專題4平面向量及其應用、復數(shù)

考點考情考向考頻

2022年新課標Ⅰ卷T3

平面向量的概念、運算2023年新課標Ⅱ卷T133年3考

2024年新課標Ⅱ卷T3

2022年新課標Ⅱ卷T4

平面向量基本定理及坐標表

平2023年新課標Ⅰ卷T33年3考

示

面2024年新課標Ⅰ卷T3

向2022年新課標Ⅰ卷T18

量2022年新課標Ⅱ卷T18

2023年新課標Ⅰ卷T17

平面向量的應用(解三角形)3年6考

2023年新課標Ⅱ卷T17

2024年新課標Ⅰ卷T15

2024年新課標Ⅱ卷T15

2022年新課標Ⅰ卷T2

2022年新課標Ⅱ卷T2

復數(shù)2023年新課標Ⅰ卷T2

3年6考

2023年新課標Ⅱ卷T1

2024年新課標Ⅰ卷T2

2024年新課標Ⅱ卷T1

近三年的高考命題，本專題重點考查向量的模，向量的數(shù)乘運算和線性運算

及幾何意義、向量的數(shù)量積；復數(shù)的加減法、乘除法運算，共軛復數(shù)及復數(shù)的幾

何表示，正弦定理、余弦定理和三角形面積公式．常以容易題或中檔題形式考查

復數(shù)與平面向量，以中檔題形式考查正弦定理、余弦定理和三角形面積公式在解

三角形中的應用，同時考查簡單的三角恒等變換能力．本專題考查數(shù)學抽象與數(shù)

學運算素養(yǎng)，考查數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸數(shù)學思想．

向量、解三角形和復數(shù)是每年高考的必考熱點內(nèi)容，從近幾年高考來看，向

量、解三角形和復數(shù)每年幾乎均有一考題，考題難度為容易題或中檔題，同時向

量有時也作為一個已知條件在解答題中出現(xiàn)．向量、解三角形和復數(shù)是考生的主

要得分點之一．

平面向量在高考中，主要考查平面向量基本定理，向量的基本運算，包括向

量的線性運算和數(shù)量積運算，計算向量的模與夾角，向量的共線、垂直等．試題

難度一般是容易或中檔偏易．向量具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”，是

中學數(shù)學的一個重要交匯點，突出向量的工具作用，應注意平面向量與平面幾何、

三角函數(shù)、解析幾何等知識相聯(lián)系的綜合問題．

正弦定理、余弦定理在新課標中以中檔難度的解答題形式命題，主要考查解

三角形的知識、方法與技能，同時考查三角恒等變換的技能．復習應注意培養(yǎng)解

三角形的綜合應用與實際應用意識．

復數(shù)主要考查復數(shù)的概念(如模、共軛等)、復數(shù)的幾何意義，重點考查復數(shù)的

運算(主要是乘法、除法).試題多為容易題，主要分布在試卷的第1～3題或第12

題的位置；同時可能命制多選題，位于第9題的位置．對復數(shù)的復習應掌握好復

數(shù)的基本概念和復數(shù)表示實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的充要條件，掌握復數(shù)代數(shù)形式的

加、減、乘、除運算法則，重視復數(shù)相等的充要條件及應用．

第22講平面向量的概念及線性運算

[課標要求]1.了解向量的實際背景(力、速度、位移)，理解向量和向量相等

的含義，理解向量的幾何表示和基本要素.2.掌握向量的加、減法的運算，并理解

其幾何意義.3.掌握向量的數(shù)乘運算，并理解其幾何意義以及兩個向量共線(平行)

的含義．

授課提示：聽課手冊P89

1．向量的有關(guān)概念

(1)向量的定義：既有__大小__又有__方向__的量叫做向量．用有向線段表示

向量時，有向線段的長度表示向量的__大小(叫做向量的模)__，有向線段的箭頭所

指的方向表示向量的__方向__．

(2)兩個特殊向量

__長度為0__的向量叫做零向量，記作0.

__長度等于1個單位長度__的向量叫做單位向量．

(3)平行向量(或共線向量)

①方向__相同或相反__的__非零__向量叫做平行向量，因為任一組平行向量

都可以平移到同一條直線上，所以平行向量也叫做__共線__向量．

②規(guī)定0與任意向量平行．

③長度__相等__且方向__相同__的向量叫做相等向量．

2．向量的線性運算

(1)向量的加法

①定義：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法．

②法則：向量的加法有__三角形__法則和__平行四邊形__法則．

③幾何意義：如下圖所示．

④運算律：

a＋b＝__b＋a__；

(a＋b)＋c＝__a＋(b＋c)__．

(2)向量的減法

①定義：減去一個向量相當于加上這個向量的__相反向量__．

②法則：向量的減法符合三角形法則．

③幾何意義：如下圖所示．

(3)向量的數(shù)乘運算

①定義：實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作λa，

它的長度和方向規(guī)定如下：

(ⅰ)|λa|＝__|λ||a|__；

(ⅱ)當λ>0時，λa的方向與a的方向__相同__；

當λ<0時，λa的方向與a的方向__相反__；

當λ＝0時，λa＝__0__．

②運算律

a，b，c為任意向量，λ，μ為實數(shù)．

λ(μa)＝__(λμ)a__；

(λ＋μ)a＝__λa＋μa__；

λ(a＋b)＝__λa＋λb__．

3．向量共線定理

向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使__b＝λa__．

1．在平行四邊形中，如圖：

(1)若a，b為不共線的兩個向量，則a＋b，a－b為以a，b為鄰邊的平行四邊

形的兩條對角線表示的向量．

→1

(2)AO＝(a＋b).

2

(3)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2).

2．在△ABC中：

→1→→→

(1)PG＝(PA＋PB＋PC)(向量式)?G是△ABC的重心．

3

→→→

(2)G為△ABC的重心?GA＋GB＋GC＝0.

→→

ABAC

＋≠所在直線即∠的平分線所在直線過△的內(nèi)心．

(3)λ(→→)(λ0)(BAC)ABC

|AB||AC|

3．共線的有關(guān)結(jié)論：

→→

(1)A，B，C三點共線?AB，AC共線．

→→→

(2)OA＝xOB＋yOC(x，y為實數(shù))，若點A，B，C共線，則x＋y＝1.

4．一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量的起點指向最后

→→→→→

一個向量的終點的向量，即A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋An－1An＝A1An.特別地，一個封

閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量．

1．下列關(guān)于向量的描述正確的是()

A．若向量a，b都是單位向量，則a＝b

B．若向量a，b都是單位向量，則a·b＝1

C．任何非零向量都有唯一的與之共線的單位向量

D．平面內(nèi)起點相同的所有單位向量的終點共圓

解析：D對于A，向量包括長度和方向，單位向量的長度相同，均為1，方

向不定，故向量a和b不一定相同，A錯誤；

對于B，因為a·b＝|a||b|cosθ＝cosθ，由cosθ∈[－1，1]知，a·b＝1不一

定成立，B錯誤；

對于C，任意一個非零向量有兩個與之共線的單位向量，C錯誤；

對于D，因為所有單位向量的模為1，且共起點，所以所有單位向量的終點在

半徑為1的圓周上，D正確．故選D.

2．設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實數(shù)λ＝__________.

1λ＝k，

解析：因為向量λa＋b與a＋2b平行，所以λa＋b＝k(a＋2b)，則

21＝2k，

1

所以λ＝.

2

→

3．(教材母題必修習題6.3T1)在△ABC中，點D在邊AB上，BD＝2DA.記CA

→→

＝m，CD＝n，則CB＝()

A．3m－2nB．－2m＋3n

C．3m＋2nD．2m＋3n

→→

解析：B因為點D在邊AB上，BD＝2DA，所以BD＝2DA，

→→→→

即CD－CB＝2(CA－CD)，

→→→

所以CB＝3CD－2CA＝3n－2m＝－2m＋3n.故選B.

→→

4．在△ABC中，點D是線段AC上一點，點P是線段BD上一點，且CD＝DA，

→2→→

AP＝AB＋λAC，則λ＝()

3

11

A．B．

63

25

C．D．

36

→→→1→→→→2→→

解析：A因為CD＝DA，所以AD＝AC，即AC＝2AD，又AP＝AB＋λAC，

23

→2→→

所以AP＝AB＋2λAD，因為點P是線段BD上一點，即B，P，D三點共線，所以

3

21

＋2λ＝1，解得λ＝.故選A.

36

→→→→

5．在四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，若2OA＋OC＝2OD＋OB，

則四邊形ABCD的形狀為__________.

→→→→

解析：梯形因為2OA＋OC＝2OD＋OB，

→→→→→→

所以2(OA－OD)＝OB－OC，即2DA＝CB，

→→→1→

所以DA∥CB，且|DA|＝|CB|，

2

所以四邊形ABCD是梯形．

授課提示：聽課手冊P91

探究點1平面向量的概念

【例1】(1)以下說法中，正確說法的個數(shù)是()

①|(zhì)a|與|b|是否相等與a，b的方向無關(guān)

②兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量

③兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大小

④單位向量都是共線向量

⑤零向量的長度為0，沒有方向

A．0B．1

C．2D．3

(2)(多選)下列關(guān)于平面向量的說法中正確的是()

A．已知a，b均為非零向量，則a∥b存在唯一的實數(shù)λ，使得b＝λa

→→

B．若向量AB，CD共線，則點A，B，C，D必在同一直線上

C．若a·c＝b·c且c≠0，則a＝b

→→→

D．若點G為△ABC的重心，則GA＋GB＋GC＝0

解析：(1)C①正確，|a|與|b|是模長，與方向無關(guān)；

②錯誤，共終點不代表共線，向量的方向是由起點和終點共同決定的；

③正確；

④錯誤，單位向量的定義只是模長為1，方向有無數(shù)種情況；

⑤錯誤，零向量也有方向，只是方向任意．故選C.

(2)AD對于A，若a，b均為非零向量，則a∥b存在唯一的實數(shù)λ，使得b

＝λa，A正確；

→→

對于B，若向量AB，CD共線，則點A，B，C，D在同一直線上，或A，B，

C，D為平面四邊形的四個頂點，B錯誤；

對于C，若a·c＝b·c且c≠0，則c·(a－b)＝0，不一定有a＝b，可能存在

c⊥(a－b)，C錯誤；

對于D，點G為△ABC的重心，延長AG交BC于M，可得M為BC的中點，

→→1→→→→→→→

即有AG＝2GM＝2×(GB＋GC)＝GB＋GC，即為GA＋GB＋GC＝0，D正確．故

2

選AD.

分析有關(guān)向量的概念問題，應注意向量有關(guān)概念的5個關(guān)鍵點：(1)向量：方

向、長度．(2)非零共線向量：方向相同或相反．(3)單位向量：長度是一個單位長

度．(4)零向量：方向沒有限制，長度是0.(5)相等向量：方向相同且長度相等．

變式探究

1．下列有關(guān)平面向量的命題正確的是()

A．若a∥b，b∥c，則a∥c

B．若a與b共線且模長相等，則a＝b

C．若|a|>|b|且a與b方向相同，則a>b

D．(λa)·b＝λ(a·b)＝(λb)·a恒成立

解析：D對于A，取b＝0，滿足a∥b，b∥c，但a，c不一定共線，A錯誤；

對于B，若a與b共線且模長相等，則a＝b或a＝－b，B錯誤；

對于C，任何兩個向量不能比大小，C錯誤；

對于D，(λa)·b＝λ(a·b)＝(λb)·a恒成立，D正確．故選D.

2．(多選)給出下列命題，正確的有()

A．零向量是唯一沒有方向的向量

→→

B．若A，B，C，D是不共線的四點，且AB＝DC，則四邊形ABCD為平行四

邊形

ab

C．若a，b都為非零向量，則使＋＝0成立的條件是a與b反向共線

|a||b|

D．已知λ，μ為實數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線

解析：BC零向量是有方向的，其方向是任意的，A錯誤；

→→→→→→

因為AB＝DC，所以|AB|＝|DC|且AB∥DC，又A，B，C，D是不共線的四點，

所以四邊形ABCD為平行四邊形，B正確；

abab

因為與都是單位向量，所以只有當與是相反向量，即a與b反向共

|a||b||a||b|

線時才成立，C正確；

當λ＝μ＝0時，a與b可以為任意向量，滿足λa＝μb，但a與b不一定共線，

D錯誤．故選BC.

探究點2平面向量的線性運算

→→→

【例2】(1)在△ABC中，D是BC的中點，E在AD上，且AE＝2ED，則BE

＝()

1→2→1→2→

A．AB－ACB．－AB＋AC

3333

2→1→2→1→

C．AB－ACD．－AB＋AC

3333

(2)(多選)如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是CD邊上的兩個三等分

點，則下列選項正確的有()

→1→

A．EF＝AB

3

→→→→

B．AD＋DC＝AB＋BC

→→→

C．BE＝CB－CE

→2→1→

D．AF＝AD＋AC

33

→→→

(3)如圖，點O是△ABC的重心，點D是邊BC上一點，且BC＝4DC，OD＝

→→m

mAB＋nAC，則＝()

n

11

A．B．－

54

11

C．－D．

54

解析：(1)D因為D是BC的中點，

→1→1→

所以AD＝AB＋AC.

22

→→

因為AE＝2ED，

→2→1→1→

所以AE＝AD＝AB＋AC，

333

→→→2→1→

則BE＝AE－AB＝－AB＋AC.故選D.

33

→→

(2)AB由題意知，E，F(xiàn)分別是CD邊上的兩個三等分點，且EF與AB方向相

→1→

同，則EF＝AB，A正確；

3

→→→→→→→→→→

由圖可知，AD＋DC＝AC，AB＋BC＝AC，所以AD＋DC＝AB＋BC，B正確；

→→→

CB－CE＝EB，C錯誤；

→→→→2→→2→→1→2→

AF＝AD＋DF＝AD＋DC＝AD＋(AC－AD)＝AD＋AC，D錯誤．故選AB.

3333

(3)C如圖所示，延長AO交BC于E，已知O為△ABC的重心，則點E為

→→→1→→→→

BC的中點，可得AO＝2OE，且AE＝(AB＋AC)，又由BC＝4DC，可得D是BC

2

的四等分點，

→→→1→1→11→→1→→1→5→

則OD＝OE＋ED＝AE＋BC＝×(AB＋AC)＋(AC－AB)＝－AB＋AC，

343241212

→→→

因為OD＝mAB＋nAC，

15

所以m＝－，n＝，

1212

m1

所以＝－.故選C.

n5

平面向量的線性表示應注意：(1)目標明確，注意尋找需要表示的向量與已知

向量的聯(lián)系；(2)構(gòu)造三角形(平行四邊形)，創(chuàng)造利用向量加法、減法及數(shù)乘向量

的條件；(3)注意平面幾何知識的運用，如利用三角形中位線定理、相似三角形的

性質(zhì)等．

變式探究

→→

3．如圖所示，在△ABC中，D為BC邊上靠近點B的三等分點，若AB＝a，AC

→

＝b，E為AD的中點，則BE＝()

2121

A．－a＋bB．a(chǎn)＋b

3636

1111

C．－a＋bD．a(chǎn)＋b

3636

→→→1→→1→1→→1→1→→

解析：ABE＝AE－AB＝AD－AB＝(AB＋BC)－AB＝－AB＋(AC－AB)

22326

2→1→21

＝－AB＋AC＝－a＋b，故選A.

3636

→→→→1→

4．如圖，在△ABC中，AD＝3DB，P為CD上一點，且滿足AP＝mAC＋AB，

2

則實數(shù)m的值為()

11

A．B．

23

11

C．D．

45

→→

解析：B已知P為CD上一點，設(shè)DP＝λDC，

→→→3→

因為AD＝3DB，所以AD＝AB，

4

則由向量的加法與減法運算可得

→→→→→

AP＝AD＋DP＝AD＋λDC

→→→

＝AD＋λ(AC－AD)

→→

＝(1－λ)AD＋λAC

3→→

＝(1－λ)AB＋λAC.

4

→→1→

因為AP＝mAC＋AB，

2

1

13m＝，

＝(1－λ)，3

24

所以解得1故選B.

＝，λ＝，

mλ3

→1→→1→→→

5．在△ABC中，BE＝EC，BF＝(BA＋BC)，點P為AE與BF的交點，AP

22

→→

＝λAB＋μAC，則λ－μ＝()

1

A．0B．

4

13

C．D．

24

→1→→

解析：B因為BF＝(BA＋BC)，所以F為AC的中點．又B，P，F(xiàn)三點共

2

→→→→→→

線，故可設(shè)BP＝kBF，即AP－AB＝k(AF－AB)，

→→→→1→

整理得AP＝kAF＋(1－k)AB＝(1－k)AB＋kAC.

2

→1→→→1→1→→1→2→

因為BE＝EC，所以AE－AB＝AC－AE，即AE＝AC＋AB，

22233

→→1→2→1→2→

又A，P，E三點共線，可得AP＝mAE＝m(AC＋AB)＝mAC＋mAB，

3333

2m1

＝1－k，k＝，

32

所以m1解得3

＝k，m＝，

324

→1→1→111

所以AP＝AB＋AC，則λ＝，μ＝，故λ－μ＝.故選B.

24244

探究點3向量共線定理及應用

→→→

【例3】(1)已知向量a，b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，

則一定共線的三點是()

A．A，B，DB．A，B，C

C．B，C，DD．A，C，D

(2)已知向量a，b不共線，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c與d同向共線，

則實數(shù)λ的值為()

1

A．1B．－

2

11

C．1或－D．－1或－

22

→

(3)已知O，A，B，C是平面上的4個定點，A，B，C不共線，若點P滿足OP

→→→

＝OA＋λ(AB＋AC)，其中λ∈R，則點P的軌跡一定經(jīng)過△ABC的()

A．重心B．外心

C．內(nèi)心D．垂心

→→→→→→

解析：(1)A依題意AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，AD＝AB＋BC

→→

＋CD＝3a＋6b＝3AB，

→→

所以AB，AD共線，所以A，B，D三點共線，A正確．

→→→→→→→

AC＝AB＋BC＝－4a＋8b，則AB，AC不共線、AC，CD不共線，B、D錯誤．

→→→→→

BD＝BC＋CD＝2a＋4b，則BC，BD不共線，C錯誤．故選A.

(2)A因為c與d同向共線，所以存在μ(μ>0)使得c＝μd，

即λa＋b＝μ[a＋(2λ－1)b]＝μa＋μ(2λ－1)b，

又向量a，b不共線，

λ＝μ，

所以

1＝μ(2λ－1)，

1

解得λ＝－(舍去)或λ＝1.故選A.

2

→→→

(3)A如圖，取線段BC的中點E，則AB＋AC＝2AE.

→→→→

動點P滿足：OP＝OA＋λ(AB＋AC)，λ∈R，

→→→→→→→

則OP－OA＝2λAE，即AP＝2λAE，所以AP∥AE，

又AP∩AE＝A，所以A，E，P三點共線，即點P的軌跡是直線AE，一定通

過△ABC的重心．故選A.

(1)證明三點共線問題，可轉(zhuǎn)化為證明兩向量平行，再說明兩個向量有公共點．

→→

A，B，C三點共線?AB，AC共線．

(2)證明兩向量共線，其基本方法是利用兩向量共線定理進行證明，即找到實

數(shù)λ，使得b＝λa(a為非零向量)，則a與b共線．

→

(3)注意如下結(jié)論的運用：①若a與b不共線，且λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.②OA

→→

＝λOB＋μOC(λ，μ為實數(shù))，若A，B，C三點共線，則λ＋μ＝1.

變式探究

→2→

6．(2024·黑龍江雙鴨山一中高三?？?如圖，在△ABC中，BD＝BC，E為

3

→→→26

線段AD上的動點，且CE＝xCA＋yCB，則＋的最小值為()

xy

A．8B．12

C．32D．16

→2→→1→

解析：C因為BD＝BC，所以CD＝CB，

33

→→→→→→

因為CE＝xCA＋yCB，所以CE＝xCA＋3yCD，

因為A，D，E三點共線，所以x＋3y＝1，x>0，y>0，

26266y6x6y6x

所以＋＝(＋)(x＋3y)＝20＋＋≥20＋2×＝20＋12＝32，

xyxyxyxy

6y6x126

當且僅當＝，即x＝y(tǒng)＝時取等號，所以＋的最小值是32.故選C.

xy4xy

→

7．如圖所示，O點在△ABC內(nèi)部，D，E分別是AC，BC邊的中點，且有OA

→→

＋2OB＋3OC＝0，則△AEC的面積與△AOC的面積的比為()

32

A．B．

23

43

C．D．

34

→→→→→→→

解析：A由OA＋2OB＋3OC＝0可得OA＋OC＝－2(OB＋OC)，

又因為D，E分別是AC，BC邊的中點，

→→→→→→

所以O(shè)A＋OC＝2OD，OB＋OC＝2OE，

→→→→

所以2OD＝－4OE，即OD＝－2OE，

|DE|3

所以O(shè)，D，E三點共線，且＝，所以E到AC的距離與O到AC的距

|OD|2

離之比也為3，

2

又△AEC的面積與△AOC的面積都以AC為底，所以△AEC的面積與△AOC

3

的面積的比為.故選A.

2

8．(多選)(2024·遼寧二模)△ABC的重心為點G，點O，P是△ABC所在平

→→→→

面內(nèi)兩個不同的點，滿足OP＝OA＋OB＋OC，則()

A．O，P，G三點共線

→→

B．OP＝2OG

→→→→

C．2OP＝AP＋BP＋CP

D．點P在△ABC的內(nèi)部

→→→→→→→→→→→→

解析：ACOP＝OA＋OB＋OC＝OG＋GA＋OG＋GB＋OG＋GC＝3OG＋GA

→→

＋GB＋GC，

→→→→→

因為點G為△ABC的重心，所以GA＋GB＋GC＝0，所以O(shè)P＝3OG，

所以O(shè)，P，G三點共線，A正確，B錯誤；

→→→→→→→→→→→→→

AP＋BP＋CP＝AO＋OP＋BO＋OP＋CO＋OP＝(AO＋BO＋CO)＋3OP，

→→→→

因為OP＝OA＋OB＋OC，

→→→→→→→

所以(AO＋BO＋CO)＋3OP＝－OP＋3OP＝2OP，

→→→→

即2OP＝AP＋BP＋CP，C正確；

→→

因為OP＝3OG，所以點P的位置隨著點O位置的變化而變化，故點P不一定

在△ABC的內(nèi)部，D錯誤．故選AC.

授課提示：訓練手冊P353

1．下列命題中：

①零向量的長度為0；

②零向量的方向任意；

③單位向量都相等；

a

④與非零向量a共線的單位向量為±.

|a|

其中真命題的個數(shù)是（）

A．1B．2

C．3D．4

解析：C①②④都是真命題，對于單位向量只規(guī)定了大小，沒有規(guī)定方向，

所以③是假命題．故選C.

2．如圖所示，設(shè)e1，e2是兩個垂直的單位向量，則a－b＝（）

A．2e1－3e2B．－2e1＋3e2

C．3e1－2e2D．－3e1＋2e2

解析：A由題意得，a＝3e1＋e2，b＝e1＋4e2，故a－b＝3e1＋e2－(e1＋4e2)

＝2e1－3e2.故選A.

ab

3．設(shè)a，b是非零向量，“＝”是“a＝b”的（）

|a||b|

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

ab

解析：B由＝表示單位向量相等，得a，b同向，但不能確定它們模是

|a||b|

否相等，即不能推出a＝b.

由a＝b表示a，b同向且模相等，

得a＝b，

|a||b|

ab

所以“＝”是“a＝b”的必要不充分條件．故選B.

|a||b|

→→→

4．設(shè)e是單位向量，AB＝3e，CD＝－3e，|AD|＝3，則四邊形ABCD是（）

A．梯形B．菱形

C．矩形D．正方形

→→

解析：B因為AB＝3e，CD＝－3e，

→→

所以AB＝3e＝－CD，

→→→→

即AB∥CD，|AB|＝|CD|＝|3e|＝3|e|＝3，

所以四邊形ABCD是平行四邊形，

→→→

因為|AD|＝3，即|AB|＝|AD|，所以四邊形ABCD是菱形．故選B.

→→→

5．已知向量a和b不共線，向量AB＝a＋mb，BC＝5a＋3b，CD＝－3a＋3b，

若A，B，D三點共線，則m＝（）

A．3B．2

C．1D．－2

→→

解析：A因為A，B，D三點共線，所以存在實數(shù)λ，使得BD＝λAB，

→→→

BD＝BC＋CD＝2a＋6b，

2＝λ，

所以2a＋6b＝λa＋mλb，所以解得m＝3.故選A.

6＝mλ，

→

6．(多選)(2024·重慶萬州校考)下列各式中能化簡為AD的是（）

→→→

A．MB＋AD＋BM

→→→→

B．AD＋MB＋BC＋CM

→→→

C．AB＋CD＋BC

→→→

D．OA－OC＋CD

→→→→→→→

解析：ABC對于A，MB＋AD＋BM＝MB＋BM＋AD＝AD，A正確；

→→→→→→→→→

對于B，AD＋MB＋BC＋CM＝AD＋(MB＋BC＋CM)＝AD，B正確；

→→→→→→→

對于C，AB＋CD＋BC＝AB＋BC＋CD＝AD，C正確；

→→→→→

對于D，OA－OC＋CD＝CA＋CD，D錯誤．故選ABC.

→→

7．(2025·山東煙臺高三期中)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點，BC＝2CD，E

→

為BC的中點，則AE＝（）

2→1→1→2→

A．AB＋ADB．AB＋AD

3333

2→1→1→2→

C．AB－ADD．AB－AD

3333

解析：A如圖，因為E為BC的中點，

→→→→1→→1→→2→1→

所以AE＝AB＋BE＝AB＋BD＝AB＋(AD－AB)＝AB＋AD，故選A.

3333

→→→

8．已知向量AB＝a＋5b，BC＝－2a＋8b，CD＝3(a－b).則A，B，D三點的

→→→

位置關(guān)系是______________；若CA＝xCB－BD，則x的值為__________．

解析：共線1

→→→→

因為BD＝BC＋CD＝a＋5b＝AB，故A，B，D三點共線．

→→→→→→→

因為CA＝－(AB＋BC)＝a－13b，xCB－BD＝－xBC－BD＝(2x－1)a－(8x＋

5)b，

則有a－13b＝(2x－1)a－(8x＋5)b，

1＝2x－1，

即解得x＝1.

－13＝－(8x＋5)，

→→

9．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若aBA＋(b－2c)BC

→

＋cAC＝0，則△ABC的形狀是（）

A．等腰三角形B．等邊三角形

C．等腰直角三角形D．鈍角三角形

→→→

解析：B因為aBA＋(b－2c)BC＋cAC＝0，

→→

所以(a－c)BA＋(b－c)BC＝0，

所以a－c＝0，b－c＝0，所以a＝b＝c，

故△ABC為等邊三角形．故選B.

10．如圖，在平行四邊形ABCD中，M是邊CD的中點，N是AM的一個三

→→→

等分點(|AN|<|NM|)，若存在實數(shù)λ和μ，使得BN＝λAB＋μAD，則λ＋μ＝（）

51

A．B．

42

15

C．－D．－

24

→1→

解析：C因為N是AM的一個三等分點(|AN|<|NM|)，所以AN＝AM.

3

因為M是邊CD的中點，

→1→1→

所以DM＝DC＝AB.

22

→→→1→→1→→→1→1→→5→

又BN＝AN－AB＝AM－AB＝(AD＋DM)－AB＝(AD＋AB)－AB＝－AB

33326

1→

＋AD，

3

511

所以λ＋μ＝－＋＝－.故選C.

632

→→

11．已知△ABC的面積為24，點D，E分別在邊BC，AC上，且滿足CE＝3EA，

→→

CD＝2DB，連接AD，BE交于點F，則△ABF的面積為________.

→→→→

解析：4由CE＝3EA，CD＝2DB，

→→→→1→→1→→1→3→

得BE＝BA＋AE＝BA＋AC＝BA＋(BC－BA)＝BC＋BA.

4444

→→1→→1→3→3→3→→3λ→

設(shè)BF＝λBE，所以BF＝BE＝BC＋BA＝BD＋BABF＝BD＋

λ44444

3λ→

BA，

4

如圖，由于A，F(xiàn)，D三點共線，

3λ3λ2→2→

所以＋＝1?λ＝，所以BF＝BE.

4433

→→→3→

由CE＝3EA得CE＝CA，

4

1

所以S△ABE＝S△ABC＝6，

4

→2→2

由BF＝BE得S△ABF＝S△ABE＝4.

33

→3→

12．在△ABC中，點D滿足BC＝BD，點E為線段CD上異于C，D的動點，

4

→→→

若AE＝λAB＋μAC，則λ2＋μ2的取值范圍是__________.

17→→

解析：(1，)由題意設(shè)CE＝mCD，m∈(0，1)，

9

→3→

因為BC＝BD，

4

→1→1→→

所以CD＝BC＝(AC－AB)，

33

→→→→m→→m→m→

所以AE＝AC＋CE＝AC＋(AC－AB)＝(1＋)AC－AB.

333

λ＝－m，

→→→3

又AE＝λAB＋μAC，則m

μ＝1＋，

3

22239

所以λ2＋μ2＝1＋m＋m2＝[(m＋)2－]＋1.

39924

17

又因為m∈(0，1)，所以λ2＋μ2∈(1，)，

9

17

所以λ2＋μ2的取值范圍為(1，).

9

13．圖1是世界最高橋——北盤江第一橋．圖2是根據(jù)圖1作的簡易側(cè)視圖(為

便于計算，側(cè)視圖與實物有區(qū)別).在側(cè)視圖中，斜拉桿PA，PB，PC，PD的一端

P在垂直于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D與塔柱上的點O都在橋面同一

→→

側(cè)的水平直線上．已知AB＝8m，BO＝16m，PO＝12m，PB·PC＝0.根據(jù)物理

1→→1→→→

學知識得(PA＋PB)＋(PC＋PD)＝2PO，則CD＝（）

22

A．28mB．20m

C．31mD．22m

→→

解析：D因為PB·PC＝0，

所以PB⊥PC.

因為PO⊥BC，所以△POC∽△BOP，

POOC

所以＝，所以PO2＝OB·OC.

OBP