第二章§1生活中的變量關(guān)系 §2函數(shù)2.1函數(shù)概念基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)1.在實際問題中找出變量之間的對應(yīng)關(guān)系,深刻理解函數(shù)的概念.2.會用集合語言和對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù),建立完整的函數(shù)概念.3.體會集合語言和對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用.4.了解構(gòu)成函數(shù)的要素,能求簡單函數(shù)的定義域.基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點1

函數(shù)1.變量觀點的定義如果在一個變化過程中,有兩個變量x和y,對于變量x的每一個值,變量y都有唯一確定的值和它對應(yīng),那么y就是x的函數(shù),其中x是自變量,y是因變量.2.集合語言的定義

建立對應(yīng)關(guān)系f的基礎(chǔ)函數(shù)的概念給定實數(shù)集R中的兩個非空數(shù)集A和B,如果存在一個對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的每一個數(shù)x,在集合B中都有

的數(shù)y和它對應(yīng),那么就把對應(yīng)關(guān)系f稱為定義在集合A上的一個函數(shù)

缺一不可函數(shù)的記法y=f(x),x∈A定義域集合A稱為函數(shù)的定義域,x稱為自變量值域與x值對應(yīng)的y值稱為函數(shù)值,集合{f(x)|x∈A}稱為函數(shù)的值域注意“{f(x)|x∈A}?B”唯一確定

名師點睛1.A,B都是非空數(shù)集,因此定義域(或值域)為空集的函數(shù)不存在.2.函數(shù)定義中強調(diào)“三性”,任意性、存在性、唯一性.即對于非空數(shù)集A中的任意一個(任意性)元素x,在集合B中都有(存在性)唯一(唯一性)確定的元素y與之對應(yīng).這“三性”只要有一個不滿足,便不能構(gòu)成函數(shù).3.符號y=f(x)是“y是x的函數(shù)”的數(shù)學(xué)表示,不能認(rèn)為“y等于f與x的乘積”,應(yīng)理解為:x是自變量,f是對應(yīng)關(guān)系(可以是解析式、圖象、表格,也可以是文字描述).4.函數(shù)符號f(x)表示的對應(yīng)關(guān)系與字母f無關(guān),也可以用g,F,H等表示;同樣,自變量x也可以用t,m,n等表示.思考辨析1.若f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù),則函數(shù)的值域是集合B嗎?

2.在函數(shù)的概念中,如果函數(shù)y=f(x)的定義域與對應(yīng)關(guān)系確定,那么函數(shù)的值域確定嗎?提示

不一定,f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù),則函數(shù)的值域C是集合B的子集,即C?B.提示

確定.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)人的身高和體重之間是函數(shù)關(guān)系.(

)(2)函數(shù)的定義域和值域一定是無限集合.(

)××2.[人教A版教材習(xí)題]一枚炮彈發(fā)射后,經(jīng)過26s落到地面擊中目標(biāo).炮彈的射高為845m,且炮彈距地面的高度h(單位:m)與時間t(單位:s)的關(guān)系為h=130t-5t2.求該式所表示的函數(shù)的定義域與值域,并用函數(shù)的定義描述這個函數(shù).解

定義域為A={t|0≤t≤26},值域為B={h|0≤h≤845}.對應(yīng)關(guān)系h=130t-5t2把集合A中的任意一個數(shù)t,對應(yīng)到集合B中唯一確定的數(shù)130t-5t2.3.[人教A版教材習(xí)題]集合A,B與對應(yīng)關(guān)系f如下圖所示:f:A→B是否為從集合A到集合B的函數(shù)?如果是,那么定義域、值域各是什么?解

f:A→B是從集合A到集合B的函數(shù),定義域為A={1,2,3,4,5},值域為{2,3,4,5}.知識點2

同一個函數(shù)由函數(shù)定義知,由于函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系來確定,這樣確定一個函數(shù)就只需兩個要素:定義域和對應(yīng)關(guān)系.因此,定義域和對應(yīng)關(guān)系為“y是x的函數(shù)”的兩個基本條件,缺一不可.只有當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系都分別相同時,這兩個函數(shù)才是同一個函數(shù).名師點睛自變量和因變量用什么字母表示與函數(shù)無關(guān),不影響兩個函數(shù)的關(guān)系.兩個函數(shù)的關(guān)系是通過檢驗兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系是否相同來確定的.這就是說:(1)定義域不同,兩個函數(shù)也就不同;(2)對應(yīng)關(guān)系不同,兩個函數(shù)也是不同的.思考辨析定義域和值域都分別相同的兩個函數(shù)是同一函數(shù)嗎?提示

定義域和值域都分別相同的兩個函數(shù),也不一定是同一函數(shù),因為函數(shù)的定義域和值域不能唯一地確定函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系,例如y=x+2和y=x就不是同一函數(shù).自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)已知定義域和對應(yīng)關(guān)系就可以確定一個函數(shù).(

)(2)y=x+1與y=t+1不是同一個函數(shù).(

)(3)y=f(x),x∈R與y=f(x+1),x∈R可能是同一個函數(shù).(

)√×√2.[人教A版教材習(xí)題]判斷下列各組中的函數(shù)是否為同一個函數(shù),并說明理由:(1)表示炮彈飛行高度h與時間t關(guān)系的函數(shù)h=130t-5t2和二次函數(shù)y=130x-5x2;(2)f(x)=1和g(x)=x0.解

(1)不是同一個函數(shù).因為前者的定義域為[0,26],而后者的定義域為R.(2)不是同一個函數(shù).因為前者的定義域為R,而后者的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞).重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一函數(shù)關(guān)系的判斷【例1】

(1)設(shè)M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},給出下列四個圖形,其中能表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的有(

)A.0個

B.1個

C.2個

D.3個

B解析

①錯誤,當(dāng)x=2時,在N中無元素與之對應(yīng);②正確;③錯誤,當(dāng)x=2時,對應(yīng)元素y=3?N;④錯誤,當(dāng)x=1時,在N中有兩個元素與之對應(yīng).(2)已知集合A={x|0≤x≤8},集合B={x|0≤x≤4},則下列對應(yīng)關(guān)系中,不能看作是從A到B的函數(shù)關(guān)系的是(

)D解析

根據(jù)函數(shù)的定義,對于D,對于集合A中的部分元素,集合B中沒有元素與它對應(yīng),故不正確.規(guī)律方法

1.根據(jù)圖形判斷對應(yīng)是否為函數(shù)的方法(1)任取一條垂直于x軸的直線l;(2)在定義域內(nèi)平行移動直線l;(3)若直線l與圖形有且只有一個交點,則是函數(shù);若在定義域內(nèi)沒有交點或有兩個或兩個以上的交點,則不是函數(shù).2.判斷一個對應(yīng)是否為函數(shù)的方法變式訓(xùn)練1(1)若函數(shù)y=f(x)的定義域為M={x|-2≤x≤2},值域為N={y|0≤y≤2},則函數(shù)y=f(x)的圖象可能是(

)B解析

A中的定義域不是[-2,2],C中圖形不滿足唯一性,D中的值域不是[0,2].故選B.(2)已知集合M={-1,1,2,4},N={1,2,4},其中能構(gòu)成從M到N的函數(shù)的是(

)A.y=x2

B.y=x+1C.y=x-1 D.y=|x|D解析

只有y=|x|是符合題意的對應(yīng)關(guān)系.故選D.探究點二求函數(shù)的定義域【例2】

求下列函數(shù)的定義域:解

(1)要使函數(shù)有意義,自變量x的取值必須滿足解得x<0,且x≠-2.故原函數(shù)的定義域為(-∞,-2)∪(-2,0).(2)要使函數(shù)有意義,自變量x的取值必須滿足故原函數(shù)的定義域為(-∞,1)∪(1,4].規(guī)律方法

求函數(shù)的定義域時,常有以下四種情況:一如果函數(shù)f(x)是整式,那么函數(shù)的定義域是實數(shù)集R二如果函數(shù)f(x)是分式,那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實數(shù)組成的集合三如果函數(shù)f(x)是二次根式,那么函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于零的實數(shù)組成的集合四如果函數(shù)f(x)是由兩個或兩個以上代數(shù)式的和、差、積、商的形式構(gòu)成的,那么函數(shù)的定義域是使各式子都有意義的自變量的取值集合(即求各式子自變量取值集合的交集)變式訓(xùn)練2[人教B版教材例題]求下列函數(shù)的定義域:探究點三求抽象函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的定義域【例3】

(1)若函數(shù)f(x)的定義域為(-1,2),則函數(shù)f(2x+1)的定義域為

.

(-1,)(2)若函數(shù)f(2x+1)的定義域為(-1,2),則函數(shù)f(x)的定義域為

.

(-1,5)解析

由-1<x<2,得-1<2x+1<5,∴f(x)的定義域為(-1,5).(3)若函數(shù)f(2x+1)的定義域為(-1,2),則函數(shù)f(x-1)的定義域為

.

(0,6)解析由(2)知f(x)的定義域為(-1,5),由-1<x-1<5,得0<x<6,∴f(x-1)的定義域為(0,6).規(guī)律方法

求復(fù)合函數(shù)或抽象函數(shù)的定義域應(yīng)明確以下幾點:(1)函數(shù)f(x)的定義域是指x的取值范圍所組成的集合.(2)函數(shù)f(φ(x))的定義域是指x的取值范圍,而不是φ(x)的取值范圍.(3)f(t),f(φ(x)),f(h(x))三個函數(shù)中的t,φ(x),h(x)在對應(yīng)關(guān)系f下的取值范圍相同.(4)已知f(x)的定義域為A,求f(φ(x))的定義域,其實質(zhì)是已知φ(x)的取值范圍為A,求出x的取值范圍.(5)已知f(φ(x))的定義域為B,求f(x)的定義域,其實質(zhì)是已知f(φ(x))中的x的取值范圍為B,求出φ(x)的取值范圍,此取值范圍就是f(x)的定義域.變式訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)的定義域為[-1,2],則函數(shù)

的定義域為

.

探究點四函數(shù)的求值問題【例4】

已知函數(shù)f(x)=x2+x-1.(1)求f(2),f(),f(a+1);(2)若f(x)=5,求x.解

(1)f(2)=22+2-1=5.f(a+1)=(a+1)2+(a+1)-1=a2+3a+1.(2)∵f(x)=x2+x-1=5,∴x2+x-6=0,解得x=2,或x=-3.規(guī)律方法

函數(shù)求值問題的解法(1)已知函數(shù)的解析式求函數(shù)值,將自變量的值代入解析式即可求出相應(yīng)的函數(shù)值.當(dāng)自變量的值為包含字母的代數(shù)式時,將代數(shù)式作為一個整體代入化簡求解.(2)已知函數(shù)解析式及某一函數(shù)值,求與函數(shù)值對應(yīng)的自變量的值(或解析式中的參數(shù)值),只需將函數(shù)值代入解析式,建立關(guān)于自變量(或參數(shù))的方程求解即可,注意函數(shù)的定義域?qū)ψ宰兞咳≈档南拗?(1)求f(2)和g(2);(2)求g(f(2)),求f(g(x));探究點五同一個函數(shù)【例5】

(1)下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是

(填序號).

②③

規(guī)律方法

判斷兩個函數(shù)是否表示同一個函數(shù)的兩個步驟

變式訓(xùn)練5下列各組函數(shù):⑤汽車勻速運動時,路程與時間的關(guān)系函數(shù)f(t)=80t(0≤t≤5)與一次函數(shù)g(x)=80x(0≤x≤5).其中表示同一個函數(shù)的是

.(填序號)

⑤解析

①f(x)與g(x)的定義域不同,不是同一個函數(shù);②f(x)與g(x)的對應(yīng)關(guān)系不同,不是同一個函數(shù);③f(x)=|x+3|,與g(x)的對應(yīng)關(guān)系不同,不是同一個函數(shù);④f(x)與g(x)的定義域不同,不是同一個函數(shù);⑤f(t)與g(x)的定義域、對應(yīng)關(guān)系都相同,是同一個函數(shù).探究點六求函數(shù)的值域【例6】

求下列函數(shù)的值域:(1)y=-1;(2)y=x2-2x+3,x∈{-2,-1,0,1,2,3};(2)∵x∈{-2,-1,0,1,2,3},把x=-2,-1,0,1,2,3代入y=x2-2x+3中,得y=11,6,3,2,3,6,∴y=x2-2x+3的值域為{2,3,6,11}.規(guī)律方法

求函數(shù)值域的常用方法(1)觀察法:通過對解析式的簡單變形和觀察,利用熟知的基本函數(shù)的值域,求出函數(shù)的值域.(2)配方法:若函數(shù)是二次函數(shù)形式,即可化為y=ax2+bx+c(a≠0)型的函數(shù),則可通過配方再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求值域,但要注意給定區(qū)間的二次函數(shù)最值的求法.(3)換元法:通過對函數(shù)的解析式進(jìn)行適當(dāng)換元,可將復(fù)雜的函數(shù)化歸為簡單的函數(shù),再結(jié)合基本函數(shù)自變量的取值范圍求函數(shù)的值域.變式訓(xùn)練6

求下列函數(shù)的值域:(2)y=x2-4x+6(1≤x≤5);(2)y=x2-4x+6=(x-2)2+