定符號，再算絕對值。若算式中有小數(shù)、帶分數(shù)，一般情況下先化成真分數(shù)和假分數(shù)。總結(jié)

學習了有理數(shù)的除法后，怎么求一個有理數(shù)的倒數(shù)？問題1有理數(shù)的除法法則(二)探究點2正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負數(shù)的倒數(shù)是負數(shù)，0沒有倒數(shù)。用1除以一個非0數(shù)，商就是這個數(shù)的倒數(shù)。

計算并比較下列各組數(shù)的計算結(jié)果，你能得到什么結(jié)論？問題2

=15互為倒數(shù)有理數(shù)的除法法則（二）除以一個的數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。用字母表示為這樣除法就統(tǒng)一成乘法了。例2

計算：解：解：

將除法轉(zhuǎn)化為乘法有什么好處？問題3將除法轉(zhuǎn)化為乘法后可以運用乘法的運算律進行簡便運算。有理數(shù)的乘除法與小學數(shù)學中的乘除法相比較，有哪些相同點和不同點?問題4數(shù)的范圍擴大了，增加了負數(shù)；運算法則在原有法則的基礎(chǔ)上補充了符號變化的法則。小學數(shù)學中的乘法的運算律全都適用于有理數(shù)的乘法；同級運算都是按照從左到右的順序進行；1.計算：02-5-62練一練【課本P55習題2.3第4題】2.求下列各數(shù)的倒數(shù)，并用“＜”把它們連接起來：【課本P56習題2.3第5題】例計算：

例計算：

=-1巧記：乘除混合有理數(shù)，統(tǒng)一為乘第一步，乘法“三律”能簡便，負因個數(shù)定正負。練一練

=2知識點1

有理數(shù)的除法法則（一）

-6

639-0.15

0

B

3.（12分）計算：

知識點2

一個數(shù)的倒數(shù)

D

5.（8分）求下列各數(shù)的倒數(shù)：

（2）1.2；

知識點3

有理數(shù)的除法法則（二）

B

C

8.（12分）計算：

9.如果兩個有理數(shù)的商是負數(shù)，和為0，那么這兩個有理數(shù)(

)DA.一個為0，另一個為正數(shù)

B.都為負數(shù)C.一個為0，另一個為負數(shù)