1.判別下列級(jí)數(shù)是否收斂，若收斂寫出級(jí)數(shù)的和．(1)；(2)解（1）此級(jí)數(shù)為等比級(jí)數(shù)，其公比，級(jí)數(shù)收斂，且和.（2）此級(jí)數(shù)為等比級(jí)數(shù)，其公比，級(jí)數(shù)發(fā)散.2.利用級(jí)數(shù)收斂的性質(zhì)，判斷級(jí)數(shù)的斂散性，若收斂，則求其和.解原式=因?yàn)?，收?，收斂，由性質(zhì)知，級(jí)數(shù)收斂，且和.1.求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù).解因?yàn)閮缂?jí)數(shù)=是等比級(jí)數(shù)，且公比，當(dāng)時(shí)，等比級(jí)數(shù)收斂，即得收斂區(qū)間（-2，2），其和函數(shù).2.求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間.（1）;(2).解(1)因?yàn)椋?，于?所以，收斂半徑；收斂區(qū)間.(2)設(shè)，原冪級(jí)數(shù)改寫為.于是，所以，.由于得，故冪級(jí)數(shù)的收斂半徑收斂，收斂區(qū)間.3.利用matlab軟件，將函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù).解利用matlab軟件，函數(shù)展開的冪級(jí)數(shù)式為1.設(shè)是周期為的函數(shù)，它在上的表示式為其中為不等于零的常數(shù)，將展開為傅立葉級(jí)數(shù).解因?yàn)橹芷诤瘮?shù)的傅立葉系數(shù)，，，所以的傅立葉級(jí)數(shù)為2.設(shè)是周期為的函數(shù)，它在上的表示式為將展開為傅立葉級(jí)數(shù).解因?yàn)橹芷诤瘮?shù)是偶函數(shù)，其傅立葉系數(shù)為，，

-=所以，展開為傅立葉級(jí)數(shù).1.設(shè)是周期為2的函數(shù)，它在上的表示式為將展開為傅立葉級(jí)數(shù).解因?yàn)橹芷诤瘮?shù)的傅立葉系數(shù)，，，所以的傅立葉級(jí)數(shù)為2.將周期為4的函數(shù)展開為傅立葉級(jí)數(shù).解因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，傅立葉系數(shù)為，，

.所以，展開為傅立葉級(jí)數(shù)1.將函數(shù)分別展開為正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù).解將展開為正弦級(jí)數(shù)，對(duì)進(jìn)行奇延拓，由于延拓后的函數(shù)是奇函數(shù)，則，.所以的傅立葉級(jí)數(shù)為.又將展開為余弦級(jí)數(shù)，對(duì)進(jìn)行偶延拓，由于延拓后的函數(shù)是偶函數(shù)，則，，.所以的傅立葉級(jí)數(shù)為.2.將展開為余弦級(jí)數(shù).解將展開為余弦級(jí)數(shù)，對(duì)進(jìn)行偶延拓，由于延拓后的函數(shù)是偶函數(shù)，傅立葉系數(shù)為，，所以，展開為余弦級(jí)數(shù)利用拉氏變換表求下列函數(shù)拉氏變換(1)； (2)；(3)；(4)；(5)； (6).解查表得，(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).求下列各函數(shù)的拉氏變換.(1)； (2)； (3)；(4)； (5). 解(1)；(2)=；(3)=；(4)=；(5)=.求下列函數(shù)的拉氏逆變換(1)； (2)； (3)；(4)； (5).解由拉氏變換逆性質(zhì)，得(1)=.(2)=.(3)=.（4）=.(5)=.1.用拉氏變換解下列微分方程（1）.（2）.解（1）設(shè)，對(duì)微分方程兩端取拉氏變換，有，由線性性質(zhì)，，由微分性質(zhì)，，化簡(jiǎn)，整理，，于是，.對(duì)上述方程兩邊取拉氏逆變換得：.于是，得到方程的解為.(2)設(shè)，對(duì)方程兩邊取拉氏變換,得，代入初始條件得，.取拉氏逆變換得，所以微分方程的解.2.解微分方程組.解設(shè)，對(duì)微分方程兩端取拉氏變換，有將方程組中，得