21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系第21章一元二次方程人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊【公開課精品課件】授課教師：********班級(jí)：********時(shí)間：********直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法。一元二次方程的求根公式：對于一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)），當(dāng)\(\Delta=b^2-4ac\geq0\)時(shí)，其求根公式為\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

。情境導(dǎo)入我們已經(jīng)學(xué)會(huì)多種方法求解一元二次方程，現(xiàn)在思考這樣一個(gè)問題：方程的根與方程各項(xiàng)系數(shù)之間是否存在某種規(guī)律呢？讓我們通過一些具體的方程來探索一下。探索根與系數(shù)的關(guān)系填寫表格|一元二次方程|兩根\(x_1\)，\(x_2\)|\(x_1+x_2\)|\(x_1x_2\)||---|---|---|---||\(x^2-5x+6=0\)|\(x_1=2\)，\(x_2=3\)|

\(2+3=5\)

|

\(2×3=6\)

||\(x^2+3x-4=0\)|\(x_1=1\)，\(x_2=-4\)|

\(1+(-4)=-3\)

|

\(1×(-4)=-4\)

||\(2x^2-3x+1=0\)|\(x_1=1\)，\(x_2=\frac{1}{2}\)|

\(1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)

|

\(1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)

|觀察發(fā)現(xiàn)通過觀察上述表格，我們發(fā)現(xiàn)：在一元二次方程\(x^2+px+q=0\)（二次項(xiàng)系數(shù)為1）中，兩根之和\(x_1+x_2=-p\)，兩根之積\(x_1x_2=q\)。推導(dǎo)一般形式下根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）對于一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)），當(dāng)\(\Delta=b^2-4ac\geq0\)時(shí)，根據(jù)求根公式可得方程的兩個(gè)根為\(x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)，\(x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

。計(jì)算兩根之和\(\begin{align*}x_1+x_2&=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\&=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\&=\frac{-2b}{2a}\\&=-\frac{a}\end{align*}\)計(jì)算兩根之積\(\begin{align*}x_1x_2&=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\times\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\&=\frac{(-b)^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2}{4a^2}\\&=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\&=\frac{4ac}{4a^2}\\&=\frac{c}{a}\end{align*}\)所以，一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）的根\(x_1\)，\(x_2\)與系數(shù)a，b，c的關(guān)系為：\(x_1+x_2=-\frac{a}\)，\(x_1x_2=\frac{c}{a}\)

。這就是著名的韋達(dá)定理。韋達(dá)定理的應(yīng)用例1已知方程\(x^2-3x-10=0\)的兩個(gè)根為\(x_1\)，\(x_2\)，求\(x_1+x_2\)和\(x_1x_2\)的值。解：在方程\(x^2-3x-10=0\)中，\(a=1\)，\(b=-3\)，\(c=-10\)。根據(jù)韋達(dá)定理，\(x_1+x_2=-\frac{a}=-\frac{-3}{1}=3\)，\(x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-10}{1}=-10\)。例2已知一元二次方程\(x^2+bx+c=0\)的兩根分別為2和\(-3\)，求b和c的值。解：由韋達(dá)定理可知，\(x_1+x_2=-b\)，\(x_1x_2=c\)。已知\(x_1=2\)，\(x_2=-3\)，則\(-b=2+(-3)=-1\)，所以\(b=1\)；\(c=2×(-3)=-6\)。例3已知關(guān)于x的一元二次方程\(2x^2-5x+k=0\)的兩根\(x_1\)，\(x_2\)滿足\(x_1x_2=-3\)，求k的值及方程的兩根。解：根據(jù)韋達(dá)定理，在方程\(2x^2-5x+k=0\)中，\(x_1x_2=\frac{k}{2}\)。因?yàn)閈(x_1x_2=-3\)，所以\(\frac{k}{2}=-3\)，解得\(k=-6\)。原方程變?yōu)閈(2x^2-5x-6=0\)，利用求根公式\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)，其中\(zhòng)(a=2\)，\(b=-5\)，\(c=-6\)，\(\Delta=(-5)^2-4×2×(-6)=25+48=73\)，則\(x=\frac{5\pm\sqrt{73}}{4}\)，所以方程的兩根為\(x_1=\frac{5+\sqrt{73}}{4}\)，\(x_2=\frac{5-\sqrt{73}}{4}\)。課堂練習(xí)已知方程\(3x^2+2x-1=0\)，求兩根之和與兩根之積。若一元二次方程\(x^2-mx+n=0\)的兩根為3和\(-4\)，求m，n的值。已知關(guān)于x的一元二次方程\(x^2-4x+k=0\)的兩根\(x_1\)，\(x_2\)滿足\(x_1^2+x_2^2=12\)，求k的值。課堂小結(jié)韋達(dá)定理內(nèi)容：一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）的根\(x_1\)，\(x_2\)滿足\(x_1+x_2=-\frac{a}\)，\(x_1x_2=\frac{c}{a}\)

。應(yīng)用要點(diǎn)：可直接根據(jù)方程系數(shù)求兩根之和與兩根之積。已知兩根，能求方程中的未知系數(shù)。結(jié)合其他條件，解決與根相關(guān)的綜合性問題。課后作業(yè)已知方程\(5x^2-7x-2=0\)，求兩根之和與兩根之積。若關(guān)于x的一元二次方程\(x^2+(m-2)x+m+1=0\)的兩根為\(x_1\)，\(x_2\)，且滿足\(x_1^2+x_2^2=12\)，求m的值。已知一元二次方程的兩根分別為\(\frac{1}{2}\)和\(-\frac{2}{3}\)，求這個(gè)一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）。這份內(nèi)容圍繞根與系數(shù)的關(guān)系展開系統(tǒng)講解。你可以提出對內(nèi)容深度、例題數(shù)量等方面的看法，若有其他修改需求，我會(huì)進(jìn)一步完善。5課堂檢測4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解1.探索一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.2.不解方程利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解決問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)知識(shí)回顧1.方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么？2.如何用判別式b2-4ac來判斷一元二次方程根的情況？對一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.思考：從因式分解法可知，方程(x-x1)(x-x2)=0

(x1，x2為已知數(shù))的兩根為x1和x2，將方程化為x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2與

p，q之間的關(guān)系嗎？新課導(dǎo)入(x-x1)(x-x2)=0化為一般式，得

x2-(x1+x2)x+x1x2=0.

由上式，得

一次項(xiàng)系數(shù)為1，

二次項(xiàng)系數(shù)為p=-(x1+x2)，

常數(shù)項(xiàng)為

q=x1x2.

則上述方程兩個(gè)根的和、積與系數(shù)的關(guān)系為：x1+x2=-p,x1x2=q.(x-x1)(x-x2)=0→x2+px+q=0新知探究知識(shí)點(diǎn)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系思考：一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，二次項(xiàng)系數(shù)a未必是1，它的兩個(gè)根的和、積與系數(shù)又有怎樣的關(guān)系呢？已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)，當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，兩根分別為x1=

，x2=

。x1+x2=

，x1x2=

.

.因此，方程的兩個(gè)根x1，x2和系數(shù)a，b，c有如下關(guān)系：即任何一個(gè)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系為：兩根之和等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的比的相反數(shù)，兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的比.思考：把方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩邊同除以a，能否得出該結(jié)論？同除以a，得此時(shí)方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1，則兩根與兩根之積與系數(shù)的關(guān)系有：x1+x2=-p,x1x2=q（p為二次項(xiàng)系數(shù)，q為常數(shù)項(xiàng)）.

故也能得出

例根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程兩個(gè)根x1，x2的和與積：(1)x2-6x-15=0；(2)3x2+7x-9=0；(3)5x-1=4x2

.

解：(1)x1+x2=-(-6)=6,x1x2=-15.拓展提升與一元二次方程有關(guān)的代數(shù)式的常見變形：①②③④⑤⑥練一練1.設(shè)x1，x2是一元二次方程x2-7x-5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則

的值為

.2.設(shè)x1，x2是方程2x2+4x-3=0的兩個(gè)根，則：（1）=

；（2）=

.310關(guān)于x的方程x2+px+q=0的根為x1=1+，x2=1-，則p=

，q=

.已知方程5x2+kx－6=0的一根是2，則另一根是

，

k＝

.-2-1-7隨堂練習(xí)3.不解方程，求下列方程兩個(gè)根的和與積：(1)x2-3x=15；

(2)3x2+2=1-4x；解：x1+x2=3x1x2=-15【選自教材P16練習(xí)】解：化簡得

3x2+4x+1=0x1+x2=x1x2=(3)5x2-1=4x2+x；

(4)2x2-x+2=3x+1.解：化簡得x2-x-1=0x1+x2=1x1x2=-1解：化簡得

2x2-4x+1=0x1+x2=2x1x2=4.求下列方程兩個(gè)根的和與積：

（1）x2－3x+2=10；

（2）5x2+x-5=0；解：x1+x2=3x1x2=-8解：x1+x2=x1x2=-1【選自教材P17習(xí)題21.2第7題】

（3）x2+x=5x+6；

（4）7x2-5=x+8.解：化簡得x2-4x-6=0

x1+x2=4x1x2=-6解：化簡得7x2-x-13=0x1+x2=x1x2=5.已知兩個(gè)數(shù)的和為8，積為9.75，求這兩個(gè)數(shù).解：設(shè)其中一個(gè)數(shù)為x，則另一個(gè)數(shù)為(8-x).

根據(jù)題意，得x(8-x)=9.75，整理，

得x2-8x+9.75=0.

解得x1=6.5,x2=1.5.

當(dāng)x=6.5時(shí)，8-x=1.5；當(dāng)x=1.5時(shí)，8-x=6.5.

∴這兩個(gè)數(shù)是6.5和1.5.6.x1，x2是方程x2－5x－7=0的兩根，不解方程求下列各式的值：

（1）

；

（2）.解：∵x1，x2是方程x2-5x-7=0的兩根.

則x1+x2=5，x1x2=-7.7.已知關(guān)于x的方程x2-(2m+3)x+m2=0的兩根之和等于兩根之積，求m的值.解：設(shè)方程x2-(2m+3)x+m2=0的兩根為x1，x2.

∴x1+x2=2m+3，x1x2=m2.

根據(jù)題意得m2=2m+3，解得m1=3，m2=-1.

當(dāng)m=3時(shí)，原方程為x2-9x+9=0，b2-4ac=45>0.方程有實(shí)數(shù)根.

當(dāng)m=-1時(shí)，原方程為x2-x+1=0，b2-4ac=-3<0.方程無實(shí)數(shù)根，此m值舍去.

∴m的值為3.返回1．已知關(guān)于x的一元二次方程x2－5x＋2m＝0有一個(gè)根為

－2，則另一個(gè)根為(

)A．7 B．3C．－7 D．－3AC返回3．關(guān)于x的方程(x－1)(x＋2)－p2＝0(p為常數(shù))的根的情況，下列結(jié)論中正確的是(

)A．兩個(gè)正根

B．兩個(gè)負(fù)根C．一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根

D．無實(shí)數(shù)根返回【點(diǎn)撥】化簡關(guān)于x的方程(x－1)(x＋2)－p2＝0(p為常數(shù))，得x2＋x－2－p2＝0，∴b2－4ac＝1＋8＋4p2＝9＋4p2＞0.∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得方程的兩個(gè)根的積為－2－p2＜0，∴方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，故選C.【答案】C返回4．若關(guān)于x的一元二次方程x2＋2x＋1－2m＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，且x1x2<0，則實(shí)數(shù)

m的取值范圍是________．返回5．[2024煙臺(tái)]若一元二次方程2x2－4x－1＝0的兩根為m，n，則3m2－4m＋n2的值為________．6返回6．若菱形兩條對角線的長度是方程x2－4x＋3＝0的兩根，則該菱形的面積為________．7