專升本試題及答案數(shù)學(xué)

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}\)的定義域是（）A.\(x\geq0\)B.\(x\geq1\)C.\(x\gt1\)D.\(x\gt0\)2.\(\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}=\)（）A.0B.1C.2D.\(\frac{1}{2}\)3.函數(shù)\(y=x^3\)的導(dǎo)數(shù)\(y^\prime=\)（）A.\(x^2\)B.\(3x^2\)C.\(3x\)D.\(x^3\)4.曲線\(y=x^2\)在點\((1,1)\)處的切線斜率為（）A.1B.2C.3D.45.\(\intx^2dx=\)（）A.\(\frac{1}{3}x^3+C\)B.\(x^3+C\)C.\(\frac{1}{2}x^2+C\)D.\(2x+C\)6.設(shè)\(f(x)\)的一個原函數(shù)為\(x^2\)，則\(f(x)=\)（）A.\(2x\)B.\(x^2\)C.\(\frac{1}{2}x\)D.\(2\)7.函數(shù)\(y=\lnx\)在區(qū)間\([1,e]\)上滿足拉格朗日中值定理的\(\xi=\)（）A.\(\frac{e+1}{2}\)B.\(e-1\)C.\(e\)D.\(e-1\)8.二元函數(shù)\(z=x^2+y^2\)在點\((0,0)\)處（）A.有極大值B.有極小值C.無極值D.不是駐點9.微分方程\(y^\prime-y=0\)的通解是（）A.\(y=Ce^x\)B.\(y=Cx\)C.\(y=C\)D.\(y=Cxe^x\)10.設(shè)\(A\)為\(3\)階方陣，且\(\vertA\vert=2\)，則\(\vert2A\vert=\)（）A.4B.8C.16D.32二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\cosx\)D.\(y=e^x\)2.下列極限存在的有（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\)B.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)C.\(\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}\)D.\(\lim_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}\)3.函數(shù)\(y=f(x)\)在點\(x_0\)處可導(dǎo)的充分必要條件有（）A.在點\(x_0\)處連續(xù)B.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)C.\(\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)存在D.在點\(x_0\)處有切線4.下列積分計算正確的有（）A.\(\int_{-1}^{1}x^2dx=\frac{2}{3}\)B.\(\int_{0}^{1}e^xdx=e-1\)C.\(\int_{0}^{\pi}\sinxdx=2\)D.\(\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x}dx=\ln2\)5.對于二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)，下列說法正確的有（）A.偏導(dǎo)數(shù)存在則函數(shù)一定連續(xù)B.函數(shù)可微則偏導(dǎo)數(shù)一定存在C.偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)則函數(shù)一定可微D.函數(shù)連續(xù)則偏導(dǎo)數(shù)一定存在6.下列矩陣中，是可逆矩陣的有（）A.單位矩陣B.對角矩陣（主對角線元素不為0）C.奇異矩陣D.滿秩矩陣7.下列關(guān)于向量組線性相關(guān)性的說法正確的有（）A.若向量組中含有零向量，則向量組線性相關(guān)B.若向量組中向量個數(shù)大于向量維數(shù)，則向量組線性相關(guān)C.若向量組中任意一個向量都不能由其余向量線性表示，則向量組線性無關(guān)D.若向量組線性相關(guān)，則其中至少有一個向量可由其余向量線性表示8.下列屬于二階線性常系數(shù)齊次微分方程的有（）A.\(y^{\prime\prime}+3y^\prime+2y=0\)B.\(y^{\prime\prime}+y=0\)C.\(y^{\prime\prime}-y^\prime=0\)D.\(y^{\prime\prime}+xy^\prime+y=0\)9.下列說法正確的有（）A.若\(A\)，\(B\)為同階方陣，則\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)B.若\(A\)可逆，則\(A\)的伴隨矩陣\(A^\)也可逆C.若\(A\)為方陣，\(\lambda\)為實數(shù)，則\(\vert\lambdaA\vert=\lambda^n\vertA\vert\)（\(n\)為\(A\)的階數(shù)）D.若\(A\)，\(B\)為同階可逆方陣，則\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)10.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有（）A.\(y=2^x\)B.\(y=\lnx\)C.\(y=x^3\)D.\(y=\cosx\)三、判斷題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)在\(x=1\)處間斷。（）2.若\(f(x)\)在點\(x_0\)處可導(dǎo)，則\(f(x)\)在點\(x_0\)處一定連續(xù)。（）3.函數(shù)\(y=x^2+1\)的極小值為\(1\)。（）4.\(\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx\)。（）5.二元函數(shù)\(z=x+y\)的全微分\(dz=dx+dy\)。（）6.若矩陣\(A\)的行列式\(\vertA\vert=0\)，則\(A\)不可逆。（）7.向量組\(\vec{a}=(1,0)\)，\(\vec=(0,1)\)，\(\vec{c}=(1,1)\)線性相關(guān)。（）8.微分方程\(y^{\prime\prime}+y=\sinx\)是二階線性非齊次微分方程。（）9.若\(A\)，\(B\)為方陣，且\(AB=BA\)，則\((AB)^n=A^nB^n\)。（）10.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+1\)的單調(diào)區(qū)間和極值。答案：\(y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y^\prime=0\)，得\(x=0\)，\(x=2\)。當(dāng)\(x\lt0\)或\(x\gt2\)時，\(y^\prime\gt0\)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)\(0\ltx\lt2\)時，\(y^\prime\lt0\)，函數(shù)單調(diào)遞減。極大值\(y(0)=1\)，極小值\(y(2)=-3\)。2.計算定積分\(\int_{0}^{1}xe^xdx\)。答案：用分部積分法，設(shè)\(u=x\)，\(dv=e^xdx\)，則\(du=dx\)，\(v=e^x\)。\(\int_{0}^{1}xe^xdx=[xe^x]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}e^xdx=e-[e^x]_{0}^{1}=e-(e-1)=1\)。3.求矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)的逆矩陣。答案：\(\vertA\vert=1\times4-2\times3=-2\)。\(A_{11}=4\)，\(A_{12}=-3\)，\(A_{21}=-2\)，\(A_{22}=1\)。伴隨矩陣\(A^=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)。\(A^{-1}=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)。4.求微分方程\(y^\prime+2y=0\)的通解。答案：這是一階線性齊次微分方程，其通解公式為\(y=Ce^{-\intP(x)dx}\)，這里\(P(x)=2\)，\(\int2dx=2x\)，所以通解為\(y=Ce^{-2x}\)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}x^2+1,&x\leq0\\2x+1,&x\gt0\end{cases}\)在\(x=0\)處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。答案：連續(xù)性：\(\lim_{x\to0^{-}}f(x)=1\)，\(\lim_{x\to0^{+}}f(x)=1\)，\(f(0)=1\)，所以函數(shù)在\(x=0\)處連續(xù)?？蓪?dǎo)性：左導(dǎo)數(shù)\(f^\prime_-(0)=0\)，右導(dǎo)數(shù)\(f^\prime_+(0)=2\)，左右導(dǎo)數(shù)不相等，所以函數(shù)在\(x=0\)處不可導(dǎo)。2.討論向量組\(\vec{a}=(1,1,1)\)，\(\vec=(1,2,3)\)，\(\vec{c}=(1,3,5)\)的線性相關(guān)性。答案：設(shè)\(k_1\vec{a}+k_2\vec+k_3\vec{c}=\vec{0}\)，即\(\begin{cases}k_1+k_2+k_3=0\\k_1+2k_2+3k_3=0\\k_1+3k_2+5k_3=0\end{cases}\)，系數(shù)行列式為\(0\)，有非零解，所以向量組線性相關(guān)。3.討論二元函數(shù)\(z=x^2+y^2-2x+4y\)的極值情況。答案：求偏導(dǎo)數(shù)\(z_x=2x-2\)，\(z_y=2y+4\)。令\(z_x=0\)，\(z_y=0\)，得駐點\((1,-2)\)。\(A=z_{xx}=2\)，\(B=z_{xy}=