專(zhuān)題訓(xùn)練：線段垂直平分線題型1線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用方法技巧：掌握線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等注意：（1）這里的距離指的是點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，也就是兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度。（2）在使用該定理時(shí)必須保證兩個(gè)前提條件：一是垂直于這條線段，二是平分這條線段。1．（2021·河南八年級(jí)期末）如圖，在中，連接，按以下步驟作圖：分別以點(diǎn)，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧分別相交于點(diǎn)，，作直線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，，則的周長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)證明DE+AE=DE+EC=AC即可解決問(wèn)題．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC=3，CD=AB=5，由作圖可知：EF垂直平分線線段AC，∴EA=EC，∴△ADE的周長(zhǎng)=AD+DE+AE=AD+DE+EC=AD+CD=3+5=8，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．2．（2021·山東臨沂市·八年級(jí)期末）如圖，中，，，，于點(diǎn)，是的垂直平分線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，在上確定一點(diǎn)，使最小，則這個(gè)最小值為（）A．3.5 B．4 C．4.5 D．5【答案】B【分析】根據(jù)三角形的面積公式得到AD=4，由EF垂直平分AB，得到點(diǎn)A，B關(guān)于直線EF對(duì)稱(chēng)，于是得到AD=PB+PD的最小值，即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵AB=AC，BC=3，S△ABC=6，AD⊥BC于點(diǎn)D，∴AD=4，∵EF垂直平分AB，∴點(diǎn)A，B關(guān)于直線EF對(duì)稱(chēng)，∴EF與AD的交點(diǎn)P即為所求，如圖，連接PB，此時(shí)PA=PB，PB+PD=PA+PD=AD，AD=PB+PD的最小值，即PB+PD的最小值為4，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題，線段的垂直平分線的性質(zhì)，凡是涉及最短距離的問(wèn)題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱(chēng)變換來(lái)解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．3．（2021·廣東七年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠B＝65°，∠C＝28°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN，連接AD，則∠BAD的度數(shù)為_(kāi)__．【答案】69°【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC的度數(shù)，再由線段垂直平分線的性質(zhì)得出∠C=∠CAD，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：∵△ABC中，∠B=55°，∠C=28°，∴∠BAC=180°-55°-28°=97°．∵直線MN是線段AC的垂直平分線，∴∠C=∠CAD=28°，∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=97°-28°=69°．故答案為：69°．【點(diǎn)睛】本題考查的是作圖-基本作圖，熟知線段垂直平分線的作法是解答此題的關(guān)鍵．4．（2021·山東八年級(jí)期末）如圖，在中，，，，直線是中邊的垂直平分線，是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)________．【答案】【分析】根據(jù)題意知點(diǎn)C關(guān)于直線m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)B，故當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，AP＋CP值的最小，求出AB長(zhǎng)度即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵直線m垂直平分BC，∴B、C關(guān)于直線m對(duì)稱(chēng)，設(shè)直線m交AB于D，∴當(dāng)P和D重合時(shí)，AP＋CP的值最小，最小值等于AB的長(zhǎng)，∴△APC周長(zhǎng)的最小值是6＋4＝10．故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，軸對(duì)稱(chēng)?最短路線問(wèn)題的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是找出P的位置．5．（2021·河北九年級(jí)二模）如圖，已知鈍角，依下列步驟尺規(guī)作圖，并保留了作圖痕跡．步驟1：以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)?、?；步驟2：以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)?、冢换、儆邳c(diǎn)；步驟3：連接，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．則下列說(shuō)法不正確的是（）A．是中邊上的高B．C．平分D．作圖依據(jù)是：①兩點(diǎn)確定一條直線；②到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上【答案】C【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的判定解決問(wèn)題即可．【詳解】解：如圖，連接，，由作圖步驟可知，，，由①兩點(diǎn)確定一條直線，②到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，可知為的垂直平分線，即，，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查作圖－基本作圖，線段的垂直平分線的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是判定圖示所做為垂直平分線．6．（2021.江蘇八年級(jí)期中）如圖，中，邊的垂直平分線交于點(diǎn)P．（1）求證：．（2）點(diǎn)P是否也在邊的垂直平分線上？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）在，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可求得，PA=PB，PB=PC，則PA=PB=PC．（2）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)的逆定理，可得點(diǎn)P在邊AC的垂直平分線上．【詳解】解：（1）證明：∵邊AB、BC的垂直平分線交于點(diǎn)P，∴PA=PB，PB=PC．∴PA=PB=PC．（2）∵PA=PC，∴點(diǎn)P在邊AC的垂直平分線上．【點(diǎn)睛】此題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理：（1）線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；（2）和一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上．7．（2021·湖南懷化市·八年級(jí)期末）如圖．在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．（1）用直尺和圓規(guī)作AB的垂直平分線，分別交AB、AC于D、E，交BC的延長(zhǎng)線于F，連接EB．（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）（2）求證：EB平分∠ABC．（3）求證：AE=EF．【答案】見(jiàn)解析【分析】（1）先作線段AB的垂直平分線DE，再延長(zhǎng)BC即可；（2）先利用直角三角形的性質(zhì)求∠ABC=60，再垂直平分線的性質(zhì)得到∠ABE=∠A=30，再求出∠EBC=∠ABC-∠ABE=30，即可得到∠EBC=∠ABE，得到答案；（3）證明：先利用直角三角形的性質(zhì)求∠DEB=90-∠ABE=60再利用三角形外角的性質(zhì)求∠EFB=∠DEB-∠EBC=60-30=30，進(jìn)而得∠EFB=∠EBC，證得BE=EF，又因?yàn)锳E=BE，利用等量代換即可求得答案．【詳解】（1）如圖，即為所求；（2）證明：∵DE是AB的垂直平分線∴DE⊥AB∴AE=BE∵∠A=30，∠ACB=90∴∠ABE=∠A=30，∠ABC=90-∠A=60∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60-30=30∴∠EBC=∠ABE∴EB平分∠ABC．（3）證