六年級數(shù)學思維訓練專項目錄第1講定義新運算第2講簡單的二元一次不定方程第3講分數(shù)乘除法計算第4講分數(shù)四則混合運算第5講估算第6講分數(shù)乘除法的計算技巧第7講簡單的分數(shù)應用題（1）第8講較復雜的分數(shù)應用題（2）第9講階段復習與測試（略）第10講簡單的工程問題第11講圓和扇形第12講簡單的百分數(shù)應用題第13講分數(shù)應用題復習第14講綜合復習（略）第15講測試（略）第16講復雜的利潤問題（2）第一講定義新運算在加.減.乘.除四則運算之外，還有其它許多種法則的運算。在這一講里，我們學習的新運算就是用“#”“*”“Δ”等多種符號按照一定的關系“臨時”規(guī)定的一種運算法則進行的運算。例1：如果A*B=3A+2B，那么7*5的值是多少例2：如果A#B表示照這樣的規(guī)定，6#（8#5）的結果是多少例3：規(guī)定求2Δ10Δ10的值。例4：設M*N表示M的3倍減去N的2倍，即M*N=3M-2N計算（14*10）*6計算（*）*（1*）例5：如果任何數(shù)A和B有A¤B=A×B-（A+B）求（1）10¤7（2）（5¤3）¤4（3）假設2¤X=1求X例6：設P∞Q=5P+4Q，當X∞9=91時，1/5∞（X∞1/4）的值是多少例7：規(guī)定X*Y=，且5*6=6*5則（3*2）*（1*10）的值是多少例8：▽表示一種運算符號，它的意義是已知那么20088▽2009=鞏固練習1、已知2▽3=2+22+222=246；3▽4=3+33+333+3333=3702；按此規(guī)則類推3▽2（2）5▽3（3）1▽X=123，求X的值2、已知1△4=1×2×3×4；5△3=5×6×7計算（1）（4△2）+（5△3）（2）（3△5）÷（4△4）3、如果A*B=3A+2B，那么（1）7*5的值是多少（2）（4*5）*6（3）（1*5）*（2*4）4、如果A>B，那么｛A，B｝=A；如果A<B，那么｛A，B｝=B；試求（1）｛8，｝（2）｛｛，｝｝5、N為自然數(shù)，規(guī)定F（N）=3N-2例如F（4）=3×4-2=10試求：F（1）+F（2）+F（3）+F（4）+F（5）+……+F（100）的值6、如果1=1！1×2=2！1×2×3=3！……1×2×3×4×……×100=100!那么1！+2！+3！+……+100！的個位數(shù)字是幾（第四屆小學生“迎春杯”數(shù)學決賽試題）7、若“+、-、×、÷、=、（）”的意義是通常情況，而式子中的“5”卻相當于“4”。下面四個算式（1）8×7=8（2）7×7×7=6（3）（7+8+3）×9=39（4）3×3=3那么應該是我們通常的哪四個算式8、如果2*4=2×3×4×55*3=5×6×7，請按此規(guī)定計算（1）（3*4）-（5*3）（2）（4*4）÷（3*3）9、規(guī)定（25）=2+5=7（123）=1+2+3=6（65）=6+5=（11）=1+1=2則計算（1）（56489）（2）（92045）+（90÷5）÷（12）10、規(guī)定64=2×2×2×2×2×2表示成F（64）=6；243=3×3×3×3×3表示成G（243）=5；試求下面各題的值F（128）=()F（16）=G（）F（）+G(27)=611、如果1=1！1×2=2！1×2×3=3！……試計算（1）5！（2）X！=5040，求X12、有一種運算符號“＆”使下列算式成立2＆3=75＆3=134＆5=139＆7=25求995＆9=13、A*B=在X*（5*1）=6中，X的值是多少14、對于任意的整數(shù)X、Y定義新運算“￥”X￥Y=（其中M是一個固定的值）如果1￥2=2，那么2￥9=第二講二元一次不定方程一、學習目標：掌握用奇偶性、最值和尾數(shù)特點來解答不定方程。二、基礎知識：我們知道，一般的一個方程只能解答一個未知數(shù)，而有的題目卻必須設兩個未知數(shù)，且列不出兩個方程，類似這樣的方程我們稱之為二元一次不定方程。在我們研究不定方程的解時，常常會附有其他一些限制條件，有的條件是明顯的，也有隱蔽的，但它們對解題至關重要，這就需要我們在解題過程中酌情進行討論。三、例題解析：（一）基本方法例1、小明要買一只4元9角的鋼筆，他手上有貳角和伍角的硬幣各10枚，請問他可以怎樣付錢分析：本題可以用多種方法解答，這里用不定方程來解。設小明付了X枚貳角和Y枚伍角列方程，得2X+5Y=49方法一1、利用奇偶性。49是奇數(shù)，2X是偶數(shù)，那么5Y必定是奇數(shù)。這樣，Y只能取1，3，5，7，9這五個數(shù)。2、利用最值：所付錢中貳角和伍角的都有，而X至多為10，那么5Y不小于49—2×19=29，這樣，可得Y大于6。方法二觀察系數(shù)的特點，利用尾數(shù)（個位數(shù)）解答。由例1可以看出，對于二元一次不定方程，盡量縮小未知數(shù)的取值范圍，再求解。不定方程常常利用奇偶性，最值和尾數(shù)來幫助解決例2、大汽車能容納54人，小汽車能容納36人，現(xiàn)有378人要乘車，問要大、小汽車各幾輛才能使每個人都能上車且各車都正好坐滿。為了便于管理，要求車輛數(shù)最少，應該選擇哪個方案分析：解答不定方程時，能夠把方程化簡就盡量化簡。注意加了限制條件以后，答案的變化。試一試：一個同學把他生日的月份乘以31，日期乘以12，然后加起來的和是170，你知道他出生于幾月幾日例3、現(xiàn)有鐵礦石73噸，計劃用載重量分別為7噸和5噸的兩種卡車一次運走，且每輛車都要裝滿，已知載重量7噸的卡車每臺車運費65元，載重量5噸的卡車每臺車運費50元，問需用兩種卡車各多少臺運費最省分析：根據(jù)條件用不定方程可以求出卡車的臺數(shù)，但是要注意問題求運費最省。例4、一個同學發(fā)現(xiàn)自己1991年的年齡正好等于他出生那一年的年份的各位數(shù)字之和，請問這個學生1991年時多少歲分析與解：設他出生于19XY年，那么1991—19XY=1+9+X+Y1991—（1900+10X+Y）=10+X+Y91—10X—Y=10+X+Y（二）能力拓展例5、一輛勻速行駛的汽車，起初看路標上的數(shù)字是一個兩位數(shù)xy,過了一小時路標上的數(shù)字變?yōu)閥x，又行駛了一小時路標上的數(shù)字是一個三位數(shù)x0y,求每次看到的數(shù)字和汽車的速度。分析：路標上的數(shù)字是累計數(shù)。由于汽車是勻速行駛，因此汽車在單位時間里行駛的路程是相等的，根據(jù)這個關系可以列出方程。試一試：一個兩位數(shù)，如果把數(shù)字1放在它前面可得一個三位數(shù)，放在它后面也可得一個三位數(shù)。已知這兩個三位數(shù)之差為414，求原來的兩位數(shù)。例6、如下圖，一個長方體的長、寬、高的長度都是質數(shù)，且長＞寬＞高，將這個長方體橫切兩刀，豎切兩刀，得到9個長方體，這9個長方體表面積之和比原來長方體表面積之和多624平方厘米，求原來長方體的體積。分析與解：設長方體的長、寬、高分別為a、b、c，分析可得，橫切兩刀，增加了4ab的面積，豎切兩刀增加了4ac的面積，所以可列方程：4ab+4ac=624。三個未知數(shù)的不定方程一般采用分解質因數(shù)的方法解答。練習一、基本題1、求方程6x+9y=87的自然數(shù)解。2、求方程2x+5y=24的自然數(shù)解3、大客車有48個座位，小客車有30個座位?，F(xiàn)在有306名旅客，要使每位旅客都有座位而且不空出座位來，需要大、小客車各幾輛4、裝餅干的盒子有大、小兩種，大盒每盒要11元，小盒每盒要8元，媽媽用了89元，問大小盒子各買了多少個5、一個兩位數(shù)，交換個位和十位上的數(shù)字，就得到一個新的兩位數(shù)，已知新兩位數(shù)比原兩位數(shù)多54，求原來的兩位數(shù)。6、一個兩位數(shù)，各位數(shù)字之和的6倍比原數(shù)大3，求這個兩位數(shù)。7、一個商人將彈子放進兩種盒子里，每個大盒子裝12個，每個小盒子裝5個，恰好裝完。如果彈子數(shù)為99，盒子數(shù)大于10，問兩種盒子各有多少個二、綜合題8、在一個兩位質數(shù)的兩個數(shù)字之間，添上數(shù)字6以后，所得的三位數(shù)比原數(shù)大870，那么原數(shù)是多少9、會場里有兩座和四座的兩種長椅若干把。現(xiàn)有一個班的學生（不足70人）來開會。一部分學生一人坐一把兩座的長椅，其余的同學每三人坐一把四座的長椅。結果平均每個學生坐個座位。求有多少個學生思考題10、有一個長方體，它的正面和上面的面積之和是209，如果它的長、寬、高都是質數(shù)，那么這個長方體的體積是多少第三講分數(shù)乘除法計算分數(shù)乘除法的計算方法用字母表示為：（a，c都不等于0）；（a，c都不等于0）。一、課前準備：計算下列各題：（1）÷10÷（2）＋÷（3）÷×（3）÷9÷（4）÷×（6）÷（+）2、在□或〇里填上合適的數(shù)字或符號，并說明使用了什么運算定律25×eq\f(16,7)×eq\f(7,8)=×(×)eq\f(5,8)×eq\f(2,3)×eq\f(8,15)=(×)×eq\f(2,29)×(15×eq\f(29,31))=×(×)25eq\f(3,4)×4=×+×7×eq\f(7,8)=×〇×1eq\f(4,5)×25=×〇×54×(eq\f(8,9)-eq\f(5,6))=×〇×二、例題講解例1：計算：⑴；⑵?！痉治觥空J真觀察這兩道題的數(shù)學特點：第(1)題中的與1只相差，如果把寫成的差與37相乘，再運用乘法分配律就能簡化運算了。同樣，第（2）題中的27可以寫成（26+1）。練習：“挑戰(zhàn)自己！”比一比，看一看，誰的方法最巧妙26eq\f(2,3)×eq\f(1,5)32eq\f(2,5)×eq\f(5,6)例2：計算：分析仔細觀察因數(shù)的特點可知，可轉化為，這樣就可以利用乘法的分配律進行簡算了。練習：計算：例3：計算：【分析】把幾個分數(shù)的和作為一個整體去處理，往往會使計算簡便得多。在本題中，把與的和作為一個數(shù)來參與運算，使計算中只含有乘除法。再利用乘法的交換律、結合律就可以很快算出結果。例4：計算：⑴；⑵?！痉治觥客瑢W們都會計算帶分數(shù)除法。不過，看了這兩題，你一定感到把帶分數(shù)化成假分數(shù)太繁了。如果我們動一下腦筋，就會發(fā)現(xiàn)：可以把題(1)中的分成一個41的倍數(shù)與另一個較小的數(shù)相加，再利用除法性質就可以使運算簡便。把題（2)中的化為假分數(shù)時，把分子用兩個數(shù)相乘的形式表示，便于約分和計算。例5：計算：例6：計算：一、基本練習1、下面各題，怎樣簡便就怎樣算?！翱伎寄恪毕旅娓黝}怎么算簡便就怎么算eq\f(7,10)×101-eq\f(7,10)eq\f(8,9)×eq\f(8,9)÷eq\f(8,9)×eq\f(8,9)eq\f(3,5)×99+eq\f(3,5)3eq\f(4,5)×2536×eq\f(34,35)(eq\f(5,6)-eq\f(5,9))×eq\f(18,5)(eq\f(4,7)+eq\f(8,9))×eq\f(2,25)eq\f(15,21)×eq\f(3,4)+eq\f(10,21)×eq\f(3,4)-eq\f(3,4)分數(shù)四則混合計算：（1）（—）×1000（2）×[（—）÷]（3）×—÷（4）（×+×）÷二．能力提高（4）（5）第四講分數(shù)四則混合運算一、課前準備：÷9（＋）×÷＋×（＋－）×24二、例題講解例1：計算：練習：例2：計算：（×37＋5981×）÷1＋190×例3、例4；計算；練習：1.下面各題怎樣算簡便就怎樣算。（＋－）×27（＋）÷×4÷5×＋×＋2.用簡便方法計算。1÷13×100－－91××4＋÷5－×3、計算下面各題。第五講估算取近似值的方法除了常用的四舍五入法外，還有去尾法和收尾法（進一法）。其方法一般是計算出準確值再按要求取近似值。還有兩種：（1）省略尾數(shù)取近似值，即觀其“大概”；（2）用放大或縮小的方法來確定某個數(shù)或整個算式的取值范圍，即估計范圍。這就是估計與估算，估計與估算，是一種十分重要的算法，在生活實踐和數(shù)學解題中有廣泛的應用。一、去尾法和收尾法（進一法）例1、某飛機所載油料最多只能在空中連續(xù)飛行4時，飛去時速度為900千米/時，飛回時速度為850千米/時。問：該飛機最遠飛出多少千米就應返回（精確到1千米）解：設該飛機最遠能飛出x小時，依題意有此題采用去尾法。如果按照四舍五入的原則，那么得到x≈1749，當飛機真的飛出1749千米再返回時，恐怕在快著陸的瞬間就要機毀人亡了。例2、某人執(zhí)行爆破任務時，點燃導火線后往70米開外的安全地帶奔跑，其奔跑的速度為7米/秒。已知導火線燃燒的速度是米/秒。問：導火線的長度至少多長才能確保安全（精確到米）此題采用收尾法。如果你的答案是米，執(zhí)行任務的人還沒跑到安全地帶，炸藥就被引爆，那可就太危險了。二、放縮法與省略尾數(shù)法例3、有三十個數(shù)：，+，+，……++，如果取每個數(shù)的整數(shù)部分（例如：的整數(shù)部分是1，+的整數(shù)部分是2），并將這些整數(shù)相加，那么其和是多少分析：關鍵是判斷從哪個數(shù)開始整數(shù)部分是2例4、A=1213÷3321，求A的小數(shù)點后前3位數(shù)字。分析：本題可以采用取近似值的辦法求解，還可采用放縮法估計范圍解答的。方法一：放縮法：A＞1234÷3122=…A＜1235÷3121＝…所以＜A＜方法二：省略尾數(shù)法：近似值：將被除數(shù)、除數(shù)同時舍去13位，各保留4位，則有1234÷3121≈例5、老師在黑板上寫了十三個自然數(shù)，讓小明計算平均數(shù)（保留兩位小數(shù)），小明計算出的答數(shù)是。老師說最后一位數(shù)字錯了，其它的數(shù)字都對。正確的答案應是什么分析：小明的答案僅僅是最后一位數(shù)字錯了，那么正確答案應該在與之間。原來13個數(shù)的總和最小應該是×13=，最大應該是×13=之間，從而可求出這13個自然數(shù)的總和，從而知道正確答案已知：S=，求S的整數(shù)部分。分析與解：如果我們能知道分母部分最小不小于幾、最大不大于幾，就能知道它的值在某個范圍內。當這個范圍很小時，就容易判斷出s的整數(shù)部分了。設A=說明：本題如果直接計算，不但非常麻煩，而且容易出錯。上面的“分析”中，我們采用了“放大——縮小”的方法，就是先把s的倒數(shù)（分母部分）的每一個加數(shù)都看成最大的一個（放大），再都看成最小的一個（縮?。?。練一練：求的整數(shù)部分。練習一、基本題1、（1+）+（1+×2）+（1+×3）+……（1+×10）+（1+×11）的結果是x，那么，與x最接近的整數(shù)是多少2、求算式……5051÷……4321的小數(shù)點后前二位數(shù)字是多少3、為了修水電站，需要在極短的時間內向河道中投入300米3石料，以截斷河流。如果每臺大型運輸車一次可運石料米3，那么為保障一次截流成功，至少需多少臺運輸車4、用5米長的花布做上衣，已知每件上衣需用布2米，求這塊布料可以做幾件上衣5、小華在計算一道求七個自然數(shù)平均數(shù)（得數(shù)保留兩位小數(shù)）的題目時，將得數(shù)最后一位算錯了。他的錯誤答案是，正確答案應是多少6、求下式中S的整數(shù)部分：二、綜合題7、計算：（提示：注意385=5×7×11，可以先用乘法分配律化簡，再估算。）三、思考題：8、在1，，，……，，中選出若干個數(shù)，使得它們的和大于3，至少要選幾個數(shù)第六講分數(shù)運算的技巧對于分數(shù)的混合運算，除了掌握常規(guī)的四則運算法則外，還應該掌握一些特殊的運算技巧，才能提高運算速度，解答較難的問題。下面我們著重介紹五種常用的簡算技巧。（一）一般分數(shù)乘除法的計算：（二）分數(shù)的簡便計算1.湊整法與整數(shù)運算中的“湊整法”相同，在分數(shù)運算中，充分利用四則運算法則和運算律（如交換律、結合律、分配律），使部分的和、差、積、商成為整數(shù)、整十數(shù)……從而使運算得到簡化。例3、計算：2.約分法：例4、計算：分析：仔細觀察可知，分子的每一項（每一個加數(shù)）都可以分解出1×2×3，分母的每一項都可以分解出1×3×5。把它們作為公因數(shù)提出來后，括號內的和是相等的。例5、計算：分析：仔細觀察分子、分母中各數(shù)的特點，就會發(fā)現(xiàn)分毋中的被減數(shù)362×548可以變形為：（361＋1)×548=361×548＋548，同時發(fā)現(xiàn)548－186=362。這樣就可以把分母轉化成與分子完全相同的式子，簡化運算。例6、計算：例7、計算：分組法例8、計算：分析：利用加法交換律和結合律，先將同分母的分數(shù)相加。4、代數(shù)法例9、練習：EQ\f(2003,2004)×2005第七講簡單的分數(shù)應用題（一）一、基礎知識：1、分數(shù)應用題的一般關系式是：表示單位“1”的量（標準量）×分率=分率的對應量。2、解題思路：①一道分數(shù)應用題中，先根據(jù)分率所在的哪個條件，找出并判斷“1”。分率是“誰的”幾分之幾，誰就是單位“1”（分率是一個不帶單位的、不具體的分數(shù)，反映的是兩個數(shù)之間的一種倍數(shù)關系。）單位“1”的量的判斷：根據(jù)分率來判斷把哪個數(shù)量平均分成多少份，哪個數(shù)量就是單位“1”。②表示單位“1”的量是已知的，則該題用“×”。表示單位“1”的量是未知的，則該題用“÷”或方程。③解題的關鍵是：尋找“與數(shù)量對應的分率”，“與分率對應的數(shù)量”。二、例題解析：（一）基本方法例1、指出下面每組中單位“1”和對應分率。①一只雞的重量是鴨的。把()平均分為3份,把（）看作單位“1”,()相當于這樣的2份，2/3對應的數(shù)量是（）。②甲的相當于乙。把()平均分為5份,把（）看作單位“1”,()相當于這樣的3份，3/5對應的數(shù)量是（）。③現(xiàn)價是原價的。把()平均分為40份,把（）看作單位“1”,()相當于這樣的3份，3/40對應的數(shù)量是（）。現(xiàn)價比原價少的部分對應的分率是（）。④小紅的書比小明少。把()平均分為8份,把（）看作單位“1”,()相當于這樣的7份，7/8對應的數(shù)量是（）。小明的書對應的分率是（）。例2、根據(jù)已知條件用“——”線標出單位“1”的量，再寫出數(shù)量關系式。（1）白兔只數(shù)的是黑兔的只數(shù)。（2）已經修了公路全長的。（3）二班植樹棵數(shù)相當于一班的。（4）今年棉花產量比去年增加。（4）第三季度冰箱價格比第二季度便宜。（6）還剩這堆煤的。例3、小王買了一個本子和一支鋼筆。本子的價格是1元，鋼筆的價格比本子的價格多，鋼筆的價格是多少元例4、一條褲子比一件上衣便宜25元。一條褲子是一件上衣價格的2/3，一件上衣多少元例5、商店運來一批水果，運來蘋果20筐，梨的筐數(shù)是蘋果的3/4，梨的筐數(shù)同時又是桔子的3/5。運來桔子多少筐例6、學校買來54本新書，其中科技書占1/6，文藝書占1/3，文藝書比科技書多多少本（二）能力拓展例7、小強看一本故事書，每天看16頁,看了5天后，還剩全書的3/5沒有看，這本故事書有多少頁分析：把全書看作單位“1”，是未知的，可以用除法或方程解答。3/5與沒有看的頁數(shù)相對應，看了的已知量16×5與1—3/5相對應。例8、客車由甲城開往乙城要10小時,貨車由乙城開往甲城要15小時,兩車同時從兩城相向開出,多少小時兩車相遇如果相遇時客車走了600千米,甲乙兩城之間的公路長多少千米分析：本題的關鍵是要求相遇時間，我們知道相遇時間=相遇距離÷速度和，而本題要求的就是相遇距離，怎么辦可以假設全程為單位“1”。練一練：一項工作,由甲單獨做需要10天；由乙單獨做需要12天.如果兩人合做,幾天才能完成練習：一、基本題1、指出下面每組中單位“1”和對應分率。①白兔是黑兔的。把()平均分為6份,把（）看作單位“1”,()相當于這樣的5份，對應的數(shù)量是（）。②一種毛衣現(xiàn)價是原價的4/7。把()平均分為7份,把（）看作單位“1”,()相當于這樣的4份,4/7對應的數(shù)量是（）?，F(xiàn)價比原價少的部分對應的分率是（）。③九月份的產量比八月份增加了。單位“1”：（）。九月份的產量對應分率（）。2、根據(jù)已知條件用“——”線標出單位“1”的量，再寫出數(shù)量關系式。（1）媽媽年齡的是女兒的年齡。（2）已經用這根繩子的。（3）男生人數(shù)占總數(shù)的。（4）今年車禍比去年減少。（4）現(xiàn)價比原價增加。（6）沒有看的占這本書的。3、六年級有男生100人，女生有80人。（1）男生人數(shù)是女生的幾分之幾（2）女生是男生的幾分之幾（3）女生是全年級學生的幾分之幾（4）男生人數(shù)比女生多幾分之幾3、某生產隊挖一條長300米的水渠，第一天挖了全長的1/4，挖了多少米還剩多少米4、某車間五月份生產零件3000個，六月份比五月份多生產了，六月份生產了多少個零件分析：把（）看作單位“1”，是（）知的?？捎茫ǎ┓椒ㄓ嬎恪臄?shù)量是（），六月份生產的對應分率是（）。解答：5、某小學有學生若干人，其中女生占3/8，還已知該校男生有240人，這所小學共有多少人分析：把（）看作單位“1”，是（）知的?？捎茫ǎ┓椒ㄓ嬎?。男生的對應分率是（）。解答：6、小亮在銀行存了240元，小華存的錢是小亮的5/6，小華存的錢是小新的2/3，小新存了多少元7、某糧店共有大米2800千克，第一天賣了4/7，糧店還有大米多少千克8、商店有紅氣球和黃氣球，共有48只，其中黃氣球的只數(shù)是紅氣球的3/5。紅氣球和黃氣球各多少只9、一只大雁由北方飛往南方要6天,一只野鴨由南方飛往北方要8天,如果大雁和野鴨同時從兩個方向同時出發(fā),多少天他們可以相遇二、綜合題：10、王琳看一本連環(huán)畫共80頁，第一天看了全書的1/5，第二天看了全書的1/4。還剩多少頁沒有看11、本站有一批貨物，上午運走了總數(shù)的2/5，下午運走了總數(shù)的3/8，還剩下2700噸沒有運，這批貨物一共有多少噸12、一袋大米吃了1/3后又加入8千克，這時袋里的大米恰好是22千克。這袋大米原來有多少千克13、小剛讀一本書，先讀了全書的，又讀了全書的，已讀的比沒讀的多70頁，這本書共有多少頁14、根據(jù)算式寫出問題。（說明：35%=7/20）還剩下全長的1/3沒有修完，————————（1）2400×1/4（2）2400×35%（3）2400×（1/4+35%）（4）2400×1/3（5）2400×（35%-1/4）（6）2400×（1/3-1/4）（7）2400×（1/4+35%-1/3）第八講較復雜的分數(shù)應用題（二）本講繼續(xù)學習較復雜的應用題——兩個單位“1”的情況和量與率的對應關系。較復雜的分數(shù)應用題常常需要畫出線段圖或用方程的方法解答。例1、一根140厘米長的繩子，第一次用去它的4/7，第二次又用了余下的3/5，兩次共用去多少厘米分析：本題有2個分率，相對應的有2個單位“1”。例2、小紅看一本書，第一天看了全書的4/7，第二天又看了剩下的3/5，還剩下42頁沒有看，這本書共有多少頁練一練：某生產隊挖一條長300米的水渠，第一天挖了全長的，第二天挖了余下的，第三天恰好挖完，第三天挖了多少米例3、一瓶油第一次吃了1/5千克，第二次吃了余下的3/4，這時瓶內還有1/5千克，問這瓶油原來有多少千克分析：根據(jù)條件“第二次吃了余下的3/4”，我們先確定“1”；再利用線段圖來找出：“與量對應的率”或“與率對應的量”。例4、某校男生人數(shù)比全校學生總數(shù)的4/9少25人，女生人數(shù)比全校學生總數(shù)的4/7多15人。求全校學生總人數(shù)。分析：利用線段圖來找出：“與量對應的率”或“與率對應的量”。而單位“1”是未知的，可以用除法或方程解答。例5、有一瓶酒精，第一次倒出2/3又80克，然后倒回140克；第二次再倒出瓶里酒精的3/4，這時瓶里還剩下90克酒精。求原來瓶里有酒精多少克分析：本題2個分率，相對應的有2個單位“1”。利用線段圖來找出：“與量對應的率”或“與率對應的量”。單位“1”是未知的，可以用除法或方程解答。試一試：東盛化肥廠生產一批化肥，分三次運出，第一次運出的比總數(shù)的3/5還多300噸，第二次運出的是第一次的1/3，第三次運出的450噸，求這批化肥有多少噸例6、某工廠二月份比元月份增產1/10，三月份比二月份減產1/10．問三月份比元月份增產了還是減產了分析：本題沒有告訴我們具體的數(shù)量，要求的也是不具體的分率，所以我們可以假設老三年齡為“1”,或者假設一個具體的數(shù)量、字母。練一練：有兄弟三個，老大比老二年齡大2/5，老二比老三年齡大2/5，老大的年齡是老三的幾分之幾練習：1、某水泥廠第二個月生產水泥2400噸，比第一個月多生產1/4，第一個月生產水泥多少噸第三個月生產的水泥，比第一個月少生產1/5，那么第三個月生產水泥多少噸2、小紅看一本240頁的書，第一天看了全書的1/4，第二天又看了剩下的1/3，還剩下多少頁沒有看3、某糧店，第一天賣了全部大米的4/7，第二天又賣了余下的3/5，這時還剩下420千克米沒有賣。這個糧店共有大米多少千克4、某車間一月份生產了1000個零件，以后每個月都增產1/10，三月份生產了多少個零件5、某工廠去年制造一種零件，成本逐漸下降，每一季度的成本都比前一季度降低1/4，問第三季度的成本是第一季度的幾分之幾6、某班學生中，男生人數(shù)比全班人數(shù)的5/9少5人，女生人數(shù)比全班人數(shù)的3/7多11人，求全班人數(shù)。7、一桶柴油，第一次用了全桶的2/5，第二次用去20千克，第三次用了前兩次的和，這時桶里還剩8千克油．問這桶油有多少千克二、綜合題8、兩隊合修一條水渠，甲隊完成的比全長的1/2還多千米，乙隊完成的相當于甲隊的1/3。這條水渠有多長9、小王做零件，已經做了240個，比計劃還少20%，為了超額25%，小王還應再做多少個10、一袋大米第一周吃了1/3又6千克，后又加入8千克，第二周又吃了剩下的1/3，這時袋里的大米恰好是24千克。這袋大米原來有多少千克11、向陽村用拖拉機耕地，第一天耕了全部土地的1/4，第二天耕了剩下的三分之二，第二天比第一天多耕30公頃，問這個村共有多少公頃土地12、一種商品，先提價，再降價，現(xiàn)價相當于原價的幾分之幾第九講階段復習與考試第十講簡單的工程問題（一）準備題：修建一條長1200米的公路，甲隊需要30天，乙隊需要40天，如果兩隊合修需要多少天在日常生活中，做某一件事，制造某種產品，完成某項任務，完成某項工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作時間這三個量，它們之間的基本數(shù)量關系是：工作效率×工作時間=工作總量（由此還可以變化為工作時間=工作總量÷工作效率，工作效率=工作總量÷工作時間），在小學數(shù)學中，探討這三個數(shù)量之間關系的應用題，我們都叫做“工程問題”。工程問題中的本質關系為：工作效率×工作時間=工作總量。分數(shù)工程問題的特點，常常不給出具體的工作總量，我們把全部工程看作單位“1”，這樣，工作效率=1/工作時間，然后再根據(jù)工總、工效和工時這三個量的關系解題。一、基本方法例1、加工一批零件，甲單獨做6小時完成，乙單獨做9小時完成。（1）甲、乙合做，每小時完成這批零件的幾分之幾（2）合做3小時完成這批零件的幾分之幾（3）合做3小時后完成剩下零件兩人合作還需要多少小時（4）如果合做2小時后，剩下的由甲單獨做還需要多少小時做完練一練：現(xiàn)在打一份文稿，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.現(xiàn)在甲先做了3天，余下的工作由甲、乙合作完成，還需要做幾天可以完成全部工作例2、兩列火車同時從甲、乙兩地相向而行，貨車從甲地開往乙地需要10小時，客車從乙地開往甲地需要8小時，現(xiàn)貨車先行2小時后，客車才出發(fā)，求客車出發(fā)后多少小時兩車相遇分析；沒有告訴我們甲、乙兩地的路程，我們把甲、乙兩地路程看做單位“1”，速度用1/時間來表示。求相遇時間，相遇時間=相隔路程÷速度和。例3、一個水池有兩個進水管，一個出水管。單開甲管12小時可把空池注滿，單開乙管20小時可把空池注滿，單開丙管15小時可把滿池水放空，三管同開，多少小時把空池注滿水分析：注意本題是兩個進水管，一個出水管，進水管來灌水，出水管來放水。例4、水池上裝有甲、乙兩個大小不同的水龍頭，單開甲龍頭60分鐘可注滿水池，現(xiàn)在兩個水龍頭同時注水，20分鐘可注滿水池的1/2，如果單開乙龍頭需要多長時間注滿水池分析：根據(jù)條件可以求出甲、乙兩水龍頭的工效和，再根據(jù)甲龍頭的工效，就可以求出乙龍頭的工效了。進而求出乙龍頭的工作時間。二、能力拓展例5、一項工程，先由甲、乙合做5天完成了全部工程的1/3，再由乙單獨做了2天完成了全部工程的1/30，然后由乙、丙二人合做19天完成余下的工程。如果這項工程由甲、乙、丙三人合做，需要多少天完成例6、一項工程，甲隊獨做需要45天完成，乙隊獨做需要60天完成，現(xiàn)在甲、乙兩隊合作，中途乙隊因事調走，這樣完成全部工程共用了30天，求乙隊工作了幾天分析：這項工程，我們可以看成甲隊做了一部分，乙隊也做了一部分。例7、某項工程，甲、乙兩隊合做，30天可以完成。今兩隊合做12天后，剩下的由甲隊獨做，經過24天才完成。問：乙隊獨做全部工程需幾天完成分析：根據(jù)條件可以求出兩隊工效和。例8、加工一批零件，甲獨做20天完成，乙獨做每天完成這件零件的1/30，現(xiàn)在兩人合作完成這批零件，甲中途休息了天，乙也休息了幾天，這樣用了15天才全部完成，求乙休息了幾天分析：乙休息的天數(shù)可能天多或少或同樣多。解題方法多樣：按前面例題的思路，可用方程的方法，或假設方法。練習：一、基本題：1、修一棟樓房，甲公司單獨做5個月完成，乙公司單獨做6個月完成。（1）合做2個月完成這棟樓房的幾分之幾（2）如果合做2個月后，剩下的由甲公司做還需要多少個月做完2、一項工程，甲隊單獨做20天完成，乙隊單獨做30天完成?，F(xiàn)在兩隊合作，多少天可以完成3、一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.現(xiàn)在甲先做了3天，余下的工作由乙繼續(xù)完成.乙需要做幾天可以完成全部工作4、做一批零件，甲單獨做12天完成，乙單獨做16天完成，現(xiàn)在兩人合作4天后，余下的由乙獨做多少天可以完成5、一個水池上裝有一根進水管和一根出水管，單開一根進水管30分鐘可以將水池注滿，單開一根出水管45分鐘可以將一池水放完?，F(xiàn)在水池有1/2的水，兩管齊開，多少分鐘水池可以把水池灌滿6、一只大雁從甲地飛向乙地需要10天，一只野鴨從乙地飛向甲地需要12天，現(xiàn)野鴨先飛了3天后，大雁才出發(fā)，求大雁出發(fā)后多少天大雁和野鴨相遇7、一項工程，甲隊單獨做5天完成；乙隊單獨做6天完成，甲、乙兩隊合做2天后，甲隊因事調走，余下的部分由乙隊單獨做完，還需要多少天完成二、綜合題8、做一批零件，甲、乙兩人合做12天完成，現(xiàn)在甲、乙合做4天后，余下的乙獨做20天可以完成。如果甲單獨完成這批零件要用多少天 9、有一項工程，甲隊獨做40天可完成，乙隊獨做60天可完成，現(xiàn)在已知兩隊合做這項工程，但中間甲隊因另有任務調走幾天，所以經過27天才完成全部工作，甲隊離開了幾天10、一件工程，甲5小時先完成了1/4，乙接著用9小時又完成了剩下任務的一半，最后余下的部分由甲、乙合作，還需要多少小時才能完成11、一項工程，先由甲做10天完成了全部工程的1/6；再由乙做5天完成了全部工程的1/4；然后由丙做2天完成了全部工程的1/15。最后甲、乙、丙合做余下的工程，還要幾天可以完成第十一講：圓和扇形（一）（一）基本知識1、圓：圓周長公式：C=πd或C=2πr。圓面積公式：。圓環(huán)面積：圖一圖二圖三2、扇形。如上圖二，連接兩條半徑OA、OB，就可得到一個扇形OAB，扇形面積公式是：S=。扇形的圓弧長=所在圓周長的。其中r是指扇形的在圓的面積，n指的是圓心角的度數(shù)。例1、圖二中n=60°，半徑為6厘米，扇形面積是多少弧AB是多少3、弓形。如上圖三，S弓AC=S扇AOC—S△AOC例2、圖三中，直角三角形AOC的直角邊OA=6厘米，求弓形AC的面積。（二）基本運用例3、街心花園中圓形花壇的周長是米?；▔拿娣e是多少平方米例4、計算下圖陰影部分的面積．(單位：厘米)例5、在一塊長米，寬2米的長方形鐵板上截下2個最大的圓形后，剩下的鐵板面積是多少平方米例6、從一塊邊長10厘米的正方形鐵皮上剪下一個最大的圓，這塊圓形鐵皮的面積是多少平方厘米剩下的面積是多少例7、從一個直徑為10厘米的圓中，剪去一個最大的正方形，正方形面積是多少例8、求下圖中陰影部分的面積和周長。練習一、基本題1、一個圓形花壇的周長是米。花壇的面積是多少平方米2、已知一個圓的面積是平方厘米，求這個圓的周長。3、下圖涂色部分是個環(huán)形，它的內圓半徑是10厘米，外圓半徑是15厘米，它的面積是多少4、從一塊邊長8厘米的正方形鐵皮上剪下一個最大的圓，陰影部分面積是多少5、下圖圓的半徑為6厘米，圓心角為45度，扇形AOC的面積是多少弧AC是多少6、下圖是一個直角邊長為20厘米的等腰直角三角形。求弓形面積。7、求陰影部分的面積：(單位：分米)（π=3）8、右圖中直角三角形ABC的底AB=20厘米，以AB為直徑畫成一個圓，圓心為O，CO垂直于AB，求弓形AC的面積。9、求下圖中陰影部分面積和周長（1）等腰梯形的腰是。（單位：厘米）（2）三角形ABC是等邊三角形，底BC=6厘米，扇形圓心角為120度。思考題：10、在下圖中左右兩個正方形一樣大小，且圖（2）中四個小圓一樣大．試問是圖（1）中的大圓面積大，還是圖（2）中四個小圓的面積之和大請說明理由。第十二講簡單的百分數(shù)應用題（一）百分數(shù)是表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)，叫做百分數(shù)。百分數(shù)也叫做百分率或百分比。百分數(shù)在生活中大量地運用。如出生率、利息、利潤等。一般地，我們可以把百分數(shù)應用題看作分數(shù)應用題來解答。一、一般百分數(shù)應用題例1、東風化肥廠去年計劃生產化肥60萬噸，實際生產了72萬噸。實際產量比計劃超過百分之幾例2、商店賣一種袖珍收音機,現(xiàn)在按八折出售，每臺是元,這種收音機原價每臺多少元例3、有甲、乙兩個倉庫，甲倉庫存糧的2/3正好是乙倉庫存糧的60%，已知乙倉庫存糧1500噸，甲倉庫存糧多少噸例4、工程隊挖一條水渠，每天挖千米，10天挖了全長的70%，還剩多少千米沒有挖例5、學校去年春季植樹500棵，成活率為85％，去年秋季植樹的成活率為90％。已知去年春季比秋季多死了20棵樹，那么去年秋季學校共種多少棵樹分析：成活率是指成活的棵數(shù)占全部棵數(shù)的百分之幾。根據(jù)去年春季成活率85％，可以求出成活棵數(shù)和死了的棵數(shù)。進而求出死了的棵數(shù)，再根據(jù)去年秋季植樹的成活率90％，求出去年秋季種的樹。例6、紡織廠的女工占全廠人數(shù)的80％，一車間的男工占全廠男工的25％。問：一車間的男工占全廠人數(shù)的百分之幾分析：沒有告訴我們具體的數(shù)量，而且求的也是一個不具體的數(shù)量百分比，這樣，我們可以采用設參數(shù)的方法。二、特殊的百分數(shù)應用題——利潤問題在這類問題中，特別的在于，它涉及兩個量的相乘，一是商品的單價，另一個是銷售量。我們要同時把握這兩個量的變化：總價=單價×數(shù)量利潤：一般地，商店購進貨物的錢叫成本（或購入價）。賣出去的錢叫售價（或賣出價）。售價與成本的差叫利潤。利潤與成本的比叫利潤率。售價=成本+利潤=成本+成本×利潤率=成本×（1+利潤率）利潤=售價—成本例7、某商店進貨的批發(fā)價為50元一袋，規(guī)定零售價為70元一袋，求商品的利潤率是多少例8、商店從某供貨商以每臺1200元，購進了50臺空調。該商店以20%的利潤率來定價，空調的定價是多少如果全部按這個價賣出，商店共獲利多少元例9、商場以400元的成本購進一見商品，該商店準備以50%的利潤率來定價，但因為價高，沒有人購買，只好打75折優(yōu)惠，問現(xiàn)在這件商品賣多少元練習1、曙光面粉廠①5000千克小麥可以出面粉4000千克，面粉的出粉率是多少②面粉的出粉率是80％，4000千克小麥可以出面粉多少千克③面粉的出粉率是80％，加工3200千克面粉需要多少千克小麥2、把20克鹽溶解在80克水中，鹽占鹽水的百分之幾3、一家大型超級市場,一月份的營業(yè)額是5000萬元,如果按營業(yè)額的5%繳納營業(yè)稅后,還剩余多少萬元4、甲數(shù)比乙數(shù)多20%，乙數(shù)比甲數(shù)少百分之幾5、某化肥廠第一季度生產化肥2400噸，完成了全年任務的25%，他們準備在第二季度完成全年任務的30%，那么第二季度應生產化肥多少噸6、運送一批樹苗，已運了總數(shù)的％，未運的比已運的少420棵，這批樹苗總數(shù)多少棵7、某商場以每套64元的價格，購進童裝100套，全部銷售完后，共得10000元，求商場銷售這些童裝的利潤率。8、中國書店收購一本舊書,原價12元．收購時按八折作價,然后又按比收購價多5%的價錢售出．書店售出這本書的價錢是多少元9、在某校學生中，男生人數(shù)占全校人數(shù)的60％，女生人數(shù)占全校的40％，那么，男生人數(shù)比女生多百分之幾10、采煤隊三月份上半月完成月計劃的60％，下半月完成月計劃的65％，這個月實際采煤萬噸，這個月超過月計劃多少萬噸11、一家服裝店出售兩種春裝，一種是新式樣，每件賣240元，可賺20%，另一種樣式過時，是處理品賠本20%，每件售價也是240元，問：兩種春裝各出售一件，是賠還是賺賠（或賺）多少12、某校綠化校園植了水杉，柏樹、梧桐三種樹，其中種植水杉的棵數(shù)為總數(shù)的40%，柏樹的棵數(shù)是水杉的7/8，其余的是梧桐樹。已知水杉比梧桐多144棵，水杉是多少棵第十三講分數(shù)應用題復習例1：數(shù)量和分率直接對應一輛汽車4小時行了全程的2/5，照這樣的速度，再行幾小時到達練習：六（1）班，男生比女生少8人，女生比男生多1/3，全班多少人例2：已知量的——對應分率1、一條公路第一天修了全長的1/4，第二天修了全長的2/5，兩天共修了千米，這條公路全長多少米2、一輛汽車行了全程的3/5，這時已超過中點15千米，已行了多少千米3、服裝店分兩次加工一批服裝，第一次做了全部的1/5，第二次比第一次多做90件。這批服裝共多少件4、汽車從A城開往B城，第一小時行全程的1/4，第二小時行全程的1/3，超過中點15千米，A、B兩城相距多少千米5、電視機廠9月份生產一批電視機，上旬生產了全部的3/10，中旬生產的是上旬的2/3，下旬全部完成任務。已知下旬比中旬多生產2250臺，9月份生產電視機多少臺例3：找對應關系1．小紅看一本小說，第一天看總頁數(shù)的1/12還多19頁，第二天看的比總頁數(shù)的1/8少17頁，還余下93頁，這本書共多少頁2、服裝店加工一批服裝，第一次做了全部的1/5，第二次比第一次多做8件。這時做完的比沒做完的少2件，這批服裝共多少件3、一批木料，先用去總數(shù)的2/5，又用去總數(shù)的4/9，這時用去的比剩下的多21方，這批木料共多少方4、有兩只桶裝油50千克，若第一桶里倒出1/5，第二桶里倒進4千克，則兩桶內油相等。原來每只桶各裝油多少千克5、一個班女生比男生的2/3多4人，如果男生減少3人，女生增加4人，那么男女生恰好相等。這個班男、女生各有多少人6、甲、乙、丙、丁四人共同購買一只游艇，甲支付的現(xiàn)金是其余三人所支付的1/4，乙支付的比其余三入所支付的總數(shù)少1/2，丙支付的是其余三人所支付的1/3，丁支付9100元。這只游艇價值多少元7．小強讀一本書，第一天讀全書的4/7，第二天又讀了余下的1/2，這時還有30頁沒讀，這本書共有多少頁8、學校舉行一項數(shù)學講座，整個教室坐滿了人，其中兩人中有一個六年級學生，四人中有一個五年級學生，七人中有一個四年級學生，還有六位老師，整個教室聽課的有多少人六年級分數(shù)應用題練習１、修一條長3000米的路，已經修了30%，還剩多少米沒有修2、碼頭上有一堆石子，賣出eq\f(2,5)，正好是600噸。這堆石子有多少噸賣出了多少噸3、有300千克的面粉，第一天吃了20%，第二天吃了35%。